Локально интегрируемая функция

Функция, интегрируемая в своей области определения

В математике локально интегрируемая функция ( иногда также называемая локально суммируемой функцией ) ^[1] — это функция , которая интегрируема (поэтому ее интеграл конечен) на каждом компактном подмножестве своей области определения . Важность таких функций заключается в том, что их функциональное пространство аналогично пространствам Lp , но его члены не обязаны удовлетворять каким-либо ограничениям роста их поведения на границе их области (на бесконечности ^, если область неограничена): другими словами, локально интегрируемые функции могут расти сколь угодно быстро на границе области, но при этом ими можно управлять так же, как и обычными интегрируемыми функциями.

Определение

Стандартное определение

Определение 1 . ^[2] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве и f  : Ω → — измеримая по Лебегу функция . Если f на Ω такова, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

т. е. его интеграл Лебега конечен на всех компактных подмножествах K в Ω , ^[3] тогда f называется локально интегрируемым . Множество всех таких функций обозначается L _1,loc (Ω) :

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

где обозначает ограничение f на множество K . ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

Классическое определение локально интегрируемой функции включает только теоретико-мерные и топологические ^[4] понятия и может быть перенесено на абстрактные комплекснозначные функции в топологическом пространстве с мерой ( X , Σ, µ ) : ^[5] однако, поскольку большинство Обычно такие функции применяются в теории распределения в евклидовых пространствах, ^[2] все определения в этом и последующих разделах явно относятся только к этому важному случаю.

Альтернативное определение

Определение 2 . ^[6] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве . Тогда функция f  : Ω → такая, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

для каждой пробной функции φ ∈ C ∞
в (Ω) называется локально интегрируемой , а множество таких функций обозначается L _1,loc (Ω) . Здесь С ∞
в (Ω) обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций φ  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с компактным носителем , содержащимся в Ω .

Это определение имеет свои корни в подходе к теории меры и интегрирования, основанном на концепции непрерывного линейного функционала в топологическом векторном пространстве , разработанном школой Николя Бурбаки : ^[7] оно также принято Стрихарцем (2003) и Мазья, Шапошникова (2009, с. 34). ^[8] Это определение «теории распределения» эквивалентно стандартному, как доказывает следующая лемма:

Лемма 1 . Данная функция f  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ локально интегрируема согласно определению 1 тогда и только тогда, когда она локально интегрируема согласно определению 2 , т.е.

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

ДоказательстваЛемма 1

Если часть : Пусть φ ∈ C ∞
в (Ω) — пробная функция. Он ограничен своей верхней нормой || φ || _∞ , измерима и имеет компактный носитель , назовем его K. Следовательно

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

по определению 1 .

Только если часть : Пусть K — компактное подмножество открытого множества Ω . Сначала построим пробную функцию φ _K ∈ C ∞
в (Ω) , которая мажорирует индикаторную функцию χ _K группы K . Обычное установленное расстояние ^[9] между K и границей ∂Ω строго больше нуля, т.е.

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

следовательно, можно выбрать действительное число δ такое, что ∆ > 2 δ > 0 (если ∂Ω — пустое множество, возьмем ∆ = ∞ ). Пусть K _δ и K _{2 δ} обозначают замкнутую δ -окрестность и 2 δ -окрестность точки K соответственно. Они также компактны и удовлетворяют

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Теперь используйте свертку , чтобы определить функцию φ _K  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ по формуле

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

где φδ — _{мягчитель} , построенный с использованием стандартного положительно-симметричного мягчителя . Очевидно, φ _K неотрицательна в том смысле, что φ _K ≥ 0 , бесконечно дифференцируема и ее носитель содержится в K _{2 δ} , в частности, это пробная функция. Поскольку φ _K ( x ) = 1 для всех x ∈ K , мы имеем χ _K ≤ φ _K .

Пусть f — локально интегрируемая функция согласно определению 2 . Затем

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Поскольку это справедливо для любого компактного подмножества K в Ω , функция f локально интегрируема согласно определению 1 . □

Обобщение: локальноп-интегрируемые функции

Определение 3 . ^[10] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве и f  : Ω → — измеримая по Лебегу функция. Если для данного p с 1 ≤ p ≤ +∞ , f удовлетворяет условию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

т . е. оно принадлежит Lp ( K ) для всех компактных подмножеств K в Ω , то f называется локально p - интегрируемым или также p - локально интегрируемым . ^[10] Множество всех таких функций обозначается L _{p ,loc} (Ω) :

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

Альтернативное определение, полностью аналогичное тому, которое дано для локально интегрируемых функций, может быть дано и для локально p -интегрируемых функций: оно также может быть и доказано эквивалентным определению, данному в этом разделе. ^[11] Несмотря на кажущуюся более высокую общность, локально p -интегрируемые функции образуют подмножество локально интегрируемых функций для каждого p такого, что 1 < p ≤ +∞ . ^[12]

Обозначения

Помимо различных глифов , которые можно использовать для обозначения заглавной буквы «L», ^[13] существует несколько вариантов обозначения множества локально интегрируемых функций.

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$принято (Хёрмандер 1990, стр. 37), (Штрихарц 2003, стр. 12–13) и (Владимиров 2002, стр. 3).
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$принято (Мазья, Поборчи 1997, с. 4) и Мазья, Шапошникова (2009, с. 44).
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$принято (Мазья 1985, с. 6) и (Мазья 2011, с. 2).

Характеристики

лп , локявляется полным метрическим пространством для всехп≥ 1

Теорема 1 . ^[14] L _{p ,loc} — полное метризуемое пространство : его топология может быть порождена следующей метрикой :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

где { ω _k } _{k ≥1} — семейство непустых открытых множеств такое, что

• ωk ⊂⊂ ωk _{+ 1} , что означает, что _ωk компактно включено в ωk _{+ 1 ,} т.е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в множество более высокого индекса.
• ∪ _k ω _k знак равно Ω .
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}}$, k ∈ – индексированное семейство полунорм , определяемое как ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

В ссылках (Гилбарг, Трудингер 2001, стр. 147), (Мазья, Поборчи 1997, стр. 5), (Мазья 1985, стр. 6) и (Мазья 2011, стр. 2) эта теорема сформулировано, но не доказано на формальной основе: ^[15] полное доказательство более общего результата, включающего его, можно найти в (Meise & Vogt 1997, стр. 40).

лпявляется подпространствомл1, местодля всехп≥ 1

Теорема 2 . Любая функция f, принадлежащая L _p (Ω) , 1 ⩽ p ⩽ +∞ , где Ω — открытое подмножество в , локально интегрируема. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Доказательство . Случай p = 1 тривиален, поэтому в дальнейшем доказательстве предполагается, что 1 < p ⩽ +∞ . Рассмотрим характеристическую функцию χ _K компактного подмножества K в Ω : тогда для p ⩽ + ∞

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

где

• q — положительное число такое, что 1/ p + 1/ q = 1 для заданного 1 ≤ p ≤ +∞
• | К | – мера Лебега компакта K

Тогда для любого f , принадлежащего L _p (Ω) по неравенству Гёльдера произведение fχ _K интегрируемо , т. е. принадлежит L ₁ (Ω) и

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

поэтому

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

Заметим, что поскольку верно следующее неравенство

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

теорема справедлива и для функций f, принадлежащих только пространству локально p -интегрируемых функций, поэтому из теоремы следует также следующий результат.

Следствие 1 . Каждая функция из , локально интегрируема, т. е. принадлежит . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$

Примечание. Если — открытое подмножество , которое также ограничено, то оно имеет стандартное включение , которое имеет смысл с учетом вышеуказанного включения . Но первое из этих утверждений неверно, если оно не ограничено; тогда еще верно, что для любого , но не для этого . Чтобы убедиться в этом, обычно рассматривают функцию , которая входит в число, но не входит в число для любого конечного числа . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$

л1, место— пространство плотностей абсолютно непрерывных мер

Теорема 3 . Функция f является плотностью абсолютно непрерывной меры тогда и только тогда , когда . ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

Доказательство этого результата схематично представлено (Шварц 1998, стр. 18). Перефразируя свое утверждение, эта теорема утверждает, что каждая локально интегрируемая функция определяет абсолютно непрерывную меру и наоборот, что каждая абсолютно непрерывная мера определяет локально интегрируемую функцию: это также, в рамках абстрактной теории меры, форма важной теоремы Радона – Никодима данное Станиславом Саксом в его трактате. ^[16]

Примеры

• Постоянная функция 1, определенная на вещественной прямой, локально интегрируема, но не интегрируема глобально, поскольку вещественная линия имеет бесконечную меру. В более общем смысле, константы , непрерывные функции ^[17] и интегрируемые функции локально интегрируемы. ^[18]
• Функция для x ∈ (0, 1) локально, но не глобально интегрируема на (0, 1). Он локально интегрируем, поскольку любой компакт K ⊆ (0, 1) имеет положительное расстояние от 0 и, следовательно, f ограничен на K. Этот пример подтверждает исходное утверждение о том, что локально интегрируемые функции не требуют выполнения условий роста вблизи границы в ограниченные домены. ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

не локально интегрируемо в x = 0 : оно действительно локально интегрируемо вблизи этой точки, поскольку его интеграл по каждому компакту, не включающему его, конечен. Формально говоря : ^[19] однако эта функция может быть распространена на распределение в целом как главное значение Коши . ^[20] ${\displaystyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Предыдущий пример поднимает вопрос: каждая ли функция, локально интегрируемая в Ω ⊊, допускает продолжение в целое как распределение? Ответ отрицательный, а контрпример предоставляет следующая функция: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

не определяет никакого распределения на . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Следующий пример, аналогичный предыдущему, представляет собой функцию, принадлежащую L _1,loc (  \ 0), которая служит элементарным контрпримером при применении теории распределений к дифференциальным операторам с нерегулярными сингулярными коэффициентами : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

где k ₁ и k ₂ — комплексные константы , является общим решением следующего элементарного нефуксова дифференциального уравнения первого порядка

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

Опять же, оно не определяет никакого распределения в целом , если k ₁ или k ₂ не равны нулю: единственным глобальным решением такого уравнения с распределением, следовательно, является нулевое распределение, и это показывает, как в этой отрасли теории дифференциальных уравнений Нельзя ожидать, что методы теории распределений будут иметь такие же успехи, достигнутые в других разделах той же теории, особенно в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приложения

Локально интегрируемые функции играют видную роль в теории распределений и встречаются в определении различных классов функций и функциональных пространств , например функций ограниченной вариации . Более того, они появляются в теореме Радона–Никодима , характеризуя абсолютно непрерывную часть каждой меры.

Смотрите также

• Компактный набор
• Распределение (математика)
• Теорема плотности Лебега
• Теорема Лебега о дифференцировании
• Интеграл Лебега
• пространство ЛП

Примечания

1. По данным Гельфанда и Шилова (1964, стр. 3).
2. См., например (Шварц 1998, стр. 18) и (Владимиров 2002, стр. 3).
3. Другой небольшой вариант этого определения, выбранный Владимировым (2002, стр. 1), состоит в том, чтобы требовать только того, чтобы K ⋐ Ω (или, используя обозначения Гилбарга и Трудингера (2001, стр. 9), K ⊂⊂ Ω ) , что означает, что K строго включено в Ω , т.е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в данное объемлющее множество.
4. Очевидно, понятие компактности должно быть определено на данном абстрактном пространстве с мерой.
5. Это подход, разработанный, например, Кафьеро (1959, стр. 285–342) и Саксом (1937, глава I), без явного рассмотрения локально интегрируемого случая.
6. См., например (Стрихарц 2003, стр. 12–13).
7. Этот подход получил высокую оценку Шварца (1998, стр. 16–17), который также отметил его полезность, однако использовал определение 1 для определения локально интегрируемых функций.
8. Следует отметить, что Мазья и Шапошникова явно определяют только «локализованную» версию пространства Соболева W ^{k , p} (Ω) , тем не менее явно утверждая, что тот же метод используется для определения локализованных версий всех других банаховых пространств , используемых в цитируемая книга: в частности, L _{p ,loc} (Ω) введен на стр. 44.
9. Не путать с расстоянием Хаусдорфа .
10. См., например (Владимиров 2002, с. 3) и (Мазья, Поборчи 1997, с. 4).
11. Как отмечалось в предыдущем разделе, именно такой подход принят Мазья и Шапошниковой (2009), не развивая элементарных деталей.
12. Точнее, они образуют векторное подпространство в L _1,loc (Ω) : см. следствие 1 к теореме 2 .
13. См., например (Владимиров 2002, стр. 3), где используется каллиграфический знак ℒ .
14. Изложение этих результатов см. (Gilbarg & Trudinger 2001, стр. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, стр. 5), а также краткие примечания в (Maz'ja 1985, стр. 6) и ( Мазья 2011, с.2).
15. Гилбарг и Трудингер (2001, стр. 147) и Мазья и Поборчи (1997, стр. 5) лишь очень кратко обрисовывают метод доказательства, тогда как в (Мазья 1985, стр. 6) и (Мазья 2011, с. 2) предполагается как известный результат, от которого начинается последующая разработка.
16. Согласно Саксу (1937, стр. 36): « Если E — множество конечной меры или, в более общем смысле, сумма последовательности множеств конечной меры ( µ ) , то для того, чтобы аддитивная функция множество ( 𝔛 ) на E абсолютно непрерывно на E , необходимо и достаточно, чтобы эта функция множества была неопределенным интегралом некоторой интегрируемой функции точки из E ". Предполагая, что ( ) является мерой Лебега, можно считать, что эти два утверждения эквивалентны.
17. См., например (Хёрмандер 1990, стр. 37).
18. См. (Стрихарц 2003, стр. 12).
19. См. (Шварц 1998, стр. 19).
20. См. (Владимиров 2002. С. 19–21).
21. См. (Владимиров 2002, с. 21).
22. Краткое обсуждение этого примера см. (Шварц 1998, стр. 131–132).

Рекомендации

• Кафьеро, Федерико (1959), Misura e integrazione , Mongrafie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском языке), vol. 5, Рим : Edizioni Cremonese, стр. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503. «Мера и интеграция» (как гласит английский перевод названия) — это исчерпывающая монография по интеграции и теории меры: трактовка предельного поведения интеграла различного рода последовательностей структур, связанных с мерой (измеримые функции, измеримые множества , меры). и их комбинации) является в некоторой степени убедительным.
• Гельфанд, И.М. ; Шилов Г. Е. (1964) [1958], Обобщенные функции. Том. I: Недвижимость и операции, Нью-Йорк – Лондон: Academic Press , стр. xviii+423, ISBN. 978-0-12-279501-5, МР  0166596, Збл  0115.33101. Это важная монография по теории обобщенных функций , переведенная с оригинального русского издания 1958 года Юджином Салетаном, посвященная как распределениям, так и аналитическим функционалам.
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001) [1998], Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка, Classics in Mathematics (пересмотренное 3-е издание 2-го изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, МР  1814364, Збл  1042.35002.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , стр. xii+440, ISBN 0-387-52343-Х, МР  1065136, Збл  0712.35001(доступен также как ISBN 3-540-52343-X ). 
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix + 486, ISBN 3-540-13589-8, МР  0817985, Збл  0692.46023(доступен также как ISBN 0-387-13589-8 ). 
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii + 866, ISBN 978-3-642-15563-5, МР  2777530, Збл  1217.46002.
• Мазья Владимир Георгиевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции в плохих областях , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, МР  1643072, Збл  0918.46033.
• Мазья Владимир Георгиевич ; Шапошникова, Татьяна О. (2009), Теория множителей Соболева. С приложениями к дифференциальным и интегральным операторам, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 337, Гейдельберг : Springer-Verlag , стр. xiii+609, ISBN 978-3-540-69490-8, МР  2457601, Збл  1157.46001.
• Мейзе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997), Введение в функциональный анализ , Оксфордские тексты для аспирантов по математике, том. 2, Оксфорд: Clarendon Press , стр. x+437, ISBN. 0-19-851485-9, МР  1483073, Збл  0924.46002.
• Сакс, Станислав (1937), Теория интеграла, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2-е изд.), Варшава – Львов : GE Stechert & Co., стр. VI+347, JFM  63.0183.05, MR  0167578, Zbl  0017.30004. Английский перевод Лоуренса Чизхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха : номер Mathematical Reviews относится к изданию Dover Publications 1964 года, которое по сути представляет собой переиздание.
• Шварц, Лоран (1998) [1966], Теория распределений , Публикации Института математики Страсбургского университета (на французском языке) (Новое издание), Париж: Hermann Éditeurs, стр. xiii + 420, ISBN 2-7056-5551-4, МР  0209834, Збл  0149.09501.
• Стрихарц, Роберт С. (2003), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье (2-е печатное издание), River Edge, Нью-Джерси : World Scientific Publishers , стр. x + 226, ISBN 981-238-430-8, МР  2000535, Збл  1029.46039.
• Владимиров В.С. (2002), Методы теории обобщенных функций, Аналитические методы и специальные функции, вып. 6, Лондон – Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис , стр. XII + 353, ISBN. 0-415-27356-0, МР  2012831, Збл  1078.46029. Монография по теории обобщенных функций , написанная с прицелом на их приложения к ряду комплексных переменных и математической физике , как это принято у Автора.

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд. «Локально интегрируемый». Математический мир .
• Виноградова, И.А. (2001) [1994], "Локально интегрируемая функция", Энциклопедия Математики , EMS Press

Эта статья включает в себя материал из локально интегрируемой функции PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .