Подкатегория

Категория, объекты и морфизмы которой находятся внутри более крупной категории.

В математике , особенно в теории категорий , подкатегорией категории C является категория S , объекты которой являются объектами в C и чьи морфизмы являются морфизмами в C с теми же тождествами и составом морфизмов. Интуитивно понятно, что подкатегория C — это категория, полученная из C путем «удаления» некоторых его объектов и стрелок.

Формальное определение

Пусть C — категория. Подкатегория S категории C определяется выражением

• подколлекция объектов C , обозначаемая ob( S ),
• подколлекция морфизмов C , обозначаемая hom( S ).

такой, что

• для каждого X в ob( S ) тождественный морфизм id _X находится в hom( S ),
• для каждого морфизма f  : X → Y в hom( S ) и источник X , и целевой Y находятся в ob( S ),
• для каждой пары морфизмов f и g из hom( S ) композиция fog находится в hom( S ) , когда бы она ни была определена.

Эти условия гарантируют, что S является самостоятельной категорией: ее коллекция объектов — ob( S ), ее коллекция морфизмов — hom( S ), а ее тождества и композиция такие же, как в C. Существует очевидный точный функтор I  : S → C , называемый функтором включения , который переводит объекты и морфизмы в себя.

Пусть S — подкатегория категории C. Мы говорим, что S является полной подкатегорией C , если для каждой пары объектов X и Y из S

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

Полная подкатегория — это та, которая включает все морфизмы в C между объектами S. Для любого набора объектов A в C существует уникальная полная подкатегория C , объекты которой являются объектами из A.

Примеры

• Категория конечных множеств образует полную подкатегорию категории множеств .
• Категория, объектами которой являются множества, а морфизмы которых являются биекциями, образует неполную подкатегорию категории множеств.
• Категория абелевых групп образует полную подкатегорию категории групп .
• Категория колец (морфизмы которых являются гомоморфизмами колец , сохраняющими единицу ) образует неполную подкатегорию категории rng .
• Для поля K категория K - векторных пространств образует полную подкатегорию категории (левых или правых) K - модулей .

Вложения

Для подкатегории S в C функтор включения I  : S → C является одновременно точным функтором и инъективным на объектах. Она полна тогда и только тогда, когда S является полной подкатегорией.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор . Такой функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма . Например, вложение Йонеды является вложением в этом смысле.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор, инъективный для объектов. ^[1]

Другие авторы определяют функтор как вложение , если он точен и инъективен для объектов. Эквивалентно, F является вложением, если оно инъективно относительно морфизмов. Функтор F тогда называется полным вложением , если он является полным функтором и вложением.

Согласно определениям предыдущего абзаца, для любого (полного) вложения F :  B → C образ F является ( полной) подкатегорией S категории C , а F индуцирует изоморфизм категорий между B и S. Если F не инъективен относительно объектов , то образ F эквивалентен B .

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории, являющихся вложениями .

Виды подкатегорий

Подкатегория S категории C называется изоморфно-замкнутой или полной , если каждый изоморфизм k  : X → Y в C такой, что Y находится в S, также принадлежит S . Полная, замкнутая по изоморфизму, подкатегория называется строго полной .

Подкатегория C называется широкой или lluf (термин, впервые предложенный Питером Фрейдом ^[2] ), если она содержит все объекты C. ^[3] Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

Подкатегория Серра — это непустая полная подкатегория S абелевой категории C такая, что для всех коротких точных последовательностей

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

в C M принадлежит S тогда и только тогда, когда оба и делают . Это понятие возникает из С-теории Серра . ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M''}$

Смотрите также

• Светоотражающая подкатегория
• Точная категория , полная подкатегория, закрытая под расширения.

Рекомендации

1. Яап ван Остен. «Базовая теория категорий» (PDF) .
2. Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Материалы Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990) . Конспект лекций по математике. Том. 1488. Спрингер. стр. 95–104. дои : 10.1007/BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.
3. Широкая подкатегория в n Lab.