Рефлексивное пространство

Локально выпуклое топологическое векторное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , рефлексивное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство , для которого каноническое отображение оценки из в его бидуальное пространство (которое является сильным двойственным сильному двойственному ) является гомеоморфизмом (или, что то же самое, TVS-изоморфизм ). Нормированное пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда это каноническое отображение оценки сюръективно , и в этом случае это (всегда линейное) отображение оценки является изометрическим изоморфизмом , а нормированное пространство является банаховым пространством . Те пространства, для которых каноническое отображение оценки сюръективно, называются полурефлексивными пространствами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В 1951 году Р. К. Джеймс открыл банахово пространство, теперь известное как пространство Джеймса , которое не является рефлексивным (это означает, что каноническое отображение оценки не является изоморфизмом), но, тем не менее, изометрически изоморфно своему бидуальному (любой такой изометрический изоморфизм обязательно не является каноническая оценочная карта). Очень важно то, что для того, чтобы банахово пространство было рефлексивным, недостаточно, чтобы оно было изометрически изоморфно своему бидуальному пространству; именно каноническое отображение оценки должно быть гомеоморфизмом.

Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых ТВС и в теории банаховых пространств в частности. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховые пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Определение

Определение бидуального

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) над полем (которое представляет собой либо вещественное, либо комплексное число), непрерывное двойственное пространство которого разделяет точки ( то есть для любого существует такое, что ). Пусть (в некоторых текстах пишут ) обозначают сильное двойственное векторное пространство непрерывных линейных функционалов на, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ; эта топология также называется сильной дуальной топологией и является топологией «по умолчанию», помещенной в непрерывное дуальное пространство (если не указана другая топология). Если — нормированное пространство, то сильное двойственное пространство — это непрерывное двойственное пространство с обычной топологией нормы. Бидуальное обозначение является сильным двойственным к ; то есть это пространство ^[1] Если — нормированное пространство, то — непрерывное двойственное пространство к банаховому пространству с его обычной топологией нормы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого пусть определяется где - линейная карта, называемая оценочной картой в ; поскольку обязательно непрерывно, отсюда следует, что Поскольку разделяет точки на линейной карте, определяемой как инъективно, где эта карта называется оценочной картой или канонической картой . Назовем полурефлексивным, если оно биективно (или, что то же самое, сюръективно ), и назовем рефлексивным, если, кроме того, является изоморфизмом TVS. ^[1] Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно или, что то же самое, тогда и только тогда, когда отображение оценки сюръективно. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Рефлексивные банаховы пространства

Предположим, что это нормированное векторное пространство над полем чисел или ( действительные числа или комплексные числа ) с нормой. Рассмотрим его двойственное нормированное пространство , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено двойственной нормой, определяемой формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ $${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

Двойственное пространство представляет собой нормированное пространство ( точнее, банахово пространство ), а его двойственное нормированное пространство называется бидуальным пространством . Бидуальное пространство состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено нормой, двойственной к Каждый вектор порождает скалярную функцию по формуле : и является непрерывным линейным функционалом , то есть Таким образом получается карта, называемая оценочной картой , которая является линейной. Из теоремы Хана – Банаха следует, что это инъективно и сохраняет нормы: то есть изометрически отображается на свой образ в Кроме того, образ замкнут, но он не обязательно равен ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Нормированное пространство называется рефлексивным, если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ${\displaystyle X}$

1. оценочная карта сюръективна , ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. оценочное отображение представляет собой изометрический изоморфизм нормированных пространств, ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. оценочное отображение является изоморфизмом нормированных пространств. ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

Рефлексивное пространство является банаховым пространством, поскольку тогда оно изометрично банаховому пространству. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Примечание

Банахово пространство рефлексивно, если оно линейно изометрично своему бидуалу при этом каноническом вложении. Пространство Джеймса является примером нерефлексивного пространства, которое линейно изометрично своему бидуалу . Более того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении имеет коразмерность единицу в своем бидуальном. ^[2] Банахово пространство называется квазирефлексивным (порядка ), если фактор имеет конечную размерность. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$ ${\displaystyle d.}$

Примеры

1. Каждое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным просто потому, что в этом случае пространство, его двойственное и бидуальное пространство имеют одинаковую линейную размерность, следовательно, линейная инъекция из определения является биективной по теореме о ранге-нулевости . ${\displaystyle J}$
2. Банахово пространство скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженное супремумной нормой, не рефлексивно. Из общих свойств, приведенных ниже, следует, что и не рефлексивны, поскольку изоморфны двойственному и изоморфны двойственному ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. Все гильбертовы пространства рефлексивны, как и пространства Lp. Более общо: все равномерно выпуклые банаховы пространства рефлексивны согласно теореме Милмана–Петтиса . Пространства и не рефлексивны (если только они не конечномерны, что происходит, например, когда является мерой на конечном множестве). Аналогично банахово пространство непрерывных функций на не рефлексивно. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$
4. Пространства операторов класса Шаттена в гильбертовом пространстве равномерно выпуклы и, следовательно, рефлексивны, когда Когда размерность бесконечна, то ( следовой класс ) не является рефлексивным, поскольку он содержит подпространство, изоморфное и (ограниченные линейные операторы on ) не является рефлексивным, поскольку оно содержит подпространство, изоморфное В обоих случаях подпространство может быть выбрано в качестве оператора, диагонального относительно данного ортонормированного базиса ${\displaystyle S_{p}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{1}(H)}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle H.}$

Характеристики

Поскольку всякое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством , нерефлексивными могут быть только бесконечномерные пространства.

Если банахово пространство изоморфно рефлексивному банаховому пространству, то оно рефлексивно. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Каждое замкнутое линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное двойственное рефлексивному пространству рефлексивно. Всякий фактор рефлексивного пространства по замкнутому подпространству рефлексивен. ^[4]

Пусть – банахово пространство. Следующие действия эквивалентны. ${\displaystyle X}$

1. Пространство рефлексивно. ${\displaystyle X}$
2. Непрерывный двойник рефлексивен. ^[5] ${\displaystyle X}$
3. Замкнутый единичный шар компактен в слабой топологии . (Это известно как теорема Какутани.) ^[6] ${\displaystyle X}$
4. У каждой ограниченной последовательности в есть слабо сходящаяся подпоследовательность. ^[7] ${\displaystyle X}$
5. Утверждение леммы Рисса справедливо, когда действительное число ^{[примечание 1]} равно ^[8] Явно, для каждого замкнутого собственного векторного подпространства существует некоторый вектор единичной нормы такой, что для всех ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$ ${\displaystyle y\in Y.}$
   • Используя для обозначения расстояния между вектором и множеством, это можно переформулировать на более простом языке как: рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого собственного векторного подпространства существует некоторый вектор на единичной сфере , который всегда находится на расстоянии не менее из подпространства. ${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • Например, если рефлексивное банахово пространство наделено обычной евклидовой нормой и является плоскостью, тогда точки удовлетворяют заключению. Если вместо этого - -ось, то каждая точка, принадлежащая единичному кругу на плоскости, удовлетворяет заключению. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle d(u,Y)=1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x-y}$
6. Каждый непрерывный линейный функционал на достигает своей верхней границы на замкнутом единичном шаре в ^[9] ( теорема Джеймса ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Поскольку замкнутые по норме выпуклые подмножества в банаховом пространстве слабо замкнуты, ^[10] из третьего свойства следует, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества рефлексивного пространства слабо компактны. Таким образом, для всякой убывающей последовательности непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств пересечение непусто. Как следствие, каждая непрерывная выпуклая функция на замкнутом выпуклом подмножестве такого , что это множество непусто и ограничено для некоторого действительного числа, достигает своего минимального значения на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle C.}$

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств состоит в следующем: если — замкнутое непустое выпуклое подмножество рефлексивного пространства , то для каждого существует такое, что минимизирует расстояние между и точками. Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций: применяется к Обратите внимание, что хотя минимальное расстояние между и однозначно определяется точкой , это не так. Ближайшая точка уникальна, если она равномерно выпукла. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \|x-c\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X}$

Рефлексивное банахово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда его непрерывное двойственное пространство сепарабельно. Это следует из того, что для любого нормированного пространства из отделимости непрерывного дуального влечет отделимость ^[11] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y.}$

Суперрефлексивное пространство

Неформально, суперрефлексивное банахово пространство обладает следующим свойством: если в произвольном банаховом пространстве все конечномерные подпространства имеют где-то очень похожую копию, то оно должно быть рефлексивным. По этому определению само пространство должно быть рефлексивным. В качестве элементарного примера: каждое банахово пространство, двумерные подпространства которого изометричны подпространствам удовлетворяет закону параллелограмма , следовательно, ^[12] является гильбертовым пространством, поэтому является рефлексивным. То же самое и с суперрефлексивностью. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\ell ^{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

В формальном определении используются не изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство конечно представимо [ ^13] в банаховом пространстве, если для любого конечномерного подпространства и каждого существует подпространство такое , что мультипликативное расстояние Банаха–Мазура между и удовлетворяет ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ $${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

Банахово пространство, конечно представимое в, является гильбертовым пространством. Каждое банахово пространство конечно представимо в. Пространство Lp конечно представимо в ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

Банахово пространство является суперрефлексивным, если все банаховы пространства, конечно представимые в, рефлексивны, или, другими словами, если ни одно нерефлексивное пространство не может быть конечно представимо в. Понятие ультрапроизведения семейства банаховых пространств ^[14] допускает краткую формулировку. определение: банахово пространство является сверхрефлексивным, когда его ультрастепени рефлексивны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Джеймс доказал, что пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственное пространство суперрефлексивно. ^[13]

Конечные деревья в банаховых пространствах

Одна из характеристик сверхрефлексивности Джеймса использует рост отдельных деревьев. ^[15] Описание векторного двоичного дерева начинается с корневого двоичного дерева , помеченного векторами: дерево высоты в банаховом пространстве представляет собой семейство векторов, которое может быть организовано на последовательных уровнях, начиная с уровня 0, состоящего из один вектор - корень дерева , за которым следует семейство из двух векторов, образующих уровень , которые являются дочерними элементами вершин уровня. В дополнение к древовидной структуре здесь требуется, чтобы каждый вектор, являющийся внутренней вершиной дерева, был середина между двумя его детьми: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\varnothing },}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle k:}$ $${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$ ${\displaystyle k-1.}$ $${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

При положительном вещественном числе дерево называется -разделенным, если для каждой внутренней вершины два дочерних элемента -разделены в заданной пространственной норме: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

Теорема. ^[15] Банахово пространство является суперрефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого существует такое число, что каждое -разделенное дерево, содержащееся в единичном шаре, имеет высоту меньше, чем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$ ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(t).}$

Равномерно выпуклые пространства сверхрефлексивны. ^[15] Пусть будет равномерно выпуклым, с модулем выпуклости и пусть будет действительным числом в. По свойствам модуля выпуклости -разделенное дерево высоты, содержащееся в единичном шаре, должно иметь все точки уровня, содержащиеся в шаре. радиуса. По индукции следует, что все точки уровня содержатся в шаре радиуса ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,2].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$ ${\displaystyle n-k}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

Если бы высота была настолько велика, что две точки первого уровня не могли бы быть разделены, вопреки предположению. Это дает требуемую связанную функцию только . ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n(t),}$ ${\displaystyle \delta _{X}(t)}$

Используя древовидную характеризацию, Энфло доказал ^[16] , что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве — это особый случай мартингалов с векторным знаком . Добавляя методы скалярной теории мартингала, Пизье улучшил результат Энфло, показав ^[17] , что суперрефлексивное пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет, для некоторого постоянного и некоторого действительного числа ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle q\geq 2,}$ $${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические векторные пространства следующим образом.

Пусть — топологическое векторное пространство над числовым полем ( действительных или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное двойственное пространство , состоящее из всех непрерывных линейных функционалов и оснащенное сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах. Пространство представляет собой топологическое векторное пространство (точнее, локально выпуклое пространство). , поэтому можно рассматривать его сильное двойственное пространство , которое называется сильным бидуальным пространством для Оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией. Каждый вектор порождает отображение по следующей формуле: Это непрерывный линейный функционал на том, что ,, Это порождает карту, называемую картой оценки : Эта карта линейна. Если локально выпукло, то из теоремы Хана–Банаха следует, что оно инъективно и открыто (т.е. для каждой окрестности нуля в существует окрестность нуля в такой, что ). Но оно может быть несюръективным и/или прерывистым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Локально выпуклое пространство называется ${\displaystyle X}$

• полурефлексивно, если оценочная карта сюръективна (следовательно, биективна), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• рефлексивно, если отображение оценки сюръективно и непрерывно (в этом случае является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[18] ). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J}$

Теорема ^[19]  —  Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда -топология обладает свойством Гейне–Бореля (т. е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества слабо компактны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^{[20] [21]}  —  Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и бочоночно . ${\displaystyle X}$

Теорема ^[22]  —  Сильное двойственное полурефлексивному пространству бочкообразное.

Теорема ^[23]  —  Если это хаусдорфово локально выпуклое пространство, то каноническая инъекция из его бидуала является топологическим вложением тогда и только тогда, когда оно инфрабаррельно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Полурефлексивные пространства

Характеристики

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным;
2. Слабая топология на обладала свойством Гейне-Бореля (т. е. для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество слабо компактно). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Если линейная форма на ней непрерывна при сильной двойственной топологии, то она непрерывна при слабой топологии; ^[24] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$имеет ствол; ^[24]
5. ${\displaystyle X}$со слабой топологией квазиполна . ^[24] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Характеристики рефлексивных пространств

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным;
2. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и инфраствольным ; ^[23]
3. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и бочкообразным ;
4. ${\displaystyle X}$является бочоночным , а слабая топология имеет свойство Гейне-Бореля (т. е. для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество слабо компактно). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и квазиствольным . ^[25]

Если это нормированное пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным;
2. Замкнутый единичный шар компактен, если имеет слабую топологию ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$является банаховым пространством и рефлексивно. ^[27] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
4. Любая последовательность с для всех непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств имеет непустое пересечение. ^[28] ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[29]  —  Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью .

Теорема Джеймса  .  Банахово пространство является рефлексивным тогда и только тогда, когда каждыйнепрерывный линейный функционал достигает своей верхней границы на замкнутом единичном шаре в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Достаточные условия

Нормированные пространства

Полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. ^[30] Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства рефлексивно. ^[23]

Пусть - банахово пространство и замкнутое векторное подпространство. Если два из и рефлексивны, то все они рефлексивны. ^[23] Вот почему рефлексивность называют свойством трехпространства . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,M,}$ ${\displaystyle X/M}$

Топологические векторные пространства

Если бочкообразное локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то оно рефлексивно. ^[1]

Сильный двойник рефлексивного пространства рефлексивен. ^[31] Каждое пространство Монтеля рефлексивно. ^[26] И сильный двойник пространства Монтеля является пространством Монтеля (и, следовательно, является рефлексивным). ^[26]

Характеристики

Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа имеет бочкообразную форму . Если это нормированное пространство, то это изометрия на замкнутое подпространство из ^[30]. Эту изометрию можно выразить следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

Предположим, что это нормированное пространство и его бидуальное пространство оснащено бидуальной нормой. Тогда единичный шар плотен в единичном шаре для слабой топологии ^[30] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

Примеры

1. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство Хаусдорфа рефлексивно, поскольку оно биективно с точки зрения линейной алгебры и потому что существует уникальная топология векторного пространства Хаусдорфа в конечномерном векторном пространстве. ${\displaystyle J}$
2. Нормированное пространство рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того, что для нормированного пространства его дуальное нормированное пространство совпадает как топологическое векторное пространство с сильным дуальным пространством. Как следствие, оценочное отображение совпадает с оценочным отображением и следующие условия становятся эквивалентными: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным нормированным пространством (т. е. является изоморфизмом нормированных пространств), ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$является рефлексивным локально выпуклым пространством (т.е. является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[18] ), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным локально выпуклым пространством (т. е. сюръективным). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. (Несколько искусственный) пример полурефлексивного пространства, которое не является рефлексивным, получается следующим образом: пусть — бесконечномерное рефлексивное банахово пространство, и пусть — топологическое векторное пространство , то есть векторное пространство, оснащенное слабой топологией. Тогда непрерывные двойственные и являются одним и тем же набором функционалов, а ограниченные подмножества (то есть слабо ограниченные подмножества ) ограничены по норме, следовательно, банахово пространство является сильным двойственным к. Поскольку рефлексивно, непрерывный двойственный к равен к образу при каноническом вложении, но топология на (слабая топология ) не является сильной топологией , равной нормальной топологии ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Пространства Монтеля — это рефлексивные локально выпуклые топологические векторные пространства. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, являются рефлексивными локально-выпуклыми пространствами: ^[32]
   • пространство гладких функций на произвольном (вещественном) гладком многообразии и его сильное двойственное пространство распределений с компактным носителем на ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком многообразии и его сильное двойственное пространство распределений на ${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии и его сильное двойственное пространство аналитических функционалов на ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство Шварца и его сильное двойственное пространство умеренных распределений на ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Контрпримеры

• Существует нерефлексивная локально выпуклая ТВС, сильный двойник которой рефлексивен. ^[33]

Другие виды рефлексивности

Стереотипное пространство, или полярное рефлексивное пространство, определяется как топологическое векторное пространство (TVS), удовлетворяющее аналогичному условию рефлексивности, но с топологией равномерной сходимости на полностью ограниченных подмножествах (вместо ограниченных подмножеств) в определении двойственного пространства . точнее, TVS называется полярным рефлексивным ^[34] или стереотипным, если отображение оценки во второе дуальное пространство является изоморфизмом топологических векторных пространств . ^[18] Здесь стереотипное дуальное пространство определяется как пространство непрерывных линейных функционалов, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (а стереотипное второе дуальное пространство является пространством, двойственным к в том же смысле). ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

В отличие от классических рефлексивных пространств класс Ste стереотипных пространств очень широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и, следовательно, все банаховые пространства ), он образует замкнутую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определенные внутри Ste ) построения новых пространств, таких как взятие замкнутых подпространств, факторпространств, проективных и инъективных пределов, пространства операторов, тензорных произведений и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогично можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в в определении дуального пространства другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в – пространства, определяемые соответствующим условием рефлексивности, называются рефлексивными. , ^{[35] [36]} и они образуют еще более широкий класс, чем Ste , но неясно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, аналогичными свойствам Ste . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Пространство Гротендика
  • Обобщением, обладающим некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включающим многие пространства практического значения, является понятие пространства Гротендика .
• Рефлексивная операторная алгебра  - операторная алгебра, имеющая достаточно инвариантных подпространств, чтобы ее охарактеризовать.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

Примечания

1. В формулировке леммы Рисса используется только одно действительное число, которое обозначено в статье о лемме Рисса. Лемма всегда справедлива для всех вещественных объектов. Но для банахова пространства лемма справедлива для всех тогда и только тогда, когда пространство рефлексивно. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <1.}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$

Цитаты

1. Treves 2006, стр. 372–374.
2. Роберт С. Джеймс (1951). «Нерефлексивное банахово пространство, изометрическое со своим вторым сопряженным пространством». Учеб. Натл. акад. наук. США . 37 (3): 174–177. Бибкод : 1951PNAS...37..174J. дои : 10.1073/pnas.37.3.174 . ПМЦ  1063327 . ПМИД  16588998.
3. Предложение 1.11.8 в Megginson (1998, стр. 99).
4. Меггинсон (1998, стр. 104–105).
5. Следствие 1.11.17, с. 104 в Меггинсоне (1998).
6. Конвей 1985, Теорема V.4.2, с. 135.
7. Поскольку слабая компактность и слабая секвенциальная компактность совпадают по теореме Эберлейна – Шмулиана .
8. Дистель 1984, с. 6.
9. Теорема 1.13.11 в книге Меггинсона (1998, стр. 125).
10. Теорема 2.5.16 в книге Меггинсона (1998, стр. 216).
11. Теорема 1.12.11 и следствие 1.12.12 в книге Megginson (1998, стр. 112–113).
12. см. эту характеристику гильбертова пространства среди банаховых пространств.
13. Джеймс, Роберт К. (1972), «Суперрефлексивные банаховы пространства», кан. Дж. Математика. 24 : 896–904.
14. Дакунья-Кастель, Дидье; Кривин, Жан-Луи (1972), «Приложения ультрапродуктов в изучении пространств и банаховых алгебр» (на французском языке), Studia Math. 41 : 315–334.
15. см. Джеймса (1972).
16. Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал . 13 : 281–288. дои : 10.1007/BF02762802.
17. Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Израильский математический журнал . 20 : 326–350. дои : 10.1007/BF02760337.
18. Изоморфизм топологических векторных пространств - это линейное и гомеоморфное отображение. ${\displaystyle \varphi :X\to Y.}$
19. Эдвардс 1965, 8.4.2.
20. Шефер 1966, 5.6, 5.5.
21. Эдвардс 1965, 8.4.5.
22. Эдвардс 1965, 8.4.3.
23. Narici & Beckenstein 2011, стр. 488–491.
24. Schaefer & Wolff 1999, стр. 144.
25. Халилулла 1982, стр. 32–63.
26. Treves 2006, стр. 376.
27. Тревес 2006, с. 377.
28. Бернард 2012.
29. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 212.
30. Treves 2006, с. 375.
31. Шефер и Вольф 1999, стр. 145.
32. Эдвардс 1965, 8.4.7.
33. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
34. Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства И. Спрингер Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Спрингер. ISBN 978-3-642-64988-2.
35. Гарибай Боналес, Ф.; Тригос-Арриета, Ф.Дж.; Вера Мендоса, Р. (2002). «Характеристика двойственности Понтрягина-ван Кампена для локально выпуклых пространств». Топология и ее приложения . 121 (1–2): 75–89. дои : 10.1016/s0166-8641(01)00111-0 .
36. Акбаров, С.С.; Шавгулидзе, ET (2003). «О двух классах рефлексивных по Понтрягину пространств». Мат. Сборник . 194 (10): 3–26.

Общие ссылки

• Бернардес, Нильсон К. младший (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах , том. 389, Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561..
• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Спрингер.
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. ОСЛК  9556781.
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
• Джеймс, Роберт К. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. математики. Исследования, том. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Пресс, стр. 159–175..
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Колмогоров А.Н.; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN. 0-387-98431-3
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.