Перепончатое пространство

Пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике

В математике , в частности в функциональном анализе , переплетенное пространство — это топологическое векторное пространство, разработанное с целью обеспечения справедливости результатов теоремы об открытом отображении и теоремы о замкнутом графике для более широкого класса линейных отображений , чьи области определения являются переплетенными пространствами. Пространство называется переплетенным, если существует набор множеств , называемый переплетенным пространством , который удовлетворяет определенным свойствам. Переплетения впервые были исследованы де Вильдом.

Веб

Пусть — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство . ${\displaystyle X}$ Сеть представляет собой стратифицированную коллекциюдисков,удовлетворяющую следующим требованиям впитываемости и конвергенции.^[1]

1. Слой 1 : Первый слой должен состоять из последовательности дисков , объединение которых поглощает ${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}}$ ${\displaystyle X.}$
2. Страта 2 : Для каждого диска в первой страте должна существовать последовательность дисков в такая, что для каждого : и поглощает Наборы будут образовывать вторую страту. ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{i}}$ $${\displaystyle D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ for every }}j}$$ ${\displaystyle \cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}}$ ${\displaystyle D_{i}.}$ ${\displaystyle \left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }}$
3. Страта 3 : Каждому диску во второй страте назначается другая последовательность дисков, удовлетворяющая аналогично определенным свойствам; явно это означает, что для каждого : и поглощает Множества образуют третью страту. ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{i,j}}$ $${\displaystyle D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ for every }}k}$$ ${\displaystyle \cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}}$ ${\displaystyle D_{ij}.}$ ${\displaystyle \left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }}$

Продолжайте этот процесс, чтобы определить страт. То есть, используйте индукцию, чтобы определить страту в терминах страты. ${\displaystyle 4,5,\ldots .}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n.}$

Анить — это последовательность дисков, причем первый диск выбирается из первой страты, скажем, а второй выбирается из последовательности, которая была связана си т. д. Мы также требуем, чтобы если последовательность вектороввыбирается из нити (спринадлежностью к первому диску в нити,принадлежностью ко второму и т. д.), то рядсходился. ${\displaystyle D_{i},}$ ${\displaystyle D_{i},}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$

Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство , на котором может быть определена сеть , называетсяперепончатое пространство .

Примеры и достаточные условия

Теорема ^[2]  (де Вильде 1978)  —  Топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является одновременно перепончатым пространством и пространством Бэра . ${\displaystyle X}$

Все следующие пространства имеют сетевое покрытие:

• Пространства Фреше . ^[2]
• Проективные пределы и индуктивные пределы последовательностей перепончатых пространств.
• Последовательно замкнутое векторное подпространство паутинного пространства. ^[3]
• Счетные произведения перепончатых пространств. ^[3]
• Хаусдорфово отношение паутинного пространства. ^[3]
• Изображение перепончатого пространства при последовательно непрерывном линейном отображении, если это изображение является Хаусдорфовым . ^[3]
• Борнологизация паутинного пространства .
• Непрерывное двойственное пространство метризуемого локально выпуклого пространства, наделенное сильной двойственной топологией, является сетчатым. ^[2]
• Если — строгий индуктивный предел счетного семейства локально выпуклых метризуемых пространств, то непрерывное сопряженное пространство с сильной топологией является перепончатым. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • Так, в частности, сильные сопряженные локально выпуклые метризуемые пространства являются перепончатыми. ^[5]
• Если — перепончатое пространство, то любая хаусдорфова локально выпуклая топология, слабее этой (перепончатой) топологии, также является перепончатой. ^[3] ${\displaystyle X}$

Теоремы

Теорема о замкнутом графике ^[6]  —  Пусть — линейное отображение между TVS, которое является последовательно замкнутым (что означает, что его график является последовательно замкнутым подмножеством ). Если — сплетенное пространство и — ультраборнологическое пространство (такое как пространство Фреше или индуктивный предел пространств Фреше), то — непрерывно. ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Теорема о замкнутом графике  —  Любое замкнутое линейное отображение из индуктивного предела локально выпуклых пространств Бэра в перепончатое локально выпуклое пространство непрерывно.

Теорема об открытом отображении  —  любое непрерывное сюръективное линейное отображение из перепончатого локально выпуклого пространства на индуктивный предел локально выпуклых пространств Бэра является открытым.

Теорема об открытом отображении ^[6]  —  Любое непрерывное сюръективное линейное отображение из переплетенного локально выпуклого пространства на ультраборнологическое пространство открыто.

Теорема об открытом отображении ^[6]  —  Если образ замкнутого линейного оператора из локально выпуклого перепончатого пространства в хаусдорфово локально выпуклое пространство нетощен в , то является сюръективным открытым отображением. ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

Если пространства не являются локально выпуклыми, то существует понятие паутины, в котором требование быть диском заменяется требованием быть сбалансированным . Для такого понятия паутины мы имеем следующие результаты:

Теорема о замкнутом графике  —  любое замкнутое линейное отображение из индуктивного предела топологических векторных пространств Бэра в перепончатое топологическое векторное пространство является непрерывным.

Смотрите также

• Почти открытая линейная карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Закрытый граф  – Граф карты, замкнутый в пространстве продукта.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)  – Теоремы, связывающие непрерывность с замкнутостью графиков.
• Замкнутый линейный оператор
• Прерывистое линейное отображение
• F-пространство  – топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой
• Пространство Фреше  – локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Теорема Какутани о неподвижной точке  – Теорема о неподвижной точке для функций со значениями множества
• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  – Условие открытости линейного оператора
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Цитаты

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 470−471.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 472.
3. Narici & Beckenstein 2011, с. 481.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 473.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 459–483.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 474–476.

Ссылки

• Де Вильде, Марк (1978). Теоремы о замкнутых графах и переплетенные пространства . Лондон: Pitman.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная обстановка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . С. 557–578. ISBN 9780821807804.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.