Пространство Фреше

Локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.

В функциональном анализе и смежных областях математики пространства Фреше , названные в честь Мориса Фреше , являются специальными топологическими векторными пространствами . Они являются обобщениями банаховых пространств ( нормированных векторных пространств , полных относительно метрики , индуцированной нормой ) . Все банаховы и гильбертовы пространства являются пространствами Фреше. Пространства бесконечно дифференцируемых функций являются типичными примерами пространств Фреше, многие из которых, как правило, не являются банаховыми пространствами.

Пространство Фреше определяется как локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство (TVS), которое является полным как TVS , ^[1] что означает, что каждая последовательность Коши в сходится к некоторой точке в (см. сноску для получения более подробной информации). ^{[примечание 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Важное примечание : не все авторы требуют, чтобы пространство Фреше было локально выпуклым (обсуждается ниже).

Топология каждого пространства Фреше индуцируется некоторой инвариантной относительно трансляции полной метрикой . Обратно, если топология локально выпуклого пространства индуцируется инвариантной относительно трансляции полной метрикой, то является пространством Фреше. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Фреше был первым, кто использовал термин « Банахово пространство », а Банах, в свою очередь, затем ввел термин «пространство Фреше» для обозначения полного метризуемого топологического векторного пространства без требования локальной выпуклости (такое пространство сегодня часто называют « F-пространством »). ^[1] Требование локальной выпуклости было добавлено позже Николя Бурбаки . ^[1] Важно отметить, что значительное число авторов (например, Шефер) используют «F-пространство» для обозначения (локально выпуклого) пространства Фреше, в то время как другие не требуют, чтобы «пространство Фреше» было локально выпуклым. Более того, некоторые авторы даже используют « F -пространство» и «пространство Фреше» взаимозаменяемо. При чтении математической литературы читателю рекомендуется всегда проверять, требует ли определение « F -пространства» и «пространства Фреше» в книге или статье локальной выпуклости. ^[1]

Определения

Пространства Фреше можно определить двумя эквивалентными способами: первый использует инвариантную относительно трансляции метрику , второй — счетное семейство полунорм .

Определение инвариантной метрики

Топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ${\displaystyle X}$

1. Он локально выпуклый . ^{[примечание 2]}
2. Его топология может быть индуцирована трансляционно-инвариантной метрикой, то есть метрикой такой, что для всех Это означает, что подмножество открыто тогда и только тогда, когда для каждого существует такое , что является подмножеством ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$ ${\displaystyle U.}$
3. Некоторая (или, что эквивалентно, каждая) трансляционно-инвариантная метрика, индуцирующая топологию, является полной . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • Предполагая, что выполнены два других условия, это условие эквивалентно тому, что является полным топологическим векторным пространством , то есть является полным равномерным пространством , когда оно наделено своей канонической однородностью (эта каноническая однородность не зависит от какой-либо метрики на и определяется исключительно в терминах вычитания векторов и окрестностей начала координат; более того, однородность, индуцированная любой (определяющей топологию) инвариантной относительно трансляции метрикой на , идентична этой канонической однородности). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Обратите внимание, что не существует естественного понятия расстояния между двумя точками пространства Фреше: множество различных инвариантных относительно трансляции метрик могут индуцировать одну и ту же топологию.

Определение счетного семейства полунорм

Альтернативное и несколько более практичное определение таково: топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ${\displaystyle X}$

1. Это хаусдорфово пространство .
2. Его топология может быть индуцирована счетным семейством полунорм . Это означает, что подмножество открыто тогда и только тогда, когда для каждого существуют и такие, что является подмножеством . ${\displaystyle (\|\cdot \|_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v\in X:\|v-u\|_{k}<r{\text{ for all }}k\leq K\}}$ ${\displaystyle U}$
3. Он является полным относительно семейства полунорм.

Семейство полунорм на дает топологию Хаусдорфа тогда и только тогда, когда ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \bigcap _{\|\cdot \|\in {\mathcal {P}}}\{x\in X:\|x\|=0\}=\{0\}.}$$

Последовательность в сходится к в пространстве Фреше, определяемом семейством полунорм, тогда и только тогда, когда она сходится к относительно каждой из заданных полунорм. ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Как перепончатые пространства Бэра

Теорема ^[3]  (де Вильде 1978)  —  Топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является одновременно перепончатым пространством и пространством Бэра . ${\displaystyle X}$

Сравнение с банаховыми пространствами

В отличие от банаховых пространств , полная трансляционно-инвариантная метрика не обязательно возникает из нормы. Топология пространства Фреше, однако, возникает как из полной паранормы , так и из F -нормы ( F обозначает Фреше).

Несмотря на то, что топологическая структура пространств Фреше сложнее, чем у пространств Банаха из-за потенциального отсутствия нормы, многие важные результаты функционального анализа, такие как теорема об открытом отображении , теорема о замкнутом графике и теорема Банаха–Штейнгауза , по-прежнему остаются в силе.

Построение пространств Фреше

Напомним, что полунорма — это функция из векторного пространства в действительные числа, удовлетворяющая трем свойствам. Для всех и всех скаляров ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle c,}$ $${\displaystyle \|x\|\geq 0}$$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ $${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$$

Если , то фактически является нормой. Однако полунормы полезны тем, что позволяют нам строить пространства Фреше следующим образом: ${\displaystyle \|x\|=0\iff x=0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Чтобы построить пространство Фреше, обычно начинают с векторного пространства и определяют счетное семейство полунорм на со следующими двумя свойствами: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ ${\displaystyle X}$

• если и для всех то ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle x=0}$
• если есть последовательность, в которой является Коши относительно каждой полунормы , то существует такая, что сходится к относительно каждой полунормы ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

Тогда топология, индуцированная этими полунормами (как объяснено выше), превращается в пространство Фреше; первое свойство гарантирует, что оно является хаусдорфовым, а второе свойство гарантирует, что оно полно. Инвариантная относительно трансляции полная метрика, индуцирующая ту же топологию на , может быть тогда определена как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad x,y\in X.}$$

Функция монотонно отображается в и поэтому приведенное выше определение гарантирует, что является «малым» тогда и только тогда, когда существует «большое» такое, что является «малым» для ${\displaystyle u\mapsto {\frac {u}{1+u}}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{k}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,K.}$

Примеры

Из чистого функционального анализа

• Каждое банахово пространство является пространством Фреше, поскольку норма индуцирует трансляционно-инвариантную метрику, и пространство является полным относительно этой метрики.
• Пространство всех вещественных последовательностей (также обозначаемое ) становится пространством Фреше, если мы определим -ю полунорму последовательности как абсолютное значение -го элемента последовательности. Сходимость в этом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ Фреше эквивалентна поэлементной сходимости. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Из гладких коллекторов

• Вектор всех бесконечно дифференцируемых функций становится пространством Фреше с полунормами для каждого неотрицательного целого числа Здесь обозначает -ю производную от и В этом пространстве Фреше последовательность функций сходится к элементу тогда и только тогда, когда для каждого неотрицательного целого числа последовательность сходится равномерно . ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}$$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{(0)}=f.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• Вектор всех бесконечно дифференцируемых функций становится пространством Фреше с полунормами для всех целых чисел Тогда последовательность функций сходится тогда и только тогда, когда для каждого последовательности сходятся компактно . ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$ ${\displaystyle k,n\geq 0.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle k,n\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• Вектор пространства непрерывно дифференцируемых во всех временных интервалах функций становится пространством Фреше с полунормами для всех целых чисел и ${\displaystyle C^{m}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,m.}$
• Если — компактное -многообразие и — банахово пространство , то множество всех бесконечно часто дифференцируемых функций можно превратить в пространство Фреше, используя в качестве полунорм супремумы норм всех частных производных. Если — (не обязательно компактное) -многообразие , допускающее счетную последовательность компактных подмножеств, так что каждое компактное подмножество содержится по крайней мере в одном , то пространства и также являются пространствами Фреше естественным образом. В качестве частного случая каждое гладкое конечномерное полное многообразие можно превратить в такое вложенное объединение компактных подмножеств: снабдим его римановой метрикой , которая индуцирует метрику и выберем Пусть будет компактным - многообразием и векторным расслоением над Пусть обозначим пространство гладких сечений над Выберем римановы метрики и связности , которые гарантированно существуют на расслоениях и Если - сечение, обозначим его j ^-ю ковариантную производную через Тогда (где - норма, индуцируемая римановой метрикой ) - семейство полунорм , превращающих в пространство Фреше. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle f:M\to B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K^{n},}$ ${\displaystyle C^{m}(M,B)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d(x,y),}$ ${\displaystyle x\in M,}$ $${\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D^{j}s.}$ $${\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|_{g}}$$ ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,V)}$

Из голоморфности

• Пусть — пространство целых (всюду голоморфных ) функций на комплексной плоскости. Тогда семейство полунорм превращается в пространство Фреше. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \left|f\right|_{n}=\sup\{\left|f(z)\right|:|z|\leq n\}}$$ ${\displaystyle H}$
• Пусть — пространство целых (всюду голоморфных) функций экспоненциального типа Тогда семейство полунорм превращается в пространство Фреше. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau .}$ $${\displaystyle \left|f\right|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]\left|f(z)\right|}$$ ${\displaystyle H}$

Не все векторные пространства с полной трансляционно-инвариантной метрикой являются пространствами Фреше. Примером является пространство ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ с Хотя это пространство не является локально выпуклым, оно является F-пространством . ${\displaystyle p<1.}$

Свойства и дополнительные понятия

Если пространство Фреше допускает непрерывную норму, то все полунормы, используемые для его определения, можно заменить нормами, добавив эту непрерывную норму к каждой из них. Банахово пространство с компактным и все допускает нормы, тогда как и не допускают. ${\displaystyle C^{\infty }([a,b]),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$

Замкнутое подпространство пространства Фреше является пространством Фреше. Фактор пространства Фреше по замкнутому подпространству является пространством Фреше. Прямая сумма конечного числа пространств Фреше является пространством Фреше.

Произведение счетного числа пространств Фреше всегда снова является пространством Фреше. Однако произвольное произведение пространств Фреше будет пространством Фреше тогда и только тогда, когда все, за исключением не более счетного числа, являются тривиальными (то есть имеют размерность 0). Следовательно, произведение несчетного числа нетривиальных пространств Фреше не может быть пространством Фреше (в самом деле, такое произведение даже не метризуемо, поскольку его начало не может иметь счетного базиса окрестностей). Так, например, если — любое множество и — любое нетривиальное пространство Фреше (такое как, например), то произведение является пространством Фреше тогда и только тогда, когда — счетное множество. ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{I}=\prod _{i\in I}X}$ ${\displaystyle I}$

Несколько важных инструментов функционального анализа, основанных на теореме Бэра о категории, остаются верными в пространствах Фреше; примерами являются теорема о замкнутом графике и теорема об открытом отображении . Теорема об открытом отображении подразумевает, что если есть топологии на , которые превращают и в полные метризуемые TVS (такие как пространства Фреше), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (то есть, если ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

Каждый ограниченный линейный оператор из пространства Фреше в другое топологическое векторное пространство (TVS) является непрерывным. ^[5]

Существует пространство Фреше, имеющее ограниченное подмножество, а также плотное векторное подпространство, такое, что не содержится в замыкании ( в ) никакого ограниченного подмножества ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Все пространства Фреше являются стереотипными пространствами . В теории стереотипных пространств пространства Фреше являются дуальными объектами к пространствам Браунера . Все метризуемые пространства Монтеля являются сепарабельными . ^[7] Сепарабельное пространство Фреше является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая слабо-* сходящаяся последовательность в ее непрерывном дуальном сходится сильно сходящейся . ^[7]

Сильное двойственное пространство пространства Фреше (и, в более общем смысле, любого метризуемого локально выпуклого пространства ^[8] ) является DF-пространством . ^[9] Сильное двойственное пространство DF-пространства является пространством Фреше. ^[10] Сильное двойственное пространство рефлексивного пространства Фреше является борнологическим пространством ^[8] и пространством Птака . Каждое пространство Фреше является пространством Птака. Сильное бидуальное (то есть сильное двойственное пространство сильного двойственного пространства) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше. ^[11] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Нормы и нормируемость

Если — локально выпуклое пространство, то топология может быть определена семейством непрерывных норм на ( норма является положительно определенной полунормой ) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на ^[12] Даже если пространство Фреше имеет топологию, которая определяется (счетным) семейством норм (все нормы также являются полунормами), то оно, тем не менее, может не быть нормируемым пространством (это означает, что его топология не может быть определена никакой одной нормой). Пространство всех последовательностей (с топологией произведения) является пространством Фреше. Не существует никакой локально выпуклой топологии Хаусдорфа на , которая была бы строго грубее этой топологии произведения. ^[13] Пространство не является нормируемым , что означает, что его топология не может быть определена никакой нормой . ^[13] Кроме того, не существует никакой непрерывной нормы на Фактически, как показывает следующая теорема, всякий раз, когда есть пространство Фреше, на котором не существует никакой непрерывной нормы, то это целиком обусловлено присутствием как подпространства. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Теорема ^[13]  —  Пусть — пространство Фреше над полем Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$не допускает непрерывной нормы (то есть любая непрерывная полунорма на не может быть нормой). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$содержит векторное подпространство, которое TVS-изоморфно ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$содержит дополненное векторное подпространство , которое TVS-изоморфно ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Если — ненормируемое пространство Фреше, на котором существует непрерывная норма, то содержит замкнутое векторное подпространство, не имеющее топологического дополнения . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Метризуемое локально выпуклое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его сильное сопряженное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . ^[9] В частности, если локально выпуклое метризуемое пространство (такое как пространство Фреше) не нормируемо (что может произойти только в случае, если оно бесконечномерно), то его сильно сопряженное пространство не является пространством Фреше–Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство также не является ни метризуемым, ни нормируемым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Сильное двойственное пространство пространства Фреше (и, в более общем смысле, борнологических пространств , таких как метризуемые TVS) всегда является полным TVS и, как и любое полное TVS, оно нормируемо тогда и только тогда, когда его топология может быть индуцирована полной нормой (то есть тогда и только тогда, когда его можно превратить в банахово пространство с той же топологией). Если является пространством Фреше, то оно нормируемо тогда (и только тогда), когда существует полная норма на его непрерывном двойственном пространстве, такая что индуцированная нормой топология на является более тонкой, чем слабая-* топология. ^[15] Следовательно, если пространство Фреше не нормируемо (что может произойти, только если оно бесконечномерно), то не является таковым и его сильно двойственное пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

Теорема Андерсона–Кадеца

Теорема Андерсона–Кадеца  —  Каждое бесконечномерное сепарабельное действительное пространство Фреше гомеоморфно декартовупроизведению счетного числа копий действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Обратите внимание, что гомеоморфизм, описанный в теореме Андерсона–Кадеца, не обязательно является линейным.

Теорема Эйдельхайта  —  Пространство Фреше либо изоморфно пространству Банаха, либо имеет факторпространство, изоморфное пространству Банаха. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Дифференциация функций

Если и являются пространствами Фреше, то пространство, состоящее из всех непрерывных линейных отображений из в , не является пространством Фреше каким-либо естественным образом. Это является основным отличием между теорией пространств Банаха и теорией пространств Фреше и требует другого определения непрерывной дифференцируемости функций, определенных на пространствах Фреше, производной Гато : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Предположим , что открытое подмножество пространства Фреше — это функция, имеющая значение в пространстве Фреше и Отображение дифференцируемо в в направлении , если предел существует. Говорят, что отображение непрерывно дифференцируемо в , если отображение непрерывно. Поскольку произведение пространств Фреше снова является пространством Фреше, мы можем попытаться дифференцировать и определить высшие производные таким образом. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:U\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle h\in X.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$$ ${\displaystyle D(P)}$ ${\displaystyle P}$

Оператор производной, определяемый как , сам по себе бесконечно дифференцируем. Первая производная задается как для любых двух элементов. Это главное преимущество пространства Фреше над пространством Банаха для конечных ${\displaystyle P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle P(f)=f'}$ $${\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}$$ ${\displaystyle f,h\in C^{\infty }([0,1]).}$ ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle C^{k}([0,1])}$ ${\displaystyle k.}$

Если — непрерывно дифференцируемая функция, то дифференциальное уравнение не обязательно должно иметь решения, и даже если имеет, решения не обязательно должны быть единственными. Это резко контрастирует с ситуацией в банаховых пространствах. ${\displaystyle P:U\to Y}$ $${\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}$$

В общем случае теорема об обратной функции неверна в пространствах Фреше, хотя частичной заменой является теорема Нэша–Мозера .

Многообразия Фреше и группы Ли

Можно определить многообразия Фреше как пространства, которые "локально выглядят как" пространства Фреше (точно так же, как обычные многообразия определяются как пространства, которые локально выглядят как евклидовы пространства ), и затем можно расширить понятие группы Ли на эти многообразия. Это полезно, потому что для данного (обычного) компактного многообразия множество всех диффеоморфизмов образует обобщенную группу Ли в этом смысле, и эта группа Ли захватывает симметрии Некоторые из соотношений между алгебрами Ли и группами Ли остаются действительными в этой обстановке. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle M.}$

Другим важным примером группы Ли Фреше является группа петель компактной группы Ли — гладкие ( ) отображения, умноженные поточечно на ^{[16] [17]} ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma :S^{1}\to G,}$ ${\displaystyle \left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)..}$

Обобщения

Если отказаться от требования локальной выпуклости пространства, то получим F-пространства : векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками.

LF-пространства являются счетными индуктивными пределами пространств Фреше.

Смотрите также

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным
• Пространство Браунера  – полное компактно порождённое локально выпуклое пространство с последовательностью компактных множеств Kₙ, такое, что любое компактное множество содержится в некотором KₙPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• F-пространство  – топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой
• Решетка Фреше  – Топологическая векторная решетка
• Градуированное пространство Фреше  – Обобщение теоремы об обратной функцииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Сюръекция пространств Фреше  – Характеристика сюръекции
• Пространство Таме Фреше  – Обобщение теоремы об обратной функцииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. Здесь «Коши» означает Коши относительно канонической однородности , которой обладает каждая TVS . То есть последовательность в TVS является Коши тогда и только тогда, когда для всех окрестностей начала координат в всякий раз , когда и достаточно велики. Обратите внимание, что это определение последовательности Коши не зависит от какой-либо конкретной метрики и даже не требует, чтобы она была метризуемой. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}\in U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$
2. Некоторые авторы не включают локальную выпуклость в определение пространства Фреше.

Цитаты

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 93.
2. Конвей 1990, Глава 4.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 472.
4. Тревес 2006, стр. 166–173.
5. Трев 2006, стр. 142.
6. Вилански 2013, стр. 57.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 194–195.
8. Schaefer & Wolff 1999, стр. 154.
9. Габриелян, СС "О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями" (2014)
10. Шефер и Вольф 1999, стр. 196.
11. Шефер и Вольф 1999, стр. 154–155.
12. Ярхов 1981, стр. 130.
13. Jarchow 1981, стр. 129–130.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
15. "Двойственное пространство Фреше". 24 февраля 2012 г. Получено 26 апреля 2021 г.
16. Сергеев 2010
17. Пресли и Сигал 1986

Ссылки

• «Пространство Фреше», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). Группы циклов. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 0-19-853535-X. МР  0900587.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Сергеев, Армен (2010). Кэлерова геометрия пространств петель. Мемуары Математического общества Японии. Том 23. World Scientific Publishing . doi :10.1142/e023. ISBN 978-4-931469-60-0.
• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.