Тета-функция

Специальные функции нескольких комплексных переменных

Тета-функция Якоби θ ₁ с именем q = e ^{i π τ} = 0,1 e ^{0,1 i π} : ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}}$

В математике тэта - функции представляют собой специальные функции нескольких комплексных переменных . Они встречаются во многих темах, включая абелевы многообразия , пространства модулей , квадратичные формы и солитоны . Как алгебры Грассмана они появляются в квантовой теории поля . ^[1]

Наиболее распространенной формой тэта-функции является форма, встречающаяся в теории эллиптических функций . По отношению к одной из комплексных переменных (обычно называемой z ) тэта-функция обладает свойством, выражающим ее поведение относительно сложения периода связанных эллиптических функций, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории эта квазипериодичность происходит из класса когомологий линейного расслоения на комплексном торе , условия спуска .

Одна из интерпретаций тэта-функций при работе с уравнением теплопроводности заключается в том, что «тэта-функция — это специальная функция, которая описывает эволюцию температуры в сегментной области с учетом определенных граничных условий». ^[2]

На протяжении всей статьи следует понимать как (в целях решения вопросов выбора филиала ). ^{[примечание 1]} ${\displaystyle (e^{\pi i\tau })^{\alpha }}$ ${\displaystyle e^{\alpha \pi i\tau }}$

Тета-функция Якоби

Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, а также множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоби Якоби ) — это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом , а τ — отношение полупериода , ограниченное верхней полуплоскостью , что означает он имеет положительную мнимую часть. Оно определяется формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

где q = exp( πiτ ) — имя , а η = exp(2 πiz ) . Это форма Якоби . Ограничение гарантирует, что это абсолютно сходящийся ряд. При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z . Соответственно, тэта-функция 1-периодична по z :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Заполняя квадрат , он также становится τ -квазипериодическим по z , причем

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp {\bigl (}-\pi i(\tau +2z){\bigr )}\vartheta (z;\tau ).}$

Таким образом, в целом

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

для любых целых чисел a и b .

При любом фиксированном функция является целой функцией на комплексной плоскости, поэтому по теореме Лиувилля она не может быть дважды периодической по , если она не постоянна, и поэтому лучшее, что мы можем сделать, это сделать ее периодической по и квазипериодической по . Действительно, поскольку ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1,\tau }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )}{\vartheta (z;\tau )}}\right|=\exp \left(\pi (b^{2}\Im (\tau )+2b\Im (z))\right)}$$

${\displaystyle \Im (\tau )>0}$ ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$

Фактически это наиболее общая целая функция с двумя квазипериодами в следующем смысле: ^[3]

Теорема  .  If является целым и непостоянным и удовлетворяет функциональным уравнениям для некоторой константы . ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\begin{cases}f(z+1)=f(z)\\f(z+\tau )=e^{az+2\pi ib}f(z)\end{cases}}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$

Если , то и . Если , то для некоторого ненулевого . ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=\tau }$ ${\displaystyle f(z)=e^{2\pi iz}}$ ${\displaystyle a=-2\pi i}$ ${\displaystyle f(z)=C\vartheta (z+{\frac {1}{2}}\tau +b,\tau )}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$

Тета-функция θ ₁ с другим именем q = e ^iπτ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с ростом τ .

Тета-функция θ ₁ с другим именем q = e ^iπτ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с ростом τ .

Вспомогательные функции

Определенную выше тэта-функцию Якоби иногда рассматривают вместе с тремя вспомогательными тэта-функциями, и в этом случае она записывается с двойным индексом 0:

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Вспомогательные функции (или полупериодические) определяются формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Эти обозначения следуют Риману и Мамфорду ; Первоначальная формулировка Якоби использовала имя q = e iπτ ^, а не τ . В обозначениях Якоби θ -функции записываются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Якоби тета 1

Якоби тета 2

Якоби тета 3

Якоби тета 4

Приведенные выше определения тэта-функций Якоби отнюдь не единственны. См. тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.

Если мы положим z = 0 в приведенных выше тэта-функциях, мы получим только четыре функции от τ , определенные в верхней полуплоскости. Эти функции называются функциями тета-нульверта , что происходит от немецкого термина, обозначающего нулевое значение , из-за аннулирования левой записи в выражении тета-функции. В качестве альтернативы мы получаем только четыре функции от q , определенные на единичном круге . Их иногда называют тэта-константами : ^{[примечание 2]} ${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}$

с именем q знак равно e ^iπτ . Обратите внимание на это . Их можно использовать для определения различных модульных форм и параметризации определенных кривых; в частности, тождество Якоби есть ${\displaystyle \theta _{1}(q)=0}$

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}}$

что представляет собой кривую Ферма четвертой степени.

Эллиптическое имя

Определение и тождества тэта-функций

Поскольку функции Якоби определяются через эллиптический модуль , нам нужно инвертировать его и найти через . Начнем с дополнительного модуля . В качестве функции от него ${\displaystyle k(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle k'(\tau )={\sqrt {1-k^{2}}}={\biggl \{}{\theta _{4}[q(k)] \over \theta _{3}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}}$

Определим эллиптический ном и полный эллиптический интеграл первого рода :

${\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}{\biggr ]}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(k)}{K(k)}}{\biggr ]}}$

Эти тождества ^{[4] [5]} существуют между эллиптическим интегралом K, модулем k, функцией нома q и тэта-функциями:

${\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

${\displaystyle \theta _{2}[q(k)]=|k|^{1/2}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

Это два одинаковых определения полного эллиптического интеграла первого рода:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\partial \varphi }$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}$

Идентичное определение функции nome можно получить, используя серию. Следующая функция имеет эту идентичность:

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}={\frac {\theta _{3}[q(k)]-\theta _{4}[q(k)]}{\theta _{3}[q(k)]+\theta _{4}[q(k)]}}={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{(2n-1)^{2}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{4n^{2}}{\biggr ]}^{-1}}$

Решая эту функцию после q, мы получаем следующий результат ^{[6] [7] [8]} :

${\displaystyle q(k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {k}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}{\biggr ]}^{2}=k^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

${\displaystyle q(k)=k^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}k^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}k^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}k^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}k^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}}$

Карл Генрих Шелльбах описал вывод этой числовой последовательности в своей работе « Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen» на странице 60 ниже. Он вычислил эти коэффициенты корня четвертой степени эллиптического нома, выполнив вычисления замены.

Числа Шеллбаха-Шварца стоят в числителях, а удвоенные степени шестнадцати — в знаменателях.

В связи с этим действуют следующие ограничения:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\text{Sc(n)}}}=16}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\text{Sc(n + 1)}}{\text{Sc(n)}}}=16}$

В этой таблице ^{[9] [10]} точно показаны номера целочисленной последовательности Шеллбаха-Шварца A002103:

Эллиптические целочисленные последовательности

Силезский немецкий математик Герман Амандус Шварц в своей работе «Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen» в главе « Berechnung der Grösse» на страницах 54–56 написал описанную последовательность целых чисел, которую также исследовал Карл Генрих Шеллбах. Кроме того, его последовательность чисел Шеллбаха-Шварца Sc (n) была проанализирована математиками Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом и Луи Мелвиллом Милн-Томсоном в 20 веке. Математик Адольф Кнезер определил метод синтеза этой последовательности, основываясь на следующей схеме:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}$

Математик Карл Генрих Шеллбах также исследовал это отношение целочисленной последовательности и в своей работе Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen ^[11] подробно рассмотрел его. Последовательность Шеллбаха-Шварца Sc(n) введена в онлайн-энциклопедию числовых последовательностей под номером A002103, а последовательность Кнезера Kn(n) - под номером A227503. Целочисленную последовательность Кнезера Kn(n) можно построить следующим образом:

Реализованные примеры:

Последовательность Кнезера появляется в ряду Тейлора отношения периодов (отношения половин периодов):

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }}$

Производная этого уравнения после приводит к уравнению, которое показывает производящую функцию числовой последовательности Кнезера: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }}$

Этот результат появляется из-за соотношения Лежандра в числителе. ${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$

В следующей таблице приведены числа Шеллбаха-Шварца, числа Кнезера и числа Апери:

Это упомянутая формула образца для числовой последовательности Шеллбаха-Шварца:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}$

Далее в качестве примера будет показано, как последовательно строятся числа Шеллбаха-Шварца. Для этого используются примеры с номерами Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 и Sc(6) = 20910:

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

Личности Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под действием модулярной группы , которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ −1/τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в показателе степени имеет тот же эффект, что и добавление1/2до z ( п ≡ п ² мод 2 ). Для второго пусть

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо того, чтобы выражать тэта-функции через z и τ , мы можем выразить их через аргументы w и ном q , где w = e ^πiz и q = e ^πiτ . В этом виде функции становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

Мы видим, что тэта-функции также могут быть определены через w и q без прямой ссылки на показательную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций в других полях , где экспоненциальная функция может быть определена не везде, например, в полях p -адических чисел .

Представления продуктов

Тройное произведение Якоби ( частный случай тождеств Макдональда ) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с | д | < 1 и w ≠ 0 , мы имеем

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта «Введение в теорию чисел» .

Если мы выразим тета-функцию через ном q = e ^πiτ (отметим, что некоторые авторы вместо этого полагают q = e ^{2 πiτ} ) и возьмем w = e ^πiz , то

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Таким образом, мы получаем формулу произведения для тэта-функции в виде

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$

С точки зрения w и q :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

где ( ; ) _∞ — символ q -Похгаммера , а θ (; ) — q -тэта-функция . Раскрывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$

который мы также можем записать как

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

Эта форма в целом действительна, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z действительно. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тэта-функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

В частности,

$${\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{-{\frac {1}{4}}}}}=\sin(\pi z)}$$

${\displaystyle \sin ,\cos }$

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Функция Тета Нульверт как интегральная идентичность: ${\displaystyle \theta _{3}(q)}$

${\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}$

Эта формула обсуждалась в эссе « Преобразования производящей функции квадратного ряда» математика Макси Шмидта из Джорджии в Атланте.

На основе этой формулы приводятся следующие три выдающихся примера:

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

Кроме того, должны отображаться тета-примеры и : ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots }$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots }$

Явные значения

Лемнискатические значения

Большая часть этих результатов принадлежит Рамануджану. См. потерянную записную книжку Рамануджана и соответствующую ссылку на функцию Эйлера . Результаты Рамануджана, приведенные в функции Эйлера, плюс несколько элементарных операций дают результаты, приведенные ниже, поэтому они либо находятся в потерянной записной книжке Рамануджана, либо следуют непосредственно из нее. См. также Йи (2004). ^[12] Дайте определение,

${\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

с номом и эта-функцией Дедекинда Тогда для ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$ ${\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle \eta (\tau ).}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}$

Если обратную величину константы Гельфонда возвести в степень обратной величины нечетного числа, то соответствующие значения или значения можно представить упрощенно, используя гиперболический лемнискатический синус : ${\displaystyle \vartheta _{00}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

Буквой обозначена константа Лемнискаты . ${\displaystyle \varpi }$

Обратите внимание, что имеют место следующие модульные тождества:

${\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}$

где – цепная дробь Роджерса–Рамануджана : ${\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}$

Эквиангармонические значения

Математик Брюс Берндт нашел дополнительные значения ^[13] тэта-функции:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}$

Дальнейшие значения

Многие значения тета-функции ^[14] и особенно показанной фи-функции можно представить через гамма-функцию:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\&&\cdot {\frac {\sqrt {-10+10{\sqrt {2}}+5{\sqrt {5}}+(4-4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {30}}){\sqrt[{3}]{35+15{\sqrt {6}}}}+(-4+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {30}}){\sqrt[{3}]{-35+15{\sqrt {6}}}}}}{\sqrt[{4}]{1125}}}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}$

Степенные теоремы Нома

Теоремы о прямой мощности

Для преобразования нома ^[15] в тэта-функции можно использовать следующие формулы:

${\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}}$

Квадраты трех тета-функций с нулевым значением с функцией квадрата в качестве внутренней функции также формируются по образцу пифагорейских троек в соответствии с тождеством Якоби. Более того, эти преобразования действительны:

${\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)}$

Эти формулы можно использовать для вычисления тета-значений куба нома:

${\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}$

${\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

Для расчета тета-значений пятой степени нома можно использовать следующие формулы:

${\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

${\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

Преобразование в кубическом корне нома

Формулы для значений тэта-функции Нулверта из кубического корня эллиптического нома получаются путем сопоставления двух вещественных решений соответствующих уравнений четвертой степени:

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

Трансформация в пятом корне нома

Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана может быть определена через тета-функцию Якоби следующим образом:

${\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

${\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

Попеременная функция цепной дроби Роджерса-Рамануджана S(q) имеет следующие два тождества:

${\displaystyle S(x)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Значения тета-функции из пятого корня нома можно представить как рациональную комбинацию непрерывных дробей R и S и значений тета-функции из пятой степени нома и самого нома. Следующие четыре уравнения действительны для всех значений q от 0 до 1:

${\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}$

${\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}$

${\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}$

${\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}$

Теоремы, зависящие от модуля

В сочетании с эллиптическим модулем можно отобразить следующие формулы:

Вот формулы квадрата эллиптического нома:

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}$

${\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}$

А это эффективная формула куба нома:

${\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}$

Для всех действительных значений справедлива упомянутая формула. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

И для этой формулы будут приведены два примера:

Первый пример расчета со вставленным значением : ${\displaystyle t=1}$

Второй пример расчета с вставленным значением : ${\displaystyle t=\Phi ^{-2}}$

Константа точно представляет число золотого сечения . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Некоторые особенности сериала

Суммы с тета-функцией в результате

Бесконечная сумма ^{[16] [17]} обратных чисел Фибоначчи с нечетными индексами имеет следующее тождество:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}$

Не используя выражение тета-функции, можно сформулировать следующее тождество между двумя суммами:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots }$

Также в этом случае снова число золотого сечения . ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Бесконечная сумма обратных квадратов чисел Фибоначчи:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}$

Бесконечная сумма обратных чисел Пелля с нечетными индексами:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}$

Суммы с тэта-функцией в слагаемом

Следующие две серии тождеств были доказаны Иштваном Мезё: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Эти соотношения справедливы для всех 0 < q < 1 . Специализируя значения q , мы имеем следующие суммы без параметров:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тэта-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$

где m , n — произвольные целые числа.

Связь с дзета-функцией Римана

Отношение

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана с помощью преобразования Меллина

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

можно показать, что он инвариантен при замене s на 1 − s . Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица .

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функция использовалась Якоби для построения (в форме, адаптированной для легкого вычисления) его эллиптических функций как частных четырех вышеупомянутых тета-функций, и могла быть использована им также для построения эллиптических функций Вейерштрасса , поскольку

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

где вторая производная относится к z , а константа c определена так, что разложение Лорана ℘ ( z ) при z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Связь с q -гамма-функцией

Четвертая тэта-функция – а значит, и все остальные – тесно связана с q -гамма-функцией Джексона соотношением ^[19]

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть η ( τ ) — эта-функция Дедекинда , а аргумент тета-функции — ном q = e ^πiτ . Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

См. также модульные функции Вебера .

Эллиптический модуль

Эллиптический модуль _

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}$

а дополнительный эллиптический модуль равен

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}$

Производные тэта-функций

Это два одинаковых определения полного эллиптического интеграла второго рода:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\partial \varphi }$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}$

Производные функций Тета Нулверта имеют следующие ряды Маклорена:

${\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}}$

${\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}}$

${\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}}$

Производные тэта-функций с нулевым значением ^[20] имеют вид:

${\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}$

Две последние упомянутые формулы действительны для всех действительных чисел действительного интервала определения: ${\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }$

И эти две последние названные тета-производные функции связаны друг с другом следующим образом:

${\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}$

Производные частных двух из трех упомянутых здесь тэта-функций всегда имеют рациональное отношение к этим трем функциям:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}$

Для вывода этих формул вывода см. статьи Ном (математика) и Модульная лямбда-функция !

Интегралы от тэта-функций

Для тэта-функций справедливы эти интегралы ^{[21] :}

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029}$

Показанные окончательные результаты основаны на общих формулах сумм Коши.

Решение уравнения теплопроводности

Мы берем определение тета-функции Якоби, данное Эдмундом Тейлором Уиттакером и Джорджем Невиллом Уотсоном ^{[22] [23] [24]} , которое в точности соответствует этому определению произведения:

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. ^[25] Принимая z = ${\displaystyle x_{N}}$ действительным и τ = ${\displaystyle it_{N}}$ с действительным и положительным и формулой нома , мы можем записать эту формулу: ${\displaystyle t_{N}}$ ${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )=\exp(-\pi \,t_{N})}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t_{N}\right)\cos(2\pi n\,x_{N})}$

Эта формула согласуется с формулой произведения Уиттакера и Ватсона.

В этом случае большой низкий уровень N будет обозначать безразмерные размеры!

Эта функция решает модель уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{N}}}\vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}={\frac {1}{4\pi }}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{N}^{2}}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}}$

Это решение тэта-функции является 1-периодическим по x и при → 0 приближается к периодической дельта-функции , или гребенке Дирака , в смысле распределений : ${\displaystyle t_{N}}$

${\displaystyle \lim _{t_{N}\to 0}\vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x_{N}-n)}$

Общие решения пространственно-периодической начальной задачи для уравнения теплопроводности можно получить путем свертки начальных данных при = 0 с тета-функцией. Упомянутое дифференциальное уравнение соответствует уравнению теплопроводности в однородной среде: ${\displaystyle t_{N}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec {x}},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=0}$

В этой формуле буква в выражении — это температура в соответствующем месте и времени. Упомянутый выше направленный треугольник Дельта обозначает оператор Лапласа , который является оператором дивергенции градиента Наблы. Кроме того , t обозначает само время, обозначает вектор местоположения и представляет собой коэффициент температуропроводности , который представляет собой частное отношение теплопроводности к произведению плотности и удельной теплоемкости : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a={\frac {\lambda }{\rho c}}}$

Для изменения температуры в тонком и относительно длинном стержне, изготовленном из твердого материала, справедливо уравнение теплопроводности:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-a{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{u(x,t)}=0}$

И это уравнение можно решить по указанной выше схеме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{N}}}\vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}={\frac {1}{4\pi }}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{N}^{2}}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}\pi \,x_{N};\exp(-\pi \,t_{N}){\bigr ]}}$

Отношение к группе Гейзенберга

Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена ​​в статье о тэта-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F — квадратичная форма от n переменных, то тэта-функция, связанная с F , равна

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

с суммой, распространяющейся по решетке целых чисел . Эта тета-функция представляет собой модульную форму веса. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$н/2(на соответствующей подгруппе) модулярной группы . В разложении Фурье

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

числа R _F ( k ) называются числами представления формы.

Тета-серия персонажа Дирихле

Для χ примитивный характер Дирихле по модулю q и ν =1 − χ (−1)/2затем

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}$

это вес1/2+ ν модулярная форма уровня 4 q ² и характер

${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },}$

что означает ^[26]

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

в любое время

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$

Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Римана

Позволять

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

— множество симметричных квадратных матриц , мнимая часть которых положительно определена . называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . n - мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2 n , ) ; для n = 1 Sp (2, ) = SL(2, ) . n -мерный аналог конгруэнтных подгрупп играет ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$

Тогда, учитывая τ ∈ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ , тэта-функция Римана определяется как

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Здесь z ∈ — ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$n - мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование . Тогда тэта-функция Якоби представляет собой частный случай: n = 1 и τ ∈ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ где – верхняя полуплоскость . Одним из основных применений тэта-функции Римана является то, что она позволяет давать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях , а также для других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взяв τ в качестве матрицы периода относительно канонический базис для своей первой группы гомологии . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Тета Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}$

Функциональное уравнение

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )}$

которое справедливо для всех векторов a , b ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ и для всех z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и τ ∈ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ .

Ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тэта-ряд до автоморфных форм относительно произвольных фуксовых групп .

Коэффициенты тета-функции

Если a и b — положительные целые числа, χ ( n ) любая арифметическая функция и | д | < 1 , тогда ^[27]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{an^{2}+bn}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{\stackrel {d|n}{ad^{2}+bd=n}}\chi (d).}$

Общий случай, когда f ( n ) и χ ( n ) — любые арифметические функции, а f ( n ) : → ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$строго возрастает с f ( 0) = 0 , это ^[27]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{f(n)}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{d|n}\sum _{f(\delta )|d}\chi (\delta )\mu \left({\frac {d}{f(\delta )}}\right).}$

Вывод тета-значений

Идентичность бета-функции Эйлера

Далее в качестве примеров будут выведены три важных значения тета-функции:

Вот как определяется бета-функция Эйлера в ее сокращенной форме:

${\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}}$

В общем случае для всех натуральных чисел справедлива формула бета-функции Эйлера: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}$

Примеры эллиптических интегралов

Далее выводятся некоторые эллиптические интегральные сингулярные значения ^{[28] :}

Сочетание целостных тождеств с номом

Функция эллиптического имени имеет следующие важные значения:

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

Доказательство правильности этих значений номов см. в статье Ном (математика) !

На основе этих интегральных тождеств, а также приведенного выше определения и тождеств тэта-функций в том же разделе этой статьи теперь должны быть определены примерные значения тета-нуля:

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}$

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}$

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}$

${\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}$

Последовательности разбиения и произведения Поххаммера

Обычная последовательность номеров разделов

Сама последовательность регулярных разбиений указывает количество способов, которыми положительное целое число может быть разделено на положительные целые слагаемые. Для номеров до соответствующие номера разделов со всеми связанными номерными разделами перечислены в следующей таблице: ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle P}$

Производящую функцию регулярной числовой последовательности разделов можно представить через произведение Поххаммера следующим образом:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}$

Суммирование уже упомянутого произведения Похгаммера описывается теоремой о пятиугольных числах следующим образом:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}$

Следующие основные определения применимы к пятиугольным числам и номерам карточных домиков:

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

В качестве дальнейшего применения ^[29] получается формула для третьей степени произведения Эйлера:

${\displaystyle (x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}$

Строгая последовательность номеров разделов

А строгая последовательность разделения указывает количество способов, которыми такое положительное целое число может быть разбито на положительные целые слагаемые так, что каждое слагаемое появляется не более одного раза ^[30] и ни одно значение слагаемого не встречается повторно. Точно такая же последовательность ^[31] генерируется и в том случае, если в разбиение включены только нечетные слагаемые, но эти нечетные слагаемые могут встречаться более одного раза. Оба представления строгой последовательности номеров разделов сравниваются в следующей таблице: ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle n}$

Производящую функцию строгой числовой последовательности разделов можно представить с помощью произведения Поххаммера:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}$

Последовательность номеров переразбиения

Ряд Маклорена [ ^32] для обратной функции ϑ ₀₁ имеет номера последовательности разбиения в качестве коэффициентов с положительным знаком:

${\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots }$

Если для данного числа все разделы настроены таким образом, что размер слагаемого никогда не увеличивается, и все те слагаемые, которые не имеют слагаемого того же размера слева от себя, могут быть помечены для каждого раздела этого числа type, то это будет результирующее количество ^[33] отмеченных разделов в зависимости от функции переразбиения . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(k)}$

Первый пример:

${\displaystyle {\overline {P}}(4)=14}$

Эти 14 возможностей разметки разделов существуют для суммы 4:

Второй пример:

${\displaystyle {\overline {P}}(5)=24}$

Для суммы 5 существуют 24 возможности разметки разделов:

Отношения последовательностей номеров разделов друг к другу

В Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательность номеров обычных разделов находится под кодом A000041, последовательность строгих разделов - под кодом A000009, а последовательность суперразделов - под кодом A015128. Все родительские разделы из индекса четные. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(n)}$ ${\displaystyle n=1}$

Последовательность суперразбиений можно записать с помощью регулярной последовательности разбиений P ^[34] , а строгую последовательность разбиений Q ^[35] можно сгенерировать следующим образом: ${\displaystyle {\overline {P}}(n)}$

${\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)}$

В следующей таблице последовательностей чисел эту формулу следует использовать в качестве примера:

В связи с этим свойством с помощью функции ϑ ₀₁ также можно составить следующую комбинацию двух рядов сумм :

${\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}$

Примечания

1. См., например, https://dlmf.nist.gov/20.1. Обратите внимание, что это, вообще говоря, не эквивалентно обычной интерпретации, когда находится вне полосы . Здесь обозначает главную ветвь комплексного логарифма . ${\displaystyle (e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$
2. для всех с . ${\displaystyle \theta _{1}(q)=0}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$

Рекомендации

1. Тюрин, Андрей Н. (30 октября 2002 г.). «Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции». arXiv : math/0210466v1 .
2. Чанг, Дер-Чен (2011). Тепловые ядра для эллиптических и субэллиптических операторов . Биркхойзер. п. 7.
3. Тата-лекции по Тете I. Современная классика Биркхойзера. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон. 2007. с. 4. дои : 10.1007/978-0-8176-4577-9. ISBN 978-0-8176-4572-4.
4. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Р. (1987). Пи и годовое собрание: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83138-7.
5. Фукусима, Тосио (апрель 2012 г.). «Быстрое вычисление полных эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 105 (4): 305–328. doi : 10.1007/s10569-009-9228-z.
6. "A002103 - OEIS" . Проверено 28 мая 2023 г.
7. «Расширение серии EllipticNomeQ отличается от старой версии Mathematica» . Проверено 28 мая 2023 г.
8. Р.Б. Кинг, Э.Р. Кэнфилд (1992-08-01), "Икосаэдральная симметрия и уравнение пятой степени", Computers & Mathematics with Applications , vol. 24, нет. 3, стр. 13–28, doi : 10.1016/0898-1221(92)90210-9 , ISSN  0898-1221.
9. Адольф Кнезер (1927), "Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 158, стр. 209–218, ISSN  0075-4102 , получено 11 июня 2023 г.
10. Д.К. Ли (1989-03-01), Применение тета-функций для численного вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода, Национальная лаборатория Ок-Риджа. (ORNL), Ок-Ридж, Теннесси (США), номер номера : 10.2172/6137964, OSTI  6137964 , получено 11 июня 2023 г.
11. KH Schellbach (1864), Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Functionen, Берлин: Г. Реймер , получено 6 июня 2023 г.
12. Йи, Джинхи (2004). «Тождества тэта-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения». Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. дои : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
13. Берндт, Брюс С; Ребак, Орс (9 января 2022 г.). «Явные значения тета-функции Рамануджана φ(q)». Журнал Харди-Рамануджана . 44 : 8923. arXiv : 2112.11882 . дои : 10.46298/hrj.2022.8923 . S2CID  245851672.
14. Йи, Джинхи (15 апреля 2004 г.). «Тождества тэта-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения». Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. дои : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
15. Андреас Дикманн: Таблица бесконечных произведений. Бесконечные суммы. Бесконечные серии, эллиптическая тета. Физический институт Университета Бонна, Абруф, 1 октября 2021 г.
16. Ландау (1899) zitiert nach Borwein, стр. 94, упражнение 3.
17. «Теоретико-числовые, комбинаторные и целочисленные функции - документация mpmath 1.1.0» . Проверено 18 июля 2021 г.
18. Мезё, Иштван (2013), «Формулы дублирования, включающие тета-функции Якоби и q -тригонометрические функции Госпера», Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576 -5
19. Мезё, Иштван (2012). «Формула q-Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби». Журнал теории чисел . 133 (2): 692–704. дои : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 . hdl : 2437/166217 .
20. Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическая альфа-функция». Математический мир .
21. "Интеграция - Любопытные интегралы для тета-функций Якоби $\int_0^1 \vartheta_n(0,q)dq$" . 13 августа 2022 г.
22. Вайсштейн, Эрик В. «Тэта-функции Якоби». Математический мир .
23. http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
24. «DLMF: 20.5 бесконечных продуктов и связанные результаты» . Проверено 13 августа 2022 г.
25. Охяма, Юске (1995). «Дифференциальные отношения тэта-функций». Осакский математический журнал . 32 (2): 431–450.
26. Шимура, О модульных формах полуцелого веса.
27. Багис, Никос Д. (26 октября 2021 г.). «Серия q, связанная с высшими формами». arXiv : 2006.16005 [math.GM].
28. "Эллиптический интеграл сингулярного значения" . Проверено 7 апреля 2023 г.
29. https://www.researchgate.net/publication/235432739_Ramanujan%27s_theta-function_identities_involving_Lambert_series ^{[ пустой URL ]}
30. «Код гольфа — Строгие разбиения положительного целого числа» . Проверено 9 марта 2022 г.
31. "A000009 - OEIS" . 09.03.2022.
32. https://www.math.lsu.edu/~mahlburg/preprints/4.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
33. Ким, Бёнчан (28 апреля 2009 г.). «Расширенная программа чтения Elsevier». Дискретная математика . 309 (8): 2528–2532. дои : 10.1016/j.disc.2008.05.007 .
34. Эрик В. Вайсштейн (11 марта 2022 г.). «Функция раздела P».
35. Эрик В. Вайсштейн (11 марта 2022 г.). «Функция раздела Q».

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications . сек. 16.27 и далее. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций . AMS Переводы математических монографий. Том. 79. Провиденс, Род-Айленд: AMS . ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности . Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс .
• Мамфорд, Дэвид (1983). Тата-лекции по Тэте I. Бостон: Биркхаузер . ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Пирпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications .
• Раух, Гарри Э .; Фаркас, Гершель М. (1974). Тета-функции с приложениями к римановым поверхностям . Балтимор: Уильямс и Уилкинс . ISBN 978-0-683-07196-2.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Тэта-функции», Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . гл. 21. (история θ -функций Якоби )

дальнейшее чтение

• Фаркас, Гершель М. (2008). «Тэта-функции в комплексном анализе и теории чисел». В Аллади, Кришнасвами (ред.). Обзоры по теории чисел . Развитие математики. Том. 17. Шпрингер-Верлаг . стр. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Збл  1206.11055.
• Шенеберг, Бруно (1974). «IX. Тета-серия». Эллиптические модульные функции . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 203. Шпрингер-Верлаг . стр. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Акерман, Майкл (1 февраля 1979 г.). «О производящих функциях некоторых рядов Эйзенштейна». Математические Аннален . 244 (1): 75–81. дои : 10.1007/BF01420339. S2CID  120045753.

Гарри Раух с Гершелем М. Фаркасом: Тета-функции с применением к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд, 1974, ISBN 0-683-07196-3 .  

• Шарль Эрмит: Sur la resolution de l'Equation du cinquiéme degré Comptes rendus, CR Acad. наук. Париж, №. 11 марта 1858 г.

Внешние ссылки

• Моисеев Игорь. «Эллиптические функции для Matlab и Octave».

Эта статья включает в себя материал из интегральных представлений тета-функций Якоби на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .