Слабая топология

Математический термин

В математике слабая топология — это альтернативный термин для некоторых начальных топологий , часто на топологических векторных пространствах или пространствах линейных операторов , например, на гильбертовом пространстве . Этот термин чаще всего используется для начальной топологии топологического векторного пространства (такого как нормированное векторное пространство ) относительно его непрерывного сопряженного . Оставшаяся часть этой статьи будет посвящена этому случаю, который является одним из понятий функционального анализа .

Подмножества топологического векторного пространства можно назвать слабо замкнутыми (соответственно, слабо компактными и т. д.), если они замкнуты (соответственно, компактны и т. д.) относительно слабой топологии. Аналогично функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно, слабо дифференцируемыми , слабо аналитическими и т. д.), если они непрерывны (соответственно, дифференцируемы , аналитическими и т. д.) относительно слабой топологии.

История

Начиная с начала 1900-х годов, Давид Гильберт и Марсель Рисс широко использовали слабую сходимость. Ранние пионеры функционального анализа не возвышали норменную сходимость над слабой сходимостью и часто считали слабую сходимость предпочтительной. ^[1] В 1929 году Банах ввел слабую сходимость для нормированных пространств, а также ввел аналогичную слабую-* сходимость . ^[1] Слабая топология называется topologie faible на французском языке и schwache Topologie на немецком языке.

Слабая и сильная топологии

Пусть будет топологическим полем , а именно полем с топологией, такой что сложение, умножение и деление непрерывны . В большинстве приложений будет либо полем комплексных чисел , либо полем действительных чисел со знакомыми топологиями. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Слабая топология относительно спаривания

И слабая топология, и слабая* топология являются частными случаями более общей конструкции для пар , которую мы сейчас опишем. Преимущество этой более общей конструкции в том, что любое определение или результат, доказанный для нее, применим как к слабой топологии, так и к слабой* топологии, тем самым делая излишней необходимость во многих определениях, теоремных утверждениях и доказательствах. Это также причина, по которой слабую* топологию также часто называют «слабой топологией»; потому что это просто пример слабой топологии в контексте этой более общей конструкции.

Предположим, что ( X , Y , b ) — это пара векторных пространств над топологическим полем (т.е. X и Y — векторные пространства над , а b  : X × Y → — это билинейное отображение ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Обозначение. Для всех x ∈ X пусть b ( x , •) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ обозначает линейный функционал на Y , определяемый соотношением y ↦ b ( x , y ) . Аналогично, для всех y ∈ Y пусть b ( •, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ определяется соотношением x ↦ b ( x , y ) .

Определение. Слабая топология на X, индуцированная Y (и b ), является слабейшей топологией на X , обозначаемой 𝜎( X , Y , b ) или просто 𝜎( X , Y ) , что делает все отображения b (•, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ непрерывными, поскольку y пробегает Y . ^[1]

Слабая топология на Y теперь автоматически определяется, как описано в статье Двойственная система . Однако для ясности мы теперь повторяем это.

Определение. Слабая топология на Y, индуцированная X (и b ), является слабейшей топологией на Y , обозначаемой 𝜎( Y , X , b ) или просто 𝜎( Y , X ) , что делает все отображения b ( x , •) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ непрерывными, поскольку x пробегает X . ^[1]

Если поле имеет абсолютное значение | ⋅ | , то слабая топология 𝜎( X , Y , b ) на X индуцируется семейством полунорм , p _y  : X → , определяемым соотношением ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

p _y ( x ) := | b ( x , y ) |

для всех y ∈ Y и x ∈ X. Это показывает, что слабые топологии локально выпуклы .

Предположение. В дальнейшем мы будем предполагать, что это либо действительные числа , либо комплексные числа . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каноническая двойственность

Теперь рассмотрим частный случай, когда Y является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства X (т.е. векторным пространством линейных функционалов на X ).

Существует спаривание, обозначаемое или , называемое каноническим спариванием , билинейным отображением которого является каноническое оценочное отображение , определяемое для всех и . Обратите внимание, в частности, что это просто другой способ обозначения ie . ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in Y}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}$

Предположение. Если Y является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства X , то мы будем предполагать, что они связаны с каноническим спариванием ⟨ X , Y ⟩ .

В этом случае слабая топология на X (соответственно слабая топология на Y ), обозначаемая как 𝜎( X , Y ) (соответственно 𝜎( Y , X ) ), является слабой топологией на X (соответственно на Y ) относительно канонического спаривания ⟨ X , Y ⟩ .

Топология σ( X , Y ) является начальной топологией X относительно Y .

Если Y — векторное пространство линейных функционалов на X , то непрерывное сопряженное пространство X относительно топологии σ( X , Y ) в точности равно Y . ^[1] (Рудин 1991, Теорема 3.10)

Слабая и слабая* топологии

Пусть X — топологическое векторное пространство (TVS) над , то есть X — векторное пространство, снабженное топологией, так что сложение векторов и скалярное умножение непрерывны. Мы называем топологию, которую X начинает с исходной , начальной или заданной топологией (читатель предостерегается от использования терминов « исходная топология » и « сильная топология » для обозначения исходной топологии, поскольку они уже имеют хорошо известные значения, поэтому их использование может вызвать путаницу). Мы можем определить возможно другую топологию на X , используя топологическое или непрерывное сопряженное пространство , которое состоит из всех линейных функционалов из X в базовое поле , которые непрерывны относительно заданной топологии. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Напомним, что — каноническая оценочная карта, определенная для всех и , где, в частности, . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in X^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}$

Определение. Слабая топология на X — это слабая топология на X относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология на X, делающая все отображения непрерывными, поскольку пробегает . ^[1] ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Определение : Слабая топология на ${\displaystyle X^{*}}$ — это слабая топология на относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология на, делающая все отображения непрерывными, так как x пробегает X. ^[1] Эта топология также называется слабой* топологией . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K} }$

Ниже мы приводим альтернативные определения.

Слабая топология, индуцированная непрерывным дуальным пространством

Альтернативно, слабая топология на TVS X является начальной топологией относительно семейства . Другими словами, это самая грубая топология на X, такая, что каждый элемент из остается непрерывной функцией . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Подбазой для слабой топологии является совокупность множеств вида , где и U — открытое подмножество базового поля . Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда его можно записать как объединение (возможно, бесконечного числа) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида . ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$

С этой точки зрения слабая топология является самой грубой полярной топологией .

Слабая сходимость

Слабая топология характеризуется следующим условием: сеть в X сходится в слабой топологии к элементу x из X тогда и только тогда, когда сходится к в или для всех . ${\displaystyle (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$

В частности, если — последовательность в X , то слабо сходится к x, если ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}$

при n → ∞ для всех . В этом случае принято писать ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}$

или, иногда,

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

Другие свойства

Если X снабжено слабой топологией, то сложение и скалярное умножение остаются непрерывными операциями, а X является локально выпуклым топологическим векторным пространством .

Если X — нормированное пространство, то двойственное пространство само является нормированным векторным пространством с использованием нормы ${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}$

Эта норма порождает топологию, называемую сильной топологией , на . Это топология равномерной сходимости . Равномерная и сильная топологии, как правило, различны для других пространств линейных отображений; см. ниже. ${\displaystyle X^{*}}$

Слабая-* топология

Слабая* топология является важным примером полярной топологии .

Пространство X может быть вложено в его двойной дуальный X** с помощью

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases}}}$

Таким образом, является инъективным линейным отображением, хотя и не обязательно сюръективным (пространства, для которых это каноническое вложение сюръективно, называются рефлексивными ). Слабая-* топология на является слабой топологией, индуцированной образом . Другими словами, это самая грубая топология, такая, что отображения T _x , определенные из в базовое поле или остаются непрерывными. ${\displaystyle T:X\to X^{**}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$ ${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Слабая-* сходимость

Сеть в сходится к в топологии weak-*, если она сходится поточечно : ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}$

для всех . В частности, последовательность сходится к при условии, что ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}$

для всех x ∈ X. В этом случае пишут

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }$

при n → ∞ .

Слабо-* сходимость иногда называют простой сходимостью или поточечной сходимостью . Действительно, она совпадает с поточечной сходимостью линейных функционалов.

Характеристики

Если X — сепарабельное (т.е. имеющее счетное плотное подмножество) локально выпуклое пространство, а H — ограниченное по норме подмножество его непрерывного сопряженного пространства, то H, наделенное слабой* (подпространственной) топологией, является метризуемым топологическим пространством. ^[1] Однако для бесконечномерных пространств метрика не может быть трансляционно-инвариантной. ^[2] Если X — сепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство, то слабая* топология на непрерывном сопряженном пространстве X является сепарабельной. ^[1]

Свойства нормированных пространств

По определению, слабая* топология слабее слабой топологии на . Важным фактом о слабой* топологии является теорема Банаха–Алаоглу : если X нормировано, то замкнутый единичный шар в является слабо* -компактным (в более общем случае, поляра в окрестности 0 в X является слабо*-компактным). Более того, замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X является компактным в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивно . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

В более общем случае, пусть F — локально компактное поле значений (например, действительные числа, комплексные числа или любая из p-адических числовых систем). Пусть X — нормированное топологическое векторное пространство над F , совместимое с абсолютным значением в F . Тогда в , топологическом сопряженном пространстве X непрерывных F -значных линейных функционалов на X , все замкнутые по норме шары компактны в слабой* топологии. ${\displaystyle X^{*}}$

Если X — нормированное пространство, то выполняется версия теоремы Гейне-Бореля . В частности, подмножество непрерывного сопряженного пространства является слабо* компактным тогда и только тогда, когда оно слабо* замкнуто и ограничено по норме. ^[1] Это подразумевает, в частности, что когда X — бесконечномерное нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в начале координат в сопряженном пространстве X не содержит никакой слабо* окрестности 0 (поскольку любая такая окрестность не ограничена по норме). ^[1] Таким образом, даже если замкнутые по норме шары компактны, X* не является слабо* локально компактным .

Если X — нормированное пространство, то X сепарабельно тогда и только тогда, когда слабая* топология на замкнутом единичном шаре метризуема, ^[1] в этом случае слабая* топология метризуема на ограниченных нормой подмножествах . Если нормированное пространство X имеет сопряженное пространство, которое сепарабельно (относительно топологии с дуальной нормой), то X обязательно сепарабельно. ^[1] Если X — банахово пространство , слабая* топология не метризуема на всех из , если только X не конечномерно. ^[3] ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Примеры

Гильбертовы пространства

Рассмотрим, например, разницу между сильной и слабой сходимостью функций в гильбертовом пространстве L ² ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Сильная сходимость последовательности к элементу ψ означает, что ${\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}$

при k → ∞ . Здесь понятие сходимости соответствует норме на L ² .

В отличие от этого слабая сходимость требует только того, чтобы

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }$

для всех функций f ∈ L ² (или, что более типично, всех f в плотном подмножестве L ² , таком как пространство тестовых функций , если последовательность { ψ _k } ограничена). Для заданных тестовых функций соответствующее понятие сходимости соответствует только топологии, используемой в . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Например, в гильбертовом пространстве L ² (0,π) последовательность функций

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}$

образуют ортонормированный базис . В частности, (сильный) предел при k → ∞ не существует. С другой стороны, по лемме Римана–Лебега слабый предел существует и равен нулю. ${\displaystyle \psi _{k}}$

Распределения

Обычно пространства распределений получаются путем формирования сильного сопряжения пространства тестовых функций (например, гладких функций с компактным носителем на ). В альтернативной конструкции таких пространств можно взять слабое сопряжение пространства тестовых функций внутри гильбертова пространства, такого как L ² . Таким образом, можно рассмотреть идею оснащенного гильбертова пространства . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Слабая топология, индуцированная алгебраическим дуальным

Предположим, что X — векторное пространство, а X ^# — алгебраическое сопряженное пространство X (т. е. векторное пространство всех линейных функционалов на X ). Если X наделено слабой топологией, индуцированной X ^# , то непрерывное сопряженное пространство X — это X ^# , каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X , каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение . ^[4]

Топологии операторов

Если X и Y являются топологическими векторными пространствами, пространство L ( X , Y ) непрерывных линейных операторов f  : X  →  Y может нести множество различных возможных топологий. Наименование таких топологий зависит от вида топологии, используемой на целевом пространстве Y для определения сходимости операторов (Yosida 1980, IV.7 Топологии линейных отображений). В общем случае существует обширный массив возможных топологий операторов на L ( X , Y ) , наименование которых не совсем интуитивно.

Например, сильная операторная топология на L ( X , Y ) является топологией поточечной сходимости . Например, если Y — нормированное пространство, то эта топология определяется полунормами, индексированными x ∈ X :

${\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}$

В более общем случае, если семейство полунорм Q определяет топологию на Y , то полунормы p _{q , x} на L ( X , Y ), определяющие сильную топологию, задаются как

${\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}$

индексируется q ∈ Q и x ∈ X.​

В частности, см. топологию слабого оператора и топологию слабого* оператора .

Смотрите также

• Компакт Эберлейна , компактное множество в слабой топологии
• Слабая сходимость (гильбертово пространство)
• Топология оператора слабой звезды
• Слабая конвергенция мер
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неопределенная топология

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Фолланд 1999, стр. 170.
3. Предложение 2.6.12, стр. 226 в Megginson, Robert E. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
4. Трев 2006, стр. 36, 201.

Библиография

• Конвей, Джон Б. (1994), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
• Фолланд, ГБ (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе издание). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Педерсен, Герт (1989), Анализ сейчас , Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Уиллард, Стивен (февраль 2004 г.). Общая топология . Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (6-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8