Теорема Монтеля

Две теоремы о семействах голоморфных функций

В комплексном анализе , области математики , теорема Монтеля относится к одной из двух теорем о семействах голоморфных функций . Они названы в честь французского математика Поля Монтеля и дают условия, при которых семейство голоморфных функций является нормальным .

Локально равномерно ограниченные семьи являются нормальными

Первая и более простая версия теоремы утверждает, что семейство голоморфных функций, определенных на открытом подмножестве комплексных чисел, является нормальным тогда и только тогда, когда оно локально равномерно ограничено.

Эта теорема имеет следующее формально более сильное следствие. Предположим, что — семейство мероморфных функций на открытом множестве . Если — такое, что не является нормальным в , а — окрестность , то — плотно в комплексной плоскости. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z_{0}\in D}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}f(U)}$

Функции, пропускающие два значения

Более сильная версия теоремы Монтела (иногда называемая тестом на фундаментальную нормальность ) утверждает, что семейство голоморфных функций, все из которых исключают одни и те же два значения, является нормальным. ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,}$

Необходимость

Условия в приведенных выше теоремах достаточны, но не необходимы для нормальности. Действительно, семейство является нормальным, но не пропускает ни одного комплексного значения. ${\displaystyle \{z\mapsto z\}}$

Доказательства

Первая версия теоремы Монтеля является прямым следствием теоремы Марти (которая утверждает, что семейство является нормальным тогда и только тогда, когда сферические производные локально ограничены) и интегральной формулы Коши . ^[1]

Эту теорему также называют теоремой Стилтьеса–Осгуда, в честь Томаса Джоаннеса Стилтьеса и Уильяма Фогга Осгуда . ^[2]

Следствие, сформулированное выше, выводится следующим образом. Предположим, что все функции в опускают одну и ту же окрестность точки . Посткомпозируя с отображением, мы получаем равномерно ограниченное семейство, которое является нормальным по первой версии теоремы. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}}$

Вторая версия теоремы Монтеля может быть выведена из первой, используя тот факт, что существует голоморфное универсальное покрытие из единичного круга в дважды проколотую плоскость . (Такое покрытие задается эллиптической модулярной функцией ). ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{a,b\}}$

Эту версию теоремы Монтеля можно также вывести из теоремы Пикара , используя лемму Зальцмана .

Связь с теоремами для целых функций

Эвристический принцип, известный как принцип Блоха (уточненный леммой Зальцмана ), утверждает, что свойства, подразумевающие постоянство целой функции , соответствуют свойствам, гарантирующим нормальность семейства голоморфных функций.

Например, первая версия теоремы Монтеля, изложенная выше, является аналогом теоремы Лиувилля , тогда как вторая версия соответствует теореме Пикара .

Смотрите также

• пространство Монтеля
• Фундаментальный тест на нормальность
• Теорема Римана об отображении

Примечания

1. Хартье Крите (1998). Прогресс в голоморфной динамике. ЦРК Пресс. п. 164 . Проверено 1 марта 2009 г.
2. Рейнхольд Реммерт, Лесли М. Кей (1998). Классические темы в теории комплексных функций. Springer. стр. 154. Получено 01.03.2009 .

Ссылки

• Джон Б. Конвей (1978). Функции одной комплексной переменной I. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• «Теорема Монтеля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Дж. Л. Шифф (1993). Нормальные семьи . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97967-0.

В данной статье использованы материалы из теоремы Монтела на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .