Ядерный космос

Обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств

В математике ядерные пространства — это топологические векторные пространства , которые можно рассматривать как обобщение конечномерных евклидовых пространств и которые разделяют многие из их желаемых свойств. Однако ядерные пространства весьма отличаются от гильбертовых пространств , другого обобщения конечномерных евклидовых пространств. Они были введены Александром Гротендиком .

Топология на ядерных пространствах может быть определена семейством полунорм , единичные шары которых быстро уменьшаются в размере. Векторные пространства, элементы которых являются «гладкими» в некотором смысле, как правило, являются ядерными пространствами; типичным примером ядерного пространства является множество гладких функций на компактном многообразии . Все конечномерные векторные пространства являются ядерными. Нет ни одного банахова пространства , которое было бы ядерным, за исключением конечномерных. На практике часто бывает верным своего рода обратное этому: если «естественное» топологическое векторное пространство не является банаховым пространством, то есть большая вероятность, что оно является ядерным.

Первоначальная мотивация: Теорема ядра Шварца

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы Шварца о ядре и опубликована в (Grothendieck 1955). Теперь мы опишем эту мотивацию.

Для любых открытых подмножеств и канонического отображения является изоморфизмом TVS (где имеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) и, кроме того, оба эти пространства канонически TVS-изоморфны (где поскольку является ядерным, это тензорное произведение является одновременно инъективным тензорным произведением и проективным тензорным произведением ). ^[1] Короче говоря, теорема Шварца о ядре утверждает, что: где все эти TVS-изоморфизмы являются каноническими. ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$ $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$

Этот результат ложен, если заменить пространство на (которое является рефлексивным пространством , которое даже изоморфно своему собственному сильному дуальному пространству) и заменить на дуальное к этому пространству. ^[2] Почему такой хороший результат справедлив для пространства распределений и тестовых функций, но не для гильбертова пространства (которое обычно считается одним из «самых хороших» TVS)? Этот вопрос привел Гротендика к открытию ядерных пространств, ядерных отображений и инъективного тензорного произведения . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Мотивации из геометрии

Другой набор мотивирующих примеров исходит непосредственно из геометрии и теории гладких многообразий ^{[3] приложение 2.} Если даны гладкие многообразия и локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство, то существуют следующие изоморфизмы ядерных пространств ${\displaystyle M,N}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)}$
• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ is smooth }}\}}$

Определение

В этом разделе перечислены некоторые из наиболее распространенных определений ядерного пространства. Все приведенные ниже определения эквивалентны. Обратите внимание, что некоторые авторы используют более ограничительное определение ядерного пространства, добавляя условие, что пространство также должно быть пространством Фреше . (Это означает, что пространство является полным, а топология задается счетным семейством полунорм.)

Следующее определение было использовано Гротендиком для определения ядерных пространств. ^[4]

Определение 0 : Пусть — локально выпуклое топологическое векторное пространство. Тогда является ядерным, если для любого локально выпуклого пространства каноническое вложение векторного пространства является вложением TVS, образ которых плотен в области определения (где область определения — проективное тензорное произведение , а область определения — пространство всех раздельно непрерывных билинейных форм на , наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$

Начнем с напоминания некоторой предыстории. Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет топологию, которая определяется некоторым семейством полунорм . Для каждой полунормы единичный шар является замкнутой выпуклой симметричной окрестностью начала координат, и наоборот, каждая замкнутая выпуклая симметричная окрестность нуля является единичным шаром некоторой полунормы. (Для комплексных векторных пространств условие «симметричный» следует заменить на « сбалансированный ».) Если является полунормой на , то обозначает банахово пространство , заданное путем дополнения вспомогательного нормированного пространства с помощью полунормы Существует естественное отображение (не обязательно инъективное). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Если — другая полунорма, большая, чем (поточечно как функция от ), то существует естественное отображение из в такое, что первое отображение разлагается как Эти отображения всегда непрерывны. Пространство является ядерным, когда выполняется более сильное условие, а именно, что эти отображения являются ядерными операторами . Условие быть ядерным оператором является тонким, и более подробная информация доступна в соответствующей статье. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$ ${\displaystyle X}$

Определение 1 : Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что для каждой полунормы можно найти большую полунорму, так что естественное отображение будет ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Неформально это означает, что всякий раз, когда нам дан единичный шар некоторой полунормы, мы можем найти внутри него «гораздо меньший» единичный шар другой полунормы, или что каждая окрестность 0 содержит «гораздо меньшую» окрестность. Не обязательно проверять это условие для всех полунорм ; достаточно проверить его для набора полунорм, которые порождают топологию, другими словами, набора полунорм, которые являются подбазой для топологии. ${\displaystyle p}$

Вместо использования произвольных банаховых пространств и ядерных операторов мы можем дать определение в терминах гильбертовых пространств и операторов следового класса , которые легче понять. (В гильбертовых пространствах ядерные операторы часто называются операторами следового класса.) Мы будем говорить, что полунорма является гильбертовой полунормой, если является гильбертовым пространством, или, что эквивалентно, если происходит из полуторалинейной положительно полуопределенной формы на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Определение 2 : Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, таким образом, что для каждой полунормы Гильберта можно найти большую полунорму Гильберта, так что естественное отображение из в является классом следа . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Некоторые авторы предпочитают использовать операторы Гильберта–Шмидта вместо операторов трассового класса. Это не имеет большого значения, поскольку каждый оператор трассового класса является оператором Гильберта–Шмидта, а произведение двух операторов Гильберта–Шмидта имеет трассовый класс.

Определение 3 : Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, таким образом, что для каждой полунормы Гильберта можно найти большую полунорму Гильберта, так что естественное отображение из в является отображением Гильберта–Шмидта. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Если мы готовы использовать концепцию ядерного оператора из произвольного локально выпуклого топологического векторного пространства в банахово пространство, мы можем дать более короткие определения следующим образом:

Определение 4 : Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое что для любой полунормы естественное отображение из является ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Определение 5 : Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое что каждое непрерывное линейное отображение в банахово пространство является ядерным.

Гротендик использовал определение, похожее на следующее:

Определение 6 : Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое что для любого локально выпуклого топологического векторного пространства естественное отображение из проективного в инъективное тензорное произведение и является изоморфизмом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

На самом деле достаточно проверить это только для банаховых пространств или даже только для одного банахова пространства абсолютно сходящихся рядов. ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Характеристика

Пусть — хаусдорфово локально выпуклое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является ядерным;
2. для любого локально выпуклого пространства каноническое вложение векторного пространства является вложением TVS, образ которых плотен в области значений; ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$
3. для любого банахова пространства каноническое вложение векторного пространства является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
4. для любого локально выпуклого хаусдорфова пространства каноническое вложение векторного пространства является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
5. каноническое вложение в является сюръективным изоморфизмом TVS; ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$
6. каноническое отображение является сюръективным TVS-изоморфизмом. ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$
7. для любой полунормы мы можем найти большую полунорму, так что естественное отображение будет ядерным ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
8. для любой полунормы мы можем найти большую полунорму , так что каноническая инъекция будет ядерной; ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$
9. топология определяется семейством полунорм Гильберта, так что для любой полунормы Гильберта можно найти большую полунорму Гильберта, так что естественное отображение будет классом следа ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
10. ${\displaystyle X}$имеет топологию, определяемую семейством полунорм Гильберта, так что для любой полунормы Гильберта мы можем найти большую полунорму Гильберта, так что естественным отображением будет отображение Гильберта–Шмидта; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
11. для любой полунормы естественное отображение из является ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$
12. любое непрерывное линейное отображение в банахово пространство является ядерным;
13. каждая непрерывная полунорма на является предъядерной; ^[7] ${\displaystyle X}$
14. каждое равностепенно непрерывное подмножество является предъядерным; ^[7] ${\displaystyle X^{\prime }}$
15. каждое линейное отображение из банахова пространства в , преобразующее единичный шар в равностепенно непрерывное множество, является ядерным; ^[5] ${\displaystyle X^{\prime }}$
16. завершение - это ядерное пространство; ${\displaystyle X}$

Если — пространство Фреше , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является ядерным;
2. каждая суммируемая последовательность в является абсолютно суммируемой; ^[6] ${\displaystyle X}$
3. сильный двойственный элемент — ядерный; ${\displaystyle X}$

Достаточные условия

• Локально выпуклое хаусдорфово пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его пополнение является ядерным.
• Каждое подпространство ядерного пространства является ядерным. ^[8]
• Каждое факторпространство Хаусдорфа ядерного пространства является ядерным. ^[8]
• Индуктивный предел счетной последовательности ядерных пространств является ядерным. ^[8]
• Локально выпуклая прямая сумма счетной последовательности ядерных пространств является ядерной. ^[8]
• Сильный дуал ядерного пространства Фреше является ядерным. ^[9]
  • В общем случае сильный дуал ядерного пространства может не быть ядерным. ^[9]
• Пространство Фреше, сильное дуальное пространство которого является ядерным, само является ядерным. ^[9]
• Предел семейства ядерных пространств — ядерный. ^[8]
• Продукт семейства ядерных пространств является ядерным. ^[8]
• Завершение ядерного пространства является ядерным (и на самом деле пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его завершение является ядерным).
• Тензорное произведение двух ядерных пространств является ядерным.
• Проективное тензорное произведение , а также его пополнение двух ядерных пространств являются ядерными. ^[10]

Предположим, что и — локально выпуклое пространство с ядерным элементом. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

• Если является ядерным, то векторное пространство непрерывных линейных отображений, наделенное топологией простой сходимости, является ядерным пространством. ^[9] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$
• Если — полурефлексивное пространство, сильное сопряженное которому является ядерным, и если — ядерное, то векторное пространство непрерывных линейных отображений (наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) является ядерным пространством. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{b}(X,N)}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

Если — множество любой мощности, то и (с топологией произведения ) — оба ядерные пространства. ^[12] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Относительно простым бесконечномерным примером ядерного пространства является пространство всех быстро убывающих последовательностей («Быстро убывающая» означает, что ограничена для любого многочлена ). Для каждого действительного числа можно определить норму следующим образом: Если пополнение в этой норме равно , то существует естественное отображение из всякий раз , и это является ядерным всякий раз, по сути, потому что ряд тогда абсолютно сходится. В частности, для каждой нормы можно найти другую норму, скажем, такую, что отображение является ядерным. Таким образом, пространство является ядерным. ${\displaystyle c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).}$ ${\displaystyle c_{n}p(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{s}}$ $${\displaystyle \|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}}$$ ${\displaystyle C_{s},}$ ${\displaystyle C_{s}\to C_{t}}$ ${\displaystyle s\geq t,}$ ${\displaystyle s>t+1}$ ${\displaystyle \sum n^{t-s}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1},}$ ${\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}}$

• Пространство гладких функций на любом компактном многообразии является ядерным.
• Пространство Шварца гладких функций на , для которых производные всех порядков быстро убывают, является ядерным пространством. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Пространство целых голоморфных функций на комплексной плоскости является ядерным.
• Пространство распределений, сильное двойственное к которому, является ядерным. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$

Характеристики

Ядерные пространства во многом похожи на конечномерные пространства и обладают многими их полезными свойствами.

• Каждое конечномерное хаусдорфово пространство является ядерным.
• Пространство Фреше является ядерным тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство является ядерным.
• Каждое ограниченное подмножество ядерного пространства является предкомпактным (напомним, что множество является предкомпактным, если его замыкание в завершении пространства является компактным). ^[13] Это аналогично теореме Гейне-Бореля . Напротив, ни одно бесконечномерное нормированное пространство не обладает этим свойством (хотя конечномерные пространства обладают).
• Если является квазиполным (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества являются полными) ядерным пространством, то оно обладает свойством Гейне-Бореля . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Ядерное квазиполное бочкообразное пространство является пространством Монтеля .
• Каждое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество двойственного к ядерному пространству является компактным метризуемым множеством (для сильно двойственной топологии).
• Каждое ядерное пространство является подпространством произведения гильбертовых пространств.
• Каждое ядерное пространство допускает базис полунорм, состоящий из норм Гильберта.
• Каждое ядерное пространство — это пространство Шварца.
• Каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации. ^[15]
• Любое подпространство и любое факторпространство по замкнутому подпространству ядерного пространства является ядерным.
• Если является ядерным и является любым локально выпуклым топологическим векторным пространством, то естественное отображение из проективного тензорного произведения A и в инъективное тензорное произведение является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что существует только один разумный способ определить тензорное произведение. Это свойство характеризует ядерные пространства ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$
• В теории мер на топологических векторных пространствах основная теорема утверждает, что любая непрерывная цилиндрическая мера множества на двойственном пространстве ядерного Фреше автоматически продолжается до меры Радона . Это полезно, поскольку часто легко построить цилиндрические меры множеств на топологических векторных пространствах, но они недостаточно хороши для большинства приложений, если только они не являются мерами Радона (например, они даже не являются счетно-аддитивными в общем случае).

Теорема ядра

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы Шварца о ядре и опубликована в (Grothendieck 1955). Мы имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема ядра Шварца : ^[9] Предположим, что является ядерным, локально выпуклым и является непрерывной билинейной формой на Тогда происходит из пространства вида , где и являются подходящими равностепенно непрерывными подмножествами и Эквивалентно, имеет вид, где и каждое из и равностепенно непрерывны. Более того, эти последовательности можно считать нулевыми последовательностями (то есть сходящимися к 0) в и соответственно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}(x,y)\in X\times Y}$$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime },}$

Теорема Бохнера–Минлоса

Любой непрерывный положительно определенный функционал на ядерном пространстве называется характеристическим функционалом, если и для любых и ^{[16] [17]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(0)=1,}$ ${\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

Для характеристического функционала на ядерном пространстве теорема Бохнера–Минлоса (по Саломону Бохнеру и Роберту Адольфовичу Минлосу ) гарантирует существование и единственность соответствующей вероятностной меры на сопряженном пространстве такой, что ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ $${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),}$$

где — преобразование Фурье , тем самым расширяя обратное преобразование Фурье на ядерные пространства. ^[18] ${\displaystyle C(y)}$ ${\displaystyle \mu }$

В частности, если — ядерное пространство , где — пространства Гильберта, теорема Бохнера–Минлоса гарантирует существование вероятностной меры с характеристической функцией , то есть существование гауссовой меры на сопряженном пространстве . Такая мера называется мерой белого шума . Когда — пространство Шварца, соответствующий случайный элемент — случайное распределение . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$ ${\displaystyle A}$

Сильно ядерные пространства

Сильно ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое что для любой полунормы существует большая полунорма, так что естественное отображение является сильно ядерным . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Смотрите также

• Вспомогательное нормированное пространство
• Ядро Фредгольма – тип ядра в банаховом пространстве
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Оператор атомной станции
• Проективное тензорное произведение – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствах.
• Оснащенное гильбертово пространство – конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе
• Класс трассировки – класс компактных операторов, для которых можно определить конечную трассировку.
• Топологическое векторное пространство – векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

1. Трев 2006, стр. 531.
2. Тревес 2006, стр. 509–510.
3. Костелло, Кевин (2011). Перенормировка и эффективная теория поля. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5288-0. OCLC  692084741.
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 170.
5. Trèves 2006, стр. 511.
6. Шефер и Вольф 1999, стр. 184.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 178.
8. Шефер и Вольф 1999, стр. 103.
9. Шефер и Вольф 1999, стр. 172.
10. Шефер и Вольф 1999, стр. 105.
11. Schaefer & Wolff 1999, стр. 173.
12. Шефер и Вольф 1999, стр. 100.
13. Шефер и Вольф 1999, стр. 101.
14. Трев 2006, стр. 520.
15. Шефер и Вольф 1999, стр. 110.
16. Холден и др. 2009, стр. 258.
17. Саймон 2005, стр. 10–11.
18. TR Johansen, Теорема Бохнера-Минлоса для ядерных пространств и абстрактного пространства белого шума , 2003.

Библиография

• Бекнел, Джереми (2021). Инструменты для бесконечномерного анализа . CRC Press. ISBN 978-0-367-54366-2. OCLC  1195816154.
• Гротендик, Александр (1955). «Продукты тензорных топологий и ядерных пространств». Мемуары Американского математического общества . 16 .
• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Гротендик, Гротендик (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводный курс по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . North-Holland Mathematics Studies. Том 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Холден, Хельге; Оксендал, Бернт; Убё, Ян; Чжан, Тушэн (2009). Стохастические уравнения в частных производных . Лондон, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-89488-1.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Гельфанд, И. М.; Виленкин, Н. Я. (1964). Обобщенные функции – т. 4: Приложения гармонического анализа . Нью-Йорк: Academic Press. OCLC  310816279.
• Такеюки Хида и Си Си, Лекции по функционалам белого шума , World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0 
• Г. Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядерный космос", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Питч, Альбрехт (1972) [1965]. Ядерные локально-выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. МР  0350360.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . стр. 141.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Саймон, Барри (2005). Функциональная интеграция и квантовая физика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3582-1. OCLC  56894469.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.