Монтель пространство

Бочковое пространство, в котором замкнутые и ограниченные подмножества компактны.

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство Монтеля , названное в честь Поля Монтеля , представляет собой любое топологическое векторное пространство (TVS), в котором выполняется аналог теоремы Монтеля . В частности, пространство Монтеля — это бочкообразное топологическое векторное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно .

Определение

Топологическое векторное пространство (ТВП) имеетСвойство Гейне–Бореля, есликаждоезамкнутоеиограниченное подмножествокомпактно. АПространство Монтеля представляет собойбочкообразноетопологическое векторное пространство со свойством Гейне – Бореля. Эквивалентно, этоинфраствольноеполумонтелевское пространство, в которомхаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространствоназываетсяполумонтельское пространство илиидеально , если каждоеограниченное подмножествоотносительнокомпактно.^{[примечание 1]} Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда онополноиполностью ограничено. АПространство Фреше–Монтеля — этопространство Фреше, которое также является пространством Монтеля.

Характеристики

Сепарабельное пространство Фреше является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая слабо сходящаяся последовательность в ее непрерывном двойственном пространстве сходится сильно . ^[1]

Пространство Фреше является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая ограниченная непрерывная функция переводит замкнутые ограниченные абсолютно выпуклые подмножества в относительно компактные подмножества . Более того, если обозначает векторное пространство всех ограниченных непрерывных функций в пространстве Фреше , то оно является монтелевым тогда и только тогда, когда каждая последовательность из нее сходится к нулю в компактно-открытой топологии и равномерно сходится к нулю на всех замкнутых ограниченных абсолютно выпуклых подмножествах из ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to c_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Достаточные условия

Полу-Монтельские помещения

Замкнутое векторное подпространство полумонтелявского пространства снова является полумонтелевским пространством. Локально выпуклая прямая сумма любого семейства полумонтелевских пространств снова является полумонтелевским пространством. Обратный предел обратной системы, состоящей из полумонтелявских пространств, снова является полумонтелевским пространством. Декартово произведение любого семейства полумонтелевских пространств (соответственно пространств Монтеля) снова является полумонтелевским пространством (соответственно пространством Монтеля).

Пространства Монтеля

Сильным двойником пространства Montel является Montel. Квазиполное ядерное пространство с бочонком — это пространство Монтеля. ^[1] Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма семейства монтелевых пространств является монтелевым пространством. ^[1] Строгий индуктивный предел последовательности пространств Монтеля является пространством Монтеля. ^[1] Напротив, замкнутые подпространства и отдельные факторы пространств Монтеля, как правило, даже не рефлексивны . ^[1] Каждое пространство Фреше -Шварца является пространством Монтеля. ^[3]

Характеристики

Пространства Монтеля паракомпактны и нормальны . ^[4] Пространства Полу-Монтеля квазиполные и полурефлексивные, а пространства Монтеля рефлексивны .

Никакое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Это связано с тем, что банахово пространство не может удовлетворять свойству Гейне – Бореля : замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не компактен. Пространства Фреше- Монтеля сепарабельны и имеют борнологическое сильное двойственное пространство. Метризуемое монтелевское пространство сепарабельно . ^[1]

Пространства Фреше–Монтеля являются выделенными пространствами .

Примеры

В классическом комплексном анализе теорема Монтеля утверждает, что этим свойством обладает пространство голоморфных функций на открытом связном подмножестве комплексных чисел . ^{[ нужна цитата ]}

Многие пространства Монтеля, представляющие современный интерес, возникают как пространства основных функций для пространства распределений . Пространство гладких функций на открытом множестве в является пространством Монтеля, снабженным топологией, индуцированной семейством полунорм ^[5] для и пробегает компактные подмножества и является мультииндексом . Точно так же пространство функций с компактным носителем в открытом множестве с конечной топологией семейства включений пробегает все компактные подмножества пространства Шварца также является пространством Монтеля. ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|}$$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega .}$

Контрпримеры

Каждое бесконечномерное нормированное пространство представляет собой бочкообразное пространство , которое не является пространством Монтеля. ^[6] В частности, всякое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. ^[6] Существуют пространства Монтеля, которые не являются сепарабельными, и существуют пространства Монтеля, которые не являются полными . ^[6] Существуют пространства Монтеля, имеющие замкнутые векторные подпространства, которые не являются пространствами Монтеля. ^[7]

Смотрите также

• Бочковое пространство  - тип топологического векторного пространства.
• Борнологическое пространство  - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Теорема Гейне – Бореля  . Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
• LB-пространство
• LF-пространство  - Топологическое векторное пространство.
• Ядерное пространство  - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.

Примечания

1. Подмножество топологического пространства называется относительно компактным, если его замыкание в компактно . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Рекомендации

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 194–195.
2. Линдстрем 1990, стр. 191–196.
3. Халилулла 1982, стр. 32–63.
4. «Топологическое векторное пространство». Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 г.
5. Хогбе-Нленд и Москателли 1981, с. 235
6. Khaleelulla 1982, стр. 28–63.
7. Халилулла 1982, стр. 103–110.

Библиография

• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. МР  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. ОСЛК  316564345.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Линдстрем, Микаэль (1 января 1990 г.). «Заметка о пространствах Фреше-Монтеля» (PDF) . Труды Американского математического общества . 108 (1). Американское математическое общество (AMS): 191–196. дои : 10.1090/s0002-9939-1990-0994780-8. ISSN  0002-9939.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• «Пространство Монтеля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]