Инфракрасное пространство

В функциональном анализе , дисциплине в математике, локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) называется инфрабочкообразным (также пишется инфрабочкообразным ), если каждый ограниченный бочонок является окрестностью начала координат. ^[1]

Аналогично, квазибочечные пространства являются топологическими векторными пространствами (TVS), для которых каждое рождающееся бочечное множество в пространстве является окрестностью начала координат. Квазибочечные пространства изучаются, поскольку они являются ослаблением определяющего условия бочечных пространств , для которого справедлива форма теоремы Банаха–Штейнгауза .

Определение

Подмножество топологического векторного пространства (TVS) называется пожирающим , если оно поглощает все ограниченные подмножества ; то есть, если для каждого ограниченного подмножества существует некоторый скаляр такой, что Бочкообразный набор или бочка в TVS — это множество , которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . Квазибочечное пространство — это TVS, для которого каждое пожирающее бочкообразное множество в пространстве является окрестностью начала отсчета. ^{[2] [3]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S\subseteq rB.}$

Характеристика

Если — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то каноническая инъекция из в его двусмысленное пространство является топологическим вложением тогда и только тогда, когда является инфрабочечным. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Хаусдорфово топологическое векторное пространство является квазибочечным тогда и только тогда, когда каждый ограниченный замкнутый линейный оператор из в полный метризуемый TVS является непрерывным. ^[5] По определению линейный оператор называется замкнутым , если его график является замкнутым подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Для локально выпуклого пространства с непрерывным сопряженным следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$является квазиствольным.
2. Всякая ограниченная полунепрерывная снизу полунорма на непрерывна. ${\displaystyle X}$
3. Каждое -ограниченное подмножество непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно. ${\displaystyle \beta (X',X)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. Сильный дуал — квазибочкообразный. ${\displaystyle X}$
2. Сильный дуал — бочкообразный. ${\displaystyle X}$
3. Сильный дуал от слова борнологический . ${\displaystyle X}$

Характеристики

Каждое квазиполное инфраствольное пространство является бочкообразным. ^[1]

Локально выпуклое хаусдорфово квазибочкообразное пространство, которое является секвенциально полным, является бочечным. ^[6]

Локально выпуклое хаусдорфово квазибочечное пространство является пространством Макки , квази-M-бочечным и счетно квазибочечным. ^[7]

Локально выпуклое квазибочкообразное пространство, которое также является σ-бочечным пространством, обязательно является бочечным пространством . ^[3]

Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и квазибочкообразно. ^[3]

Примеры

Каждое бочкообразное пространство является инфрабочек. ^[1] Замкнутое векторное подпространство инфрабочекого пространства, однако, не обязательно является инфрабочек. ^[8]

Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма любого семейства инфраствольных пространств инфраствольны. ^[8] Каждое разделенное частное инфраствольного пространства инфраствольно. ^[8]

Каждое хаусдорфово бочечное пространство и каждое хаусдорфово борнологическое пространство квазибочечное. ^[9] Таким образом, каждое метризуемое TVS квазибочечное.

Обратите внимание, что существуют квазибочечные пространства, которые не являются ни бочечными, ни борнологическими. ^[3] Существуют пространства Макки , которые не являются квазибочечными. ^[3] Существуют выделенные пространства , DF-пространства и -бочечные пространства, которые не являются квазибочечными. ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Сильное сопряженное пространство пространства Фреше выделяется тогда и только тогда, когда является квазибочечным. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Контрпримеры

Существует DF-пространство , которое не является квазибочечным. ^[3]

Существует квазибочечное DF-пространство , которое не является борнологическим . ^[3]

Существует квазибочечное пространство, которое не является σ-бочечным пространством . ^[3]

Смотрите также

• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Рефлексивное пространство  – локально выпуклое топологическое векторное пространство
• Полурефлексивное пространство

Ссылки

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 142.
2. Ярхов 1981, стр. 222.
3. Khaleelulla 1982, стр. 28–63.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 488–491.
5. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 43.
6. Халилулла 1982, стр. 28.
7. Халилулла 1982, стр. 35.
8. Шефер и Вольф 1999, стр. 194.
9. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 70–73.
10. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.