Замыкание (топология)

Все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.

В топологии замыкание подмножества S точек топологического пространства состоит из всех точек S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S. Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, находящиеся либо в S , либо «очень близко» к S. Точка , находящаяся в замыкании S , является точкой замыкания S. Понятие закрытия во многом двойственно понятию внутреннего .

Определения

Точка закрытия

Ибо как подмножество евклидова пространства , является точкой замыкания, если каждый открытый шар с центром в содержит точку (этой точкой может быть она сама). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства. Полностью выражено, поскольку метрическое пространство с метрикой является точкой замыкания, если для каждого существует такое , что расстояние ( допустимо). Другой способ выразить это — сказать, что это точка закрытия расстояния, где находится нижняя грань . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle d(x,s)<r}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$ ${\displaystyle \inf }$

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Пусть - подмножество топологического пространства. Тогда - точка замыкания или точка присоединения , если каждая окрестность содержит точку (опять же, for разрешено). ^[1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle s\in S}$

Предельная точка

Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно: в определении предельной точки множества каждая окрестность множества должна содержать точку, отличную от самой себя , т. е. каждая окрестность множества, очевидно, имеет , но также должна иметь точку из этого не равно для того, чтобы быть предельной точкой . Предельная точка имеет более строгое условие, чем точка замыкания в определениях. Совокупность всех предельных точек множества называется производным множеством . Предельную точку множества также называют точкой кластера или точкой накопления множества. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка является изолированной точкой, если она является элементом и существует окрестность которой не содержит других точек, кроме нее самой. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Для данного множества и точка является точкой замыкания тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или того и другого). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Закрытие набора

Замыкание подмножества топологического пространства, обозначаемого или, возможно, (если понимается), где, если и и ясно из контекста, то оно также может обозначаться или (более того, иногда пишется с заглавной буквы .), может быть определено с использованием любого следующих эквивалентных определений: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ ${\displaystyle S{}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$множество всех точек замыкания ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$есть множество вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка является точкой замыкания , и каждая предельная точка также является точкой замыкания .) ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является пересечением всех замкнутых множеств , содержащих ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$— наименьшее замкнутое множество, содержащее ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$это объединение и его граница ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$- это множество всех , для которых существует сеть (значная) в , которая сходится к в ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Замыкание множества обладает следующими свойствами. ^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является закрытым надмножеством . ${\displaystyle S}$
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Если то является подмножеством ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Если — замкнутое множество, то оно содержит тогда и только тогда, когда содержит ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

Иногда второе или третье свойство, приведенное выше, принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). ^[5]

В пространстве с первой счетностью (таком как метрическое пространство ) — это набор всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в. Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр ». (как описано в статье о фильтрах в топологии ). ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle S.}$

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если «замыкание», «надмножество», «пересечение», «содержит/содержащий», «наименьший» и «закрытый» заменяются на «внутренний», «подмножество», «объединение», «содержащийся». в», «крупнейший» и «открытый». Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «Оператор замыкания» ниже.

Примеры

Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существует две области интересов, созданные этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым трехмерным шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый трехмерный шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый трехмерный шар – замыкание открытого трехмерного шара, то есть открытый 3-шар плюс поверхность (поверхность в виде самой сферы).

В топологическом пространстве :

• В любом пространстве . Другими словами, замыкание пустого множества есть само по себе. ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$
• В любом пространстве ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Подача и стандартная (метрическая) топология : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Если – евклидово пространство действительных чисел , то . Другими словами, замыкание множества как подмножества есть . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Если — евклидово пространство , то замыканием множества рациональных чисел является всё пространство. Мы говорим, что оно плотно в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Если – комплексная плоскость , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• Если — конечное подмножество евклидова пространства, то (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме T 1 . ) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

На множестве действительных чисел можно ставить и другие топологии, отличные от стандартной.

• Если наделено нижним пределом топологии , то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Если рассматривать дискретную топологию , в которой каждое множество замкнуто (открыто), то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Если рассмотреть тривиальную топологию , в которой единственными замкнутыми (открытыми) множествами являются пустое множество и оно само, то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
• В любом недискретном пространстве , поскольку единственными закрытыми множествами являются пустое множество и оно само, мы получаем, что замыкание пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества. Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства пространство плотное . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы делаем замыкание. Например, if - набор рациональных чисел с обычной относительной топологией , индуцированной евклидовым пространством , и if then одновременно замкнут и открыт в, поскольку ни его дополнение, ни его дополнение не могут содержать , что было бы нижней границей , но не может находиться в потому что это иррационально. Таким образом, он не имеет четко определенного замыкания из-за отсутствия граничных элементов в . Однако, если вместо этого мы определим набор действительных чисел и определим интервал таким же образом, тогда замыкание этого интервала будет четко определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Оператор закрытия

Оператор замыкания на множестве — это отображение степенного множества в себя , которое удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство , топологическое замыкание вызывает функцию , которая определяется путем отправки подмножества туда , где обозначение или может использоваться вместо этого. И наоборот, если - оператор замыкания множества, то топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств , которые удовлетворяют требованиям (поэтому дополнения в этих подмножествах образуют открытые множества топологии). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {c} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ ${\displaystyle X}$

Оператор замыкания двойственен внутреннему оператору , который обозначается в том смысле, что ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

а также

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Следовательно, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в ${\displaystyle X.}$

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:

Теорема ^[7]  (К. Урсеску)  .  Пусть — последовательность подмножеств полного метрического пространства. ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Если каждый из них замкнут, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$
• Если каждый открыт, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$

Факты о закрытиях

Подмножество является замкнутым тогда и только тогда, когда, в частности: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• Замыкание пустого множества — это пустое множество;
• Закрытие само по себе ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством пересечения замыканий множеств (но не обязательно равно ему).
• В объединении конечного числа множеств замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств представляет собой пустое множество, и поэтому это утверждение содержит предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как особого случая.
• Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно должно равняться объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
  • Таким образом, подобно тому, как объединение двух замкнутых множеств является замкнутым, так и замыкание распространяется на бинарные объединения: т. е . : то есть возможно, когда бесконечно. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Если и если является подпространством (то есть оно наделено топологией подпространства , которая индуцирует его), то и замыкание вычисленного в равно пересечению и замыканию вычисленного в : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

Отсюда следует, что является плотным подмножеством тогда и только тогда, когда является подмножеством. Возможно, что for является правильным подмножеством, например, take и ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$ ${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

Если но не обязательно является подмножеством, то только ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$

^{[доказательство 1]} ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle S=(0,\infty )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Следовательно, если — любое открытое покрытие и если — любое подмножество, то: ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$

подпространствамногообразиекоординатных картлокально замкнутооткрытое покрытие ${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Функции и замыкание

Непрерывность

Функция между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодобласти замкнут в этой области; явно это означает: замкнуто всякий раз, когда является замкнутым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y.}$

С точки зрения оператора замыкания, непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

$${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$

кпростое английское ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Закрытые карты

Функция является (строго) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда всякий раз, когда является замкнутым подмножеством then , является замкнутым подмножеством. С точки зрения оператора замыкания, функция является (строго) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого подмножества . (строго) замкнутое отображение тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq X.}$

Категорическая интерпретация

Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.

Набор степеней множества может быть реализован как категория частичного порядка , в которой объекты являются подмножествами, а морфизмы являются картами включения всякий раз, когда является подмножеством. Кроме того, топология на является подкатегорией с функтором включения. Множество замкнутых подмножеств, содержащих фиксированный подмножество может быть идентифицировано с помощью категории запятой. Эта категория — также частичный порядок — имеет начальный объект. Таким образом, существует универсальная стрелка от к , заданная включением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I:T\to P.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее, соответствует открытому множеству, содержащемуся в, мы можем интерпретировать категорию как набор открытых подмножеств, содержащихся в с конечным объектом внутри ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$ ${\displaystyle A.}$

Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .

Смотрите также

• Точка присоединения  - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Алгебра замыкания  – Алгебраическая структураPages displaying short descriptions of redirect targets
• Замкнутое регулярное множество , множество, равное замыканию их внутренности.
• Производный набор (математика)  - набор всех предельных точек набора.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Интерьер (топология)  - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Предельная точка множества  - Точка кластера в топологическом пространстве.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Из и следует то и что подразумевает ${\displaystyle T:=(-\infty ,0]}$ ${\displaystyle S:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),}$
   $${\displaystyle \varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.}$$

Рекомендации

1. Шуберт 1968, с. 20
2. Куратовский 1966, с. 75
3. Хокинг и Янг 1988, с. 4
4. Крум 1989, с. 104
5. Джеминьяни 1990, с. 55, Первин 1965, с. 40 и Бейкер 1991, с. 38 используют второе свойство в качестве определения.
6. Первин 1965, с. 41
7. Залинеску 2002, с. 33.

Библиография

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. Издательство К. Брауна, ISBN 0-697-05972-3
• Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Джеминьяни, Майкл К. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-66522-4
• Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
• Куратовский, К. (1966), Топология , вып. Я, Академик Пресс
• Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• «Замыкание множества», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]