Начальная топология

Грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывными

В общей топологии и смежных областях математики исходная топология (или индуцированная топология ^{[1] [2]} или сильная топология , или предельная топология , или проективная топология ) на множестве относительно семейства функций на — это самая грубая топология на , которая делает эти функции непрерывными . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Конструкции топологии подпространства и топологии произведения являются частными случаями начальных топологий. Действительно, конструкцию начальной топологии можно рассматривать как их обобщение.

Двойственное понятие — это конечная топология , которая для заданного семейства функций , отображающихся на множество, является наилучшей топологией , делающей эти функции непрерывными. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Определение

Для заданного множества и индексированного семейства топологических пространств с функциями исходная топология на является самой грубой топологией на такой , что каждая из них непрерывна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

Определение в терминах открытых множеств

Если — семейство топологий, индексированное по , то топология с наименьшей верхней границей этих топологий — это самая грубая топология, которая тоньше каждой Такая топология всегда существует и она равна топологии , порожденной ^[3] ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{i}.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.}$

Если для каждого обозначает топологию на , то является топологией на , а начальная топология отображения является топологией с наименьшей верхней границей -индексированного семейства топологий (для ). ^[3] Явно, начальная топология является совокупностью открытых множеств, порожденных всеми множествами вида , где является открытым множеством в для некоторых конечных пересечений и произвольных объединений. ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

Множества вида часто называют цилиндрическими множествами . Если содержит ровно один элемент , то все открытые множества исходной топологии являются цилиндрическими множествами. ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Примеры

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

• Топология подпространства — это начальная топология на подпространстве относительно отображения включения .
• Топология произведения является исходной топологией по отношению к семейству проекционных отображений .
• Обратный предел любой обратной системы пространств и непрерывных отображений — это теоретико-множественный обратный предел вместе с исходной топологией, определяемой каноническими морфизмами.
• Слабая топология на локально выпуклом пространстве является исходной топологией относительно непрерывных линейных форм его сопряженного пространства .
• Для заданного семейства топологий на фиксированном множестве начальная топология на относительно функций является супремумом (или объединением) топологий в решетке топологий на То есть начальная топология является топологией, порожденной объединением топологий ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• Топологическое пространство является вполне регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию относительно своего семейства ( ограниченных ) действительнозначных непрерывных функций.
• Каждое топологическое пространство имеет начальную топологию относительно семейства непрерывных функций из в пространство Серпинского . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Характерное свойство

Исходную топологию на можно охарактеризовать следующим характеристическим свойством: функция из некоторого пространства в непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна для каждого ^[4] ${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Характерное свойство исходной топологии

Обратите внимание, что, несмотря на то, что выглядит довольно похоже, это не универсальное свойство . Категориальное описание приведено ниже.

Фильтр сходится к точке тогда и только тогда, когда предварительный фильтр сходится к для каждого ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Оценка

По универсальному свойству топологии произведения мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений определяет единственное непрерывное отображение ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

Эта карта известна каккарта оценки .^{[ необходима ссылка ]}

Говорят, что семейство карт ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$разделяет точки в ,если для всехвсуществует такое, чтоСемействоразделяет точки тогда и только тогда, когда связанное с ним отображение оценкиявляетсяинъективным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f}$

Оценочная карта будет топологическим вложением тогда и только тогда, когда имеет начальную топологию, определенную картами , и это семейство карт разделяет точки в ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle X.}$

Хаусдорфовость

Если имеет начальную топологию, индуцированную и если каждое является хаусдорфовым, то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда эти отображения разделяют точки на ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Транзитивность исходной топологии

Если имеет начальную топологию, индуцированную -индексированным семейством отображений , и если для каждого топология на является начальной топологией, индуцированной некоторым -индексированным семейством отображений (как пробегает по ), то начальная топология на , индуцированная с помощью , равна начальной топологии, индуцированной -индексированным семейством отображений как пробегает по и пробегает по ^[5]. Теперь приведем несколько важных следствий этого факта. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

В частности, если то топология подпространства, которая наследуется от , равна начальной топологии, индуцированной отображением включения (определенным с помощью ). Следовательно, если имеет начальную топологию, индуцированную то топология подпространства, которая наследуется от , равна начальной топологии, индуцированной ограничениями на [ ^4] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle S.}$

Топология произведения на равна исходной топологии, индуцированной каноническими проекциями , поскольку пробегает ^[4] Следовательно, исходная топология на , индуцированная на , равна обратному образу топологии произведения на оценочным отображением ^[4] Кроме того, если отображения разделяют точки на , то оценочное отображение является гомеоморфизмом на подпространство пространства произведения ^[4] ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

Разделение точек из замкнутых множеств

Если пространство снабжено топологией, часто бывает полезно узнать, является ли топология на исходной топологией, индуцированной некоторым семейством отображений на В этом разделе дано достаточное (но не необходимое) условие. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Семейство отображений разделяет точки из замкнутых множеств в , если для всех замкнутых множеств в и всех существует такое , что , где обозначает оператор замыкания . ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Теорема . Семейство непрерывных отображений разделяет точки из замкнутых множеств тогда и только тогда, когда цилиндрические множества для открытого в форме базы для топологии на ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle X.}$

Отсюда следует, что всякий раз, когда точки отделяются от замкнутых множеств, пространство имеет начальную топологию, индуцированную отображениями. Обратное утверждение неверно, поскольку, как правило, цилиндрические множества будут образовывать только подбазу (а не базу) для начальной топологии. ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

Если пространство является пространством T , то любая коллекция карт , которая разделяет точки из замкнутых множеств в , должна также разделять точки. В этом случае оценочная карта будет вложением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Первоначальная однородная структура

Если — семейство равномерных структур на , индексированное по , то равномерная структура наименьшей верхней границы является самой грубой равномерной структурой на , которая тоньше каждой из них. Эта равномерная структура всегда существует и равна фильтру на , сгенерированному подбазой фильтров ^[6]. Если — топология на , индуцированная равномерной структурой , то топология на , связанная с равномерной структурой наименьшей верхней границы, равна топологии наименьшей верхней границы ^[6]. ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

Теперь предположим, что является семейством отображений и для каждого пусть будет равномерной структурой на Тогда начальная равномерная структура отображений является единственной грубейшей равномерной структурой на делая все равномерно непрерывными . ^[6] Она равна наименьшей верхней границе равномерной структуры -индексированного семейства равномерных структур (для ). ^[6] Топология на , индуцированная является грубейшей топологией на такой, что каждое является непрерывным. ^[6] Начальная равномерная структура также равна грубейшей равномерной структуре такой, что тождественные отображения равномерно непрерывны. ^[6] ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}.}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

Хаусдорфовость : топология на , индуцированная исходной однородной структурой, является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда для любого числа различны ( ), то существует некоторое и некоторое окружение такое , что ^[6] Более того, если для каждого индекса топология на , индуцированная хаусдорфовой, то топология на , индуцированная исходной однородной структурой, является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда отображения разделяют точки на ^[6] (или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда отображение оценки является инъективным) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

Равномерная непрерывность : если — начальная равномерная структура, индуцированная отображениями , то функция из некоторого равномерного пространства в равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда она равномерно непрерывна для каждого ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Фильтр Коши : Фильтр является фильтром Коши тогда и только тогда, когда является предварительным фильтром Коши для каждого ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Транзитивность исходной однородной структуры : Если в приведенном выше утверждении о «транзитивности исходной топологии» слово «топология» заменить на «равномерная структура», то полученное утверждение также будет верным.

Категориальное описание

На языке теории категорий начальную топологическую конструкцию можно описать следующим образом. Пусть будет функтором из дискретной категории в категорию топологических пространств , который отображает . Пусть будет обычным забывающим функтором из в . Тогда отображения можно рассматривать как конус из в То есть, является объектом категории конусов в Точнее, этот конус определяет -структурированный косинус в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

Забывчивый функтор индуцирует функтор . Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению, что существует универсальный морфизм из в , то есть терминальный объект в категории Явно, это состоит из объекта в вместе с морфизмом таким, что для любого объекта в и морфизма существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle (X,f);}$ ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ ${\displaystyle (Z,g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

Назначение, помещающее начальную топологию на , продолжается до функтора , который является правым сопряженным к забывающему функтору Фактически, является правым обратным к ; поскольку является тождественным функтором на ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}I}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

Смотрите также

• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Топология произведений  – Топология декартовых произведений топологических пространств
• Факторпространство (топология)  – Построение топологического пространства
• Топология подпространства  – Унаследованная топология

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
2. Адамсон, Иэн Т. (1996). «Индуцированные и коиндуцированные топологии». A General Topology Workbook . Birkhäuser, Бостон, Массачусетс. С. 23–30. doi :10.1007/978-0-8176-8126-5_3. ISBN 978-0-8176-3844-3. Получено 21 июля 2020 г. . ... топология, индуцированная на E семейством отображений ...
3. Grothendieck 1973, стр. 1.
4. Гротендик 1973, стр. 2.
5. Гротендик 1973, стр. 1–2.
6. Гротендик 1973, стр. 3.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

• Начальная топология на PlanetMath .
• Топология произведений и топология подпространств на PlanetMath .