Метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
В математике главное значение Коши , названное в честь Огюстена-Луи Коши , представляет собой метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам , которые в противном случае были бы неопределенными. В этом методе сингулярность на целом интервале можно избежать путем ограничения целого интервала неособой областью.
Формулировка
В зависимости от типа особенности подынтегрального выражения f главное значение Коши определяется по следующим правилам:
Для особенности при конечном числе b
с и где b — трудная точка, в которой поведение функции f таково, что для любого и для любого
( точное использование обозначений ± и ∓ см. в разделе «плюс» и «минус» ).![{\displaystyle a<b<c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а<b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для особенности на бесконечности ( )![{\displaystyle \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
и![{\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В некоторых случаях приходится одновременно иметь дело с особенностями как на конечном числе b, так и на бесконечности. Обычно это делается с помощью предела вида
В тех случаях, когда интеграл можно разбить на два независимых конечных предела,
и
тогда функция интегрируема в обычном смысле. Результат процедуры определения основного значения такой же, как и при использовании обычного интеграла; поскольку оно больше не соответствует определению, технически оно не является «основной ценностью». Главное значение Коши также можно определить через контурные интегралы от комплекснозначной функции с полюсом на контуре C . Определим , что это тот же контур, из которого удалена часть внутри диска радиуса ε вокруг полюса. При условии, что функция интегрируема по любому малому ε , то главное значение Коши является предельным: [1]
В случае функций , интегрируемых по Лебегу , то есть функций, интегрируемых по абсолютной величине , эти определения совпадают с стандартное определение интеграла. Если функция мероморфна , теорема Сохоцкого-Племеля связывает главное значение интеграла по C со средним значением интегралов с контуром, слегка смещенным вверх и вниз, так что к этим интегралам можно применить теорему о вычетах . Интегралы главных значений играют центральную роль в обсуждении преобразований Гильберта . [2]![{\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b- {\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _ {\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm { d} x\,\right|\;<\;\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x \,\right|\;<\;\infty ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(\varepsilon)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(\varepsilon)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _ {\varepsilon \to 0^{+}}\int _{ C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теория распределения
Пусть – множество бамп-функций , т. е. пространство гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой . Тогда карта
, определенная через главное значение Коши,
является распределением . Саму карту иногда можно назвать главным значением (отсюда и обозначение pv ). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье знаковой функции и ступенчатой функции Хевисайда .
![{\displaystyle \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R } )\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _ {\varepsilon \to 0^{ +}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\ varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\ quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Четкая определенность как распределение
Чтобы доказать существование предела
для функции Шварца , сначала заметим, что она непрерывна по as
и, следовательно
, по скольку непрерывна и применяется правило Лопиталя .
![{\ displaystyle u (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [0,\infty),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _ {\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\ ,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и'(х)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, существует, и, применив теорему о среднем значении, мы получаем :![{\displaystyle \int _{0}^{1}\, {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle и (х) - и (- х),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\ right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\ mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R } }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\ ,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
И, кроме того:
![{\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x \,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \ ;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
заметим, что отображение
ограничено обычными полунормами для функций Шварца . Следовательно, это отображение определяет, поскольку оно очевидно линейно, непрерывный функционал в пространстве Шварца и, следовательно, умеренное распределение .
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что доказательство должно быть просто непрерывно дифференцируемым в окрестности 0 и быть ограниченным до бесконечности. Таким образом, главное значение определяется при еще более слабых предположениях, таких как интегрируемость с компактным носителем и дифференцируемость в точке 0.![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle x \, u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Более общие определения
Главным значением является обратное распределение функции и это практически единственное распределение, обладающее таким свойством:
где – константа и распределение Дирака.![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K \дельта,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более широком смысле главное значение можно определить для широкого класса сингулярных целых ядер в евклидовом пространстве . Если имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является «хорошей» функцией, то распределение главного значения определяется на гладких функциях с компактным носителем
. не обязательно определяют распределение. Однако она корректно определена, если является непрерывной однородной функцией степени , интеграл которой по любой сфере с центром в начале координат равен нулю. Так обстоит дело, например, с преобразованиями Рисса .![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _ {\varepsilon \to 0}\int _ {\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\ варепсилон }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Рассмотрим значения двух пределов:![{\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a} ^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это главное значение Коши неправильно определенного выражения.![{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (что дает }}{-\infty }+\infty {\text {)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Также:![{\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a} ^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогично, мы имеем![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0 ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это основное значение выражения, которое в противном случае не определено
, но![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (что дает }}{ -\infty }+\infty {\text{)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=- \пер 4.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обозначения
Разные авторы используют разные обозначения для главного значения Коши функции , среди прочего:
а также PV и VP.![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ mathrm {pv} \ int f (x) \, \ mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle P,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (CPV),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Канвал, Рам П. (1996). Линейные интегральные уравнения: Теория и техника (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 191. ИСБН 0-8176-3940-3– через Google Книги.
- ^ Кинг, Фредерик В. (2009). Преобразования Гильберта . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88762-5.