Теорема о свертке Титчмарша

Теорема о свертке Титчмарша описывает свойства носителя свертки двух функций. Она была доказана Эдвардом Чарльзом Титчмаршем в 1926 году. [ ^1]

Теорема о свертке Титчмарша

Если и — интегрируемые функции, такие, что ${\textstyle \varphi (t)\,}$ ${\textstyle \psi (t)}$

${\displaystyle \varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (x-t)\,dt=0}$

почти всюду в интервале , то существуют и удовлетворяющие такие, что почти всюду в и почти всюду в ${\displaystyle 0<x<\kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \mu \geq 0}$ ${\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa }$ ${\displaystyle \varphi (t)=0\,}$ ${\displaystyle 0<t<\lambda }$ ${\displaystyle \psi (t)=0\,}$ ${\displaystyle 0<t<\mu .}$

Как следствие, если интеграл выше равен 0 для всех , то либо , либо почти всюду равно 0 в интервале Таким образом, свертка двух функций на не может быть тождественно равна нулю, если хотя бы одна из двух функций не является тождественно нулем. ${\textstyle x>0,}$ ${\textstyle \varphi \,}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle [0,+\infty ).}$ ${\textstyle [0,+\infty )}$

Как еще одно следствие, если для всех и одна из функций или почти всюду не равна нулю в этом интервале, то другая функция должна быть равна нулю почти всюду в . ${\displaystyle \varphi *\psi (x)=0}$ ${\displaystyle x\in [0,\kappa ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [0,\kappa ]}$

Теорему можно переформулировать в следующем виде:

Пусть . Тогда если левая часть конечна. Аналогично, если правая часть конечна. ${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi }$

Выше обозначен носитель функции f (т.е. замыкание дополнения f ^-1 (0)), а и обозначают инфимум и супремум . Эта теорема по сути утверждает, что известное включение является точным на границе. ${\displaystyle \operatorname {supp} }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi }$

Многомерное обобщение в терминах выпуклой оболочки опор было доказано Жаком-Луи Лионсом в 1951 году: ^[2]

Если , то ${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi }$

Выше обозначена выпуклая оболочка множества, а обозначено пространство распределений с компактным носителем . ${\displaystyle \operatorname {c.h.} }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

Первоначальное доказательство Титчмарша использует методы комплексной переменной и основано на принципе Фрагмена–Линделёфа , неравенстве Йенсена , теореме Карлемана и теореме Валирона . С тех пор теорема была доказана еще несколько раз, обычно с использованием методов действительной переменной ^{[3] [4] [5]} или комплексной переменной ^{[6] [7] [8]} . Джан-Карло Рота заявил, что пока ни одно доказательство не рассматривает базовую комбинаторную структуру теоремы, которая, по его мнению, необходима для полного понимания. ^[9]

Ссылки

1. Титчмарш, EC (1926). «Нули некоторых интегральных функций». Труды Лондонского математического общества . s2-25 (1): 283–302. doi :10.1112/plms/s2-25.1.283.
2. Львы, Жак-Луи (1951). «Поддерживает состав продуктов». Comptes rendus . 232 (17): 1530–1532.
3. Досс, Рауф (1988). "Элементарное доказательство теоремы Титчмарша о свертке" (PDF) . Труды Американского математического общества . 104 (1).
4. Калиш, Г. К. (1962-10-01). «Доказательство теоремы Титчмарша о свертке с помощью функционального анализа». Журнал математического анализа и приложений . 5 (2): 176–183. doi : 10.1016/S0022-247X(62)80002-X . ISSN  0022-247X.
5. Микусинский, Дж. (1953). «Новое доказательство теоремы Титчмарша о свертке». Studia Mathematica . 13 (1): 56–58. doi : 10.4064/sm-13-1-56-58 . ISSN  0039-3223.
6. Крам, ММ (1941). «О результирующем двух функций». The Quarterly Journal of Mathematics . os-12 (1): 108–111. doi :10.1093/qmath/os-12.1.108. ISSN  0033-5606.
7. Дюфреснуа, Жак (1947). «Сюр-ле-продукт композиции двух функций». Comptes rendus . 225 : 857–859.
8. Боас, Ральф П. (1954). Целые функции. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-108150-8. OCLC  847696.
9. Рота, Джан-Карло (1 июня 1998 г.). «Десять математических задач, которые я никогда не решу». Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке). 6 (2): 45–52. дои : 10.1515/dmvm-1998-0215 . ISSN  0942-5977. S2CID  120569917.