Формула суммирования Пуассона

Уравнение анализа Фурье

В математике формула суммирования Пуассона — это уравнение, которое связывает коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье функции . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется суммированием Пуассона .

Формы уравнения

Рассмотрим апериодическую функцию с преобразованием Фурье, альтернативно обозначаемую и ${\displaystyle s(x)}$ ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ ${\displaystyle {\hat {s}}(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}$

Основная формула суммирования Пуассона:

Также рассмотрим периодические функции, где параметры и находятся в тех же единицах, что и : ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).}$$

Тогда уравнение 1 является частным случаем (P=1, x=0) этого обобщения: ^{[1] [2]}

который представляет собой разложение в ряд Фурье с коэффициентами, которые являются выборками функции . Аналогично: ${\displaystyle S(f).}$

также известное как важное преобразование Фурье дискретного времени .

Выводы

Доказательство можно найти либо у Пинского ^[1] , либо у Зигмунда. ^[2] Уравнение 2 , например, справедливо в том смысле, что если , то правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье левой части. Это следует из теоремы о доминируемой сходимости , которая существует и конечна почти для любого . Кроме того, из этого следует, что интегрируемо на любом интервале длины. Итак, достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье равны . Исходя из определения коэффициентов Фурье, мы имеем: ${\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

где замена суммирования с интегрированием снова оправдана преобладающей сходимостью. При замене переменных ( ) это становится: ${\displaystyle \tau =x+nP}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$$

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений ^{[3] [4] : ​​§7.2} для функции , все производные которой быстро убывают (см. функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений с использованием гребенчатого распределения Дирака и его ряда Фурье : ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x\pm nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f\pm k/T).}$$

Другими словами, периодизация дельты Дирака , приводящая к гребенке Дирака , соответствует дискретизации ее спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями. ${\displaystyle \delta ,}$

Для случая уравнения 1 легко получить следующее: ${\displaystyle T=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

Сходным образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

Или: ^{[5] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

Формулу суммирования Пуассона можно также доказать вполне концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями , такими как ^[6] $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$$

Применимость

Уравнение 2 выполняется при условии, что это непрерывная интегрируемая функция , которая удовлетворяет всем требованиям [ ^{7] [8]} Обратите внимание, что такая функция равномерно непрерывна , что вместе с предположением о затухании показывает, что определяющий ряд сходится равномерно к непрерывной функции.   Уравнение 2 справедливо в строгом смысле, что обе части сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу. ^[8] ${\displaystyle s(x)}$ $${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$$ ${\displaystyle C>0,\delta >0}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$

Уравнение 2 выполняется в поточечном смысле при строго более слабом предположении, которое имеет ограниченную вариацию, и ^[2] Ряд Фурье в правой части уравнения 2 тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм. ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

Как показано выше, уравнение 2 справедливо при гораздо менее ограничительном предположении, что находится в , но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье из ^[2] В этом случае , можно расширить область, в которой выполняется равенство, рассматривая методы суммирования, такие как суммирование Чезаро . При такой интерпретации сходимости (уравнение 2 ) случай имеет место при менее ограничительных условиях, которые являются интегрируемыми, и 0 является точкой непрерывности . Однако уравнение 2 может не выполняться, даже если оба и интегрируемы и непрерывны, а суммы сходятся абсолютно. ^[9] ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Приложения

Метод изображений

В уравнениях в частных производных формула суммирования Пуассона дает строгое обоснование фундаментального решения уравнения теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей методом изображений . Здесь тепловое ядро ​​известно , а ядро ​​прямоугольника определяется путем взятия периодизации. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей. ^[7] В одном измерении полученное решение называется тэта-функцией . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

В электродинамике метод также используется для ускорения вычисления периодических функций Грина . ^[10]

Выборка

В статистическом исследовании временных рядов, если это функция времени, то рассмотрение только ее значений в равноотстоящие друг от друга моменты времени называется «выборкой». В приложениях обычно функция ограничена полосой пропускания , что означает, что существует некоторая частота среза, такая, что она равна нулю для частот, превышающих границу среза: для функций с ограниченной полосой частот выбор частоты дискретизации гарантирует, что никакая информация не будет потеряна: поскольку ее можно восстановить из этих выборочных значений. Затем, с помощью инверсии Фурье, можно. Это приводит к теореме выборки Найквиста – Шеннона . ^[1] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)=0}$ ${\displaystyle |f|>f_{o}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s.}$

Суммирование Эвальда

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящаяся сумма в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящуюся эквивалентную сумму в пространстве Фурье. ^[11] (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея суммирования Эвальда .

Приближения интегралов

Формула суммирования Пуассона также полезна для оценки ошибок, получаемых при аппроксимации интеграла суммой (Римана). Рассмотрим аппроксимацию as , где – размер контейнера. Тогда согласно уравнению 2 это приближение совпадает с . Тогда ошибка аппроксимации может быть оценена как . Это особенно полезно, когда преобразование Фурье быстро затухает, если . ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$ ${\displaystyle \delta \ll 1}$ ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ ${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle 1/\delta \gg 1}$

Точки решетки внутри сферы

Формула суммирования Пуассона может быть использована для вывода асимптотической формулы Ландау для количества точек решетки внутри большой евклидовой сферы. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция и обе имеют компактный носитель , то ^[1] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s=0.}$

Теория чисел

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана . ^[12]

Одно из важных применений суммирования Пуассона касается тэта-функций : периодического суммирования гауссиан. Поместите , для комплексного числа в верхней полуплоскости, и определите тета-функцию: ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$$

Связь между и оказывается важной для теории чисел, поскольку такого рода связь является одним из определяющих свойств модулярной формы . Выбрав и воспользовавшись тем фактом, можно сделать вывод: ${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$ ${\displaystyle \theta (\tau )}$ ${\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}$

$${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}$$поставив ${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}$

Из этого следует, что имеет простое свойство преобразования, и это можно использовать для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выразить целое число в виде суммы восьми полных квадратов. ${\displaystyle \theta ^{8}}$ ${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

Сферические упаковки

Кон и Элкис ^[13] доказали верхнюю оценку плотности упаковок сфер, используя формулу суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальных упаковок сфер в размерности 8 и 24.

Другой

• Пусть для и для того , чтобы получить ${\displaystyle s(x)=e^{-ax}}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}$$
• Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тэта-функции.
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может быть использована для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди. ^{[ нужны разъяснения ]}
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса.

Обобщения

Формула суммирования Пуассона справедлива в евклидовом пространстве произвольной размерности. Пусть – решетка , состоящая из точек с целыми координатами. Для функции в рассмотрим ряд, заданный суммированием преобразований элементов : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

Теорема Для в приведенный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию на лежит в с Более того, для всех в (преобразование Фурье на ) равно (преобразование Фурье на ). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle \Lambda .}$  ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.}$
${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ,}$  ${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\nu )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Если , кроме того, она непрерывна, и оба и достаточно быстро затухают на бесконечности, тогда можно «обратить» область обратно и сделать более сильное утверждение. Точнее, если ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

для некоторых С , б > 0, то ^{[8] : VII § 2} , где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Л. Когда d = 1 и x = 0, это дает уравнение 1, приведенное выше. $${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi x\cdot \nu },}$$

В более общем смысле версия утверждения имеет место, если Λ заменяется более общей решеткой в ​​. Двойственная решетка Λ' может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или, альтернативно, с помощью двойственности Понтрягина . Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ' снова являются преобразованиями Фурье как распределениями, подлежащими правильной нормализации. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Это применяется в теории тэта-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в регионах он обычно используется: суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это именно вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что ищется, а правая часть - это то, что нужно. можно атаковать с помощью математического анализа .

Формула следа Сельберга

В теории чисел требуется дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы . В некоммутативном гармоническом анализе идея развивается еще дальше в формуле следа Сельберга, но приобретает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона на преобразование Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах с дискретной подгруппой, такой как имеющий конечный объем. Например, могут быть действительными точками , а могут быть целыми точками . В этом случае играет роль линии действительных чисел в классической версии суммирования Пуассона и играет роль целых чисел , которые появляются в сумме. Обобщенная версия суммирования Пуассона называется формулой следов Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма. Левая часть уравнения 1 становится суммой по неприводимым унитарным представлениям и называется «спектральной стороной», тогда как правая часть становится суммой по классам сопряженности и называется «геометрической стороной». ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Формула суммирования Пуассона является образцом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

Теорема о свертке

Формула суммирования Пуассона является частным случаем теоремы о свертке об умеренных распределениях . Если одним из двух факторов является гребенка Дирака , получается периодическое суммирование с одной стороны и выборка с другой стороны уравнения. Применительно к дельта-функции Дирака и ее преобразованию Фурье , функции, которая постоянно равна 1, это дает тождество гребенки Дирака .

Смотрите также

• Анализ Фурье § Резюме
• Формула обращения Поста
• Формула Вороного
• Преобразование Фурье дискретного времени
• Явные формулы для L-функций

Рекомендации

1. Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и вейвлеты. , Брукс Коул, ISBN 978-0-534-37660-4
2. Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885-9
3. Кордова, А., «La formule sommatoire de Poisson», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376
4. Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, МР  0717035
5. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-754920-2. образцы преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные путем суммирования периодических реплик x[n].
6. Дейтмар, Антон; Эхтерхофф, Зигфрид (2014), Принципы гармонического анализа , Universitext (2-е изд.), doi : 10.1007/978-3-319-05792-7, ISBN 978-3-319-05791-0
7. Grafakos, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-Х
8. Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
9. Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (второе исправленное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
10. Кинайман, Ноян; Аксун, МИ (1995). «Сравнительное исследование методов ускорения интегралов и рядов в задачах электромагнетизма». Радионаука . 30 (6): 1713–1722. Бибкод : 1995RaSc...30.1713K. дои : 10.1029/95RS02060. hdl : 11693/48408 .
11. Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радару . Академическое издательство, с. 36.
12. HM Эдвардс (1974). Дзета-функция Римана . Академик Пресс, стр. 209–11. ISBN 0-486-41740-9 . 
13. Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), «Новые верхние границы сферических упаковок I», Ann. математики. , 2, 157 (2): 689–714, arXiv : math/0110009 , doi : 10.4007/annals.2003.157.689, MR  1973059

дальнейшее чтение

• Бенедетто, Джей-Джей; Циммерманн, Г. (1997), «Множители выборки и формула суммирования Пуассона», J. Fourier Anal. Прил. , 3 (5): 505–523, doi : 10.1007/BF02648881, заархивировано из оригинала 24 мая 2011 г. , получено 19 июня 2008 г.
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и его приложения , Springer, стр. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
• Хиггинс, младший (1985), «Пять рассказов о кардинальном сериале», Bull. амер. Математика. Соц. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0