В математике верхняя полуплоскость , , представляет собой набор точек в декартовой плоскости с . Нижняя полуплоскость определяется аналогично, требуя, чтобы она была отрицательной. Каждый из них является примером двумерного полупространства .
Аффинные преобразования верхней полуплоскости включают в себя
Предложение: Пусть и – полукруги в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое принимает .
и расширять. Затем сдвиньте центр .
Определение: .
можно узнать как круг радиуса с центром и как полярный график .
Утверждение: , , и являются коллинеарными точками .
По сути, это отражение линии в единичном круге . Действительно, длина диагонали от до имеет квадрат длины , поэтому она является обратной величиной этой длины.
Расстояние между любыми двумя точками и в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: Биссектриса отрезка от до либо пересекает границу, либо параллельна ей. В последнем случае они лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическую меру можно использовать для определения расстояния, которое инвариантно относительно расширения. В первом случае и лежат на окружности с центром в пересечении их биссектрисы и границы. По приведенному выше предложению этот круг можно переместить аффинным движением в . Расстояния на можно определить, используя соответствие точкам на и логарифмическую меру на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Родовое название этого метрического пространства — гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эту модель часто называют моделью полуплоскости Пуанкаре .
Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует набору комплексных чисел с положительной мнимой частью :
Этот термин возникает из-за распространенного представления комплексного числа как точки на плоскости, наделенной декартовыми координатами . Когда ось ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над осью и, следовательно, комплексным числам, для которых .
Это область применения многих функций комплексного анализа , особенно модульных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая так же хороша, но традиционно используется реже. Открытый единичный диск (набор всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы) эквивалентен конформному отображению ( см . « Метрика Пуанкаре »), что означает, что обычно можно переходить между и .
Он также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре позволяет исследовать гиперболические движения . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику пространства.
Теорема униформизации поверхностей утверждает, что верхняя полуплоскость является универсальным пространством покрытия поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .
Замкнутая верхняя полуплоскость представляет собой объединение верхней полуплоскости и вещественной оси. Это закрытие верхней полуплоскости.
Одним из естественных обобщений дифференциальной геометрии является гиперболическое пространство , максимально симметричное, односвязное , -мерное риманово многообразие с постоянной секционной кривизной . В этой терминологии верхняя полуплоскость — это действительная размерность .
В теории чисел теория гильбертовых модулярных форм занимается изучением некоторых функций на прямом произведении копий верхней полуплоскости. Еще одно пространство, интересное для теоретиков чисел, — это верхнее полупространство Зигеля , которое является областью модулярных форм Зигеля .
