Изображение (математика)

Множество значений функции

Для функции, которая сопоставляет Персону с его Любимой Едой, образом Габриэлы является Яблоко. Прообразом Яблока является множество {Габриэла, Мэриам}. Прообразом Рыбы является пустое множество. Образом подмножества {Ричард, Мэриам} является {Рис, Эппл}. Прообразом {Рис, Эппл} является {Габриэла, Ричард, Мэриам}.

В математике для функции изображение входного значения — это единственное выходное значение, полученное при передаче . Прообраз выходного значения — это набор входных значений, которые производят . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

В более общем смысле, оценка каждого элемента заданного подмножества его домена создает набор, называемый « образом под (или через) ». Аналогично, обратный образ (или прообраз ) заданного подмножества кодомена — это набор всех элементов этого отображения на член ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

Образ функции — это множество всех выходных значений , которые она может производить, то есть образ . Прообраз , то есть прообраз под , всегда равен ( область определения ); поэтому первое понятие используется редко. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Изображение и прообраз также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение

${\displaystyle f}$— функция из домена в кодомен . Образ элемента — элемент . Прообраз элемента — множество { }. Прообраз элемента — . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle f}$является функцией из домена в кодомен . Изображение всех элементов в подмножестве есть подмножество . Прообраз есть подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle f}$является функцией из домена в кодомен. Желтый овал внутри является образом . Прообраз является всей областью ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Слово «изображение» используется в трех связанных смыслах. В этих определениях это функция из множества в множество ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Изображение элемента

Если является членом, то изображение ниже обозначено как значение , когда применяется к, также известно как вывод аргумента ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

При наличии функции говорят, что она принимает значение или принимает в качестве значения , если существует некоторое в области определения функции, такое что Аналогично, при наличии множества говорят, что оно принимает значение в , если существует некоторое в области определения функции, такое что Однако принимает [все] значения в и имеет значение в означает, что для каждой точки в области определения . ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\in S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Изображение подмножества

Пусть будет функцией. ${\displaystyle f:X\to Y}$изображение под подмножества есть множество всех для Оно обозначается или когда нет риска путаницы. Используя обозначение set-builder , это определение можно записать как ^{[1] ​​[2]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle f[A],}$ ${\displaystyle f(A),}$ $${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Это индуцирует функцию , где обозначает множество мощности множества , которое является множеством всех подмножеств Подробнее см. в § Обозначения ниже . ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle S.}$

Изображение функции

Образ функции — это образ всей ее области определения , также известной как область определения функции. ^[3] Последнего употребления следует избегать, поскольку слово «область определения» также обычно используется для обозначения области определения ${\displaystyle f.}$

Обобщение на бинарные отношения

Если — произвольное бинарное отношение , то множество называется образом или диапазоном. Двойственно, множество называется областью определения ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$ ${\displaystyle R.}$

Обратное изображение

Пусть — функция от до Прообраз или прообраз множества под обозначением — это подмножество, определяемое соотношением ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

Другие обозначения включают и ^[4] Обратный образ одноэлементного множества , обозначаемый как или , также называется слоем или слоем над или множеством уровня множества . Множество всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств, индексированных как ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle f^{-}(B).}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Например, для функции обратный образ будет Опять же, если нет риска путаницы, можно обозначить как и можно также рассматривать как функцию из множества степеней в множество степеней Обозначение не следует путать с обозначением для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций в том, что обратный образ под является образом под ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ ${\displaystyle \{4\}}$ ${\displaystyle \{-2,2\}.}$ ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ ${\displaystyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{-1}.}$

Обозначениедля изображения и инверсного изображения

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не различают исходную функцию от функции образа множеств ; также они не различают обратную функцию (предполагая, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает множества степеней). При правильном контексте это сохраняет нотацию легкой и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернативой ^[5] является указание явных имен для образа и прообраза как функций между множествами степеней: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

Обозначение стрелок

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$с ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$с ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Звездная нотация

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$вместо ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Другая терминология

• Альтернативная нотация, используемая в математической логике и теории множеств, — ^{[6] [7]} ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle f\,''A.}$
• В некоторых текстах изображение называют диапазоном ^[8], но такого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также обычно используется для обозначения области значений ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f.}$

Примеры

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$определяется ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   Образ множества под есть Образ функции есть Прообраз есть Прообраз есть также Прообраз под есть пустое множество​​​​​​ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{a,c\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{b,d\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$определяется ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   Образ под есть , а образ есть (множество всех положительных действительных чисел и ноль). Прообраз под есть Прообраз множества под есть пустое множество , потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве действительных чисел. ${\displaystyle \{-2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \{4,9\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$ ${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$определяется ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Волокна представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того, (соответственно). (Если тогда волокно представляет собой множество всех удовлетворяющих уравнению , то есть окружность с центром в начале координат и радиусом ) ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$ ${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. Если — многообразие и — каноническая проекция из касательного расслоения на , то слои — касательные пространства Это также пример расслоения . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ .

Характеристики

Общий

Для каждой функции и всех подмножеств справедливы следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Множественные функции

Для функций и с подмножествами справедливы следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции и подмножеств справедливы следующие свойства: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Результаты, связывающие образы и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, применимы для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(Здесь может быть бесконечно, даже неисчислимо бесконечно .) ${\displaystyle S}$

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (то есть она не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  – Свойства математических функций
• Волокно (математика)  – множество всех точек в области определения функции, которые отображаются в некоторую заданную точку.
• Изображение (теория категорий)  – термин в теории категорийPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ядро функции  – отношение эквивалентности, выражающее, что два элемента имеют одинаковое изображение под действием функции.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Инверсия множеств  – математическая задача нахождения множества, отображаемого заданной функцией в определенный диапазон.

Примечания

1. "5.4: О функциях и образах/прообразах множеств". Mathematics LibreTexts . 2019-11-05 . Получено 2020-08-28 .
2. Пол Р. Халмош (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Nostrand.Здесь: Раздел 8
3. Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
4. Долецки и Майнард 2016, стр. 4–5.
5. Блит 2005, стр. 5.
6. Джин Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. стр. xix. ASIN  B0006BQH7S.
7. М. Рэндалл Холмс: Неоднородность урэлементов в обычных моделях NFU, 29 декабря 2005 г., в: Semantic Scholar, стр. 2
8. Хоффман, Кеннет (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Prentice-Hall. стр. 388.
9. См. Halmos 1960, стр. 31
10. См. Munkres 2000, стр. 19
11. См. стр. 388 Ли, Джон М. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
12. Kelley 1985, стр. 85
13. См. Munkres 2000, стр. 21

Ссылки

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, ТС (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Халмош, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания van Nostrand. ISBN 9780442030643. Збл  0087.04403.
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

В данной статье использованы материалы из Fibre on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .