В теории категорий точный функтор — это функтор , который инъективен на hom-множествах , а полный функтор сюръективен на hom-множествах. Функтор , обладающий обоими свойствами, называется полностью точным функтором .
Явно, пусть C и D будут ( локально малыми ) категориями и пусть F : C → D будет функтором из C в D. Функтор F индуцирует функцию
для каждой пары объектов X и Y в C. Функтор F называется
для каждого X и Y в C.
Точный функтор не обязательно должен быть инъективным на объектах или морфизмах. То есть два объекта X и X ′ могут отображаться в один и тот же объект в D (именно поэтому область действия полного и точного функтора не обязательно изоморфна C ), а два морфизма f : X → Y и f ′ : X ′ → Y ′ (с разными доменами/кодоменами) могут отображаться в один и тот же морфизм в D . Аналогично, полный функтор не обязательно должен быть сюръективным на объектах или морфизмах. В D могут быть объекты, не имеющие формы FX для некоторого X в C . Морфизмы между такими объектами, очевидно, не могут происходить из морфизмов в C .
Полный и точный функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма. То есть, если F : C → D — полный и точный функтор и тогда .
Понятие функтора, являющегося «полным» или «точным», не переводится в понятие (∞, 1)-категории. В (∞, 1)-категории отображения между любыми двумя объектами задаются пространством только с точностью до гомотопии. Поскольку понятия инъекции и сюръекции не являются гомотопически инвариантными понятиями (рассмотрите вложение интервала в действительные числа по сравнению с отображением интервала в точку), у нас нет понятия функтора, являющегося «полным» или «точным». Однако мы можем определить функтор квазикатегорий как полностью точный, если для любых X и Y в C отображение является слабой эквивалентностью .
