Сильное двойное пространство

Непрерывное дуальное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.

В функциональном анализе и смежных областях математики сильное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) — это непрерывное двойственное пространство , снабженное сильной ( двойственной ) топологией или топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах, где эта топология обозначается или Самая грубая полярная топология называется слабой топологией . Сильное дуальное пространство играет настолько важную роль в современном функциональном анализе, что обычно предполагается, что непрерывное дуальное пространство имеет сильную дуальную топологию, если не указано иное. Подчеркнуть, что непрерывное дуальное пространство имеет сильную двойственную топологию или может быть записано. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Сильная двойная топология

Везде предполагается, что все векторные пространства находятся над полем либо действительных , либо комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Определение из дуальной системы

Пусть – двойственная пара векторных пространств над полем действительных или комплексных чисел. Для любого и любого определения ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

Ни то, ни другое не имеет топологии, поэтому говорят, что подмножество ограничено подмножеством , если для всех So подмножество называется ограниченным тогда и только тогда, когда это эквивалентно обычному понятию ограниченных подмножеств, когда задана слабая топология, индуцированная которой хаусдорфова локально выпуклая топология. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Пусть обозначает семейство всех подмножеств, ограниченных элементами ; то есть это набор всех подмножеств таких, что для каждого Тогда сильная топология на также обозначается или просто или, если понимается спаривание , определяется как локально выпуклая топология на, порожденная полунормами вида ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$ ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

Определение сильной дуальной топологии происходит теперь так же, как и в случае TVS. Обратите внимание, что если - TVS, непрерывное дуальное пространство которого разделяет точку, то оно является частью канонической двойственной системы , где В частном случае, когда - локально выпуклое пространство , сильная топология на (непрерывном) дуальном пространстве (т. е. на пространстве всех непрерывных линейных функционалов ) определяется как сильная топология и совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах , т . е. с топологией на, порожденной полунормами вида где пробегает семейство всех ограниченных множеств в пространстве с эта топология называется сильным двойственным пространством и обозначается ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

Определение на ТВС

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) над полем. Позвольте быть любой фундаментальной системой ограниченных множеств ; то есть является семейством ограниченных подмножеств таких, что каждое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого ; множество всех ограниченных подмножеств формирует фундаментальную систему ограниченных множеств Базис замкнутых окрестностей начала координат в задается полярами : как пробегает по ). Это локально выпуклая топология, которая задается набором полунорм на : как пробег ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если нормировано , то оно является и фактически будет банаховым пространством . Если это нормированное пространство с нормой , то оно имеет каноническую норму ( норму оператора ), заданную формулой ; топология, которую индуцирует эта норма, идентична сильной дуальной топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Бидуальный

Бидуальное или второе двойственное TVS, часто обозначаемое, является сильным двойственным к сильному двойственному : где обозначает наделенное сильной дуальной топологией . Если не указано иное, векторное пространство обычно предполагается наделенным сильной дуальной топологией, индуцированной на нем . в этом случае он называется сильным бидуалом ; то есть там, где векторное пространство наделено сильной двойственной топологией ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

Характеристики

Пусть – локально выпуклая TVS. ${\displaystyle X}$

• Выпуклое сбалансированное слабо компактное подмножество ограничено в ^[1] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• Любое слабо ограниченное подмножество сильно ограничено. ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Если это бочкообразное пространство, то его топология идентична сильной дуальной топологии и топологии Макки на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное двойственное пространство является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда оно является инфрабаррельным пространством , тогда и только тогда, когда оно является бочоночным пространством . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если ТВС является хаусдорфовой локально выпуклой, то она метризуема тогда и только тогда, когда существует счетное множество ограниченных подмножеств таких, что каждое ограниченное подмножество содержится в некотором элементе из ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• Если локально выпукла, то эта топология тоньше всех других -топологий , если рассматривать только те, множества которых являются подмножествами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то оно полное . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

Если — бочкообразное пространство , то его топология совпадает с сильной топологией на и с топологией Макки на, порожденной спариванием ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

Примеры

Если — нормированное векторное пространство , то его (непрерывное) двойственное пространство с сильной топологией совпадает с банаховым двойственным пространством ; т. е. с пространством с топологией, индуцированной операторной нормой . Наоборот, -топология на идентична топологии, индуцированной нормой на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Полярная топология  - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Рефлексивное пространство  - локально выпуклое топологическое векторное пространство.
• Полурефлексивное пространство
• Сильная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений

Рекомендации

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 141.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 142.
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 153.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. ОСЛК  5126158.