Выдающееся пространство

TVS, чья сильная дуаль забаррикадирована

В функциональном анализе и смежных областях математики выделенные пространства — это топологические векторные пространства (TVS), обладающие тем свойством, что слабо* ограниченные подмножества их двусмысленных пространств (то есть сильно сопряженное пространство их сильно сопряженного пространства) содержатся в слабо* замыкании некоторого ограниченного подмножества двусмысленного пространства.

Определение

Предположим, что является локально выпуклым пространством и пусть и обозначают сильное сопряженное пространство (то есть непрерывное сопряженное пространство , наделенное сильно сопряженной топологией ). Пусть обозначает непрерывное сопряженное пространство , а пусть обозначает сильное сопряженное пространство Пусть обозначает наделенное слабой-* топологией, индуцированной , где эта топология обозначается как (то есть топология поточечной сходимости на ). Мы говорим, что подмножество является -ограниченным, если оно является ограниченным подмножеством , и мы называем замыкание в TVS -замыканием . Если является подмножеством , то полярой является ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

Хаусдорфово локально выпуклое пространство называется выделенным пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$

1. Если является -ограниченным подмножеством , то существует ограниченное подмножество , -замыкание которого содержит . ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$
2. Если есть -ограниченное подмножество , то существует ограниченное подмножество такое , что содержится в , которое является полярным (относительно двойственности ) ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. Сильный дуал — это бочкообразное пространство . ^[1] ${\displaystyle X}$

Если в дополнение к этому есть метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$

4. ( Гротендик ) Сильный дуал является борнологическим пространством . ^[1] ${\displaystyle X}$

Достаточные условия

Все нормированные пространства и полурефлексивные пространства являются выделенными пространствами. ^[2] Пространства LF являются выделенными пространствами.

Сильное сопряженное пространство пространства Фреше выделяется тогда и только тогда, когда является квазибочечным . ^[3] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Каждое локально выпуклое выделенное пространство является H-пространством . ^[2]

Примеры

Существуют выделенные банаховы пространства, которые не являются полурефлексивными . ^[1] Сильное двойственное выделенному банахову пространству не обязательно сепарабельно ; является ли оно таким пространством. ^[4] Сильное двойственное пространство выделенного пространства Фреше не обязательно метризуемо . [ ^1] Существует выделенное полурефлексивное нерефлексивное неквазибочечное пространство Макки , сильным двойственным которого является нерефлексивное банахово пространство. ^[1] Существуют H-пространства , которые не являются выделенными пространствами. ^[1] ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Пространства Фреше- Монтеля являются выдающимися пространствами.

Смотрите также

• Пространство Монтеля  – бочкообразное пространство, в котором замкнутые и ограниченные подмножества компактны.
• Полурефлексивное пространство

Ссылки

1. Халилулла 1982, стр. 32–63.
2. Халилулла 1982, стр. 28–63.
3. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)
4. Халилулла 1982, стр. 32–630.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.