В математике относительно компактное подпространство ( или относительно компактное подмножество , или предкомпактное подмножество ) Y топологического пространства X — это подмножество, замыкание которого компактно .
Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно). И в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно.
Каждое компактное подмножество хаусдорфова пространства относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как конкретная точечная топология на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; иными словами, компактное подмножество нехаусдорфова пространства не обязательно относительно компактно.
Каждое компактное подмножество (возможно, нехаусдорфова) топологического векторного пространства является полным и относительно компактным.
В случае метрической топологии или, в более общем случае, когда последовательности могут использоваться для проверки компактности, критерием относительной компактности становится то, что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность, сходящуюся в X.
Некоторые основные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности, в функциональных пространствах . Примером является теорема Арцела–Асколи . Другие интересные случаи связаны с равномерной интегрируемостью и понятием нормального семейства в комплексном анализе . Теорема компактности Малера в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в некоторых некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток ).
В качестве контрпримера возьмем любую окрестность частной точки бесконечного частного точечного пространства . Сама окрестность может быть компактной, но не является относительно компактной, поскольку ее замыкание — это все некомпактное пространство.
Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что F является относительно компактным множеством. Это необходимо уточнить с точки зрения используемой топологии в конкретной теории.