Учитывая топологическое пространство и действующую на него группу , образы одной точки под действием группы образуют орбиту действия . Фундаментальная область или фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит ровно одну точку с каждой из этих орбит. Он служит геометрической реализацией абстрактного множества представителей орбит.
Есть много способов выбрать фундаментальную область. Обычно фундаментальная область должна представлять собой связное подмножество с некоторыми ограничениями на ее границу, например, гладкую или многогранную. Затем изображения выбранной фундаментальной области под действием группы заполняют пространство плиткой. Одна общая конструкция фундаментальных областей использует ячейки Вороного .
Для данного действия группы G на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов фундаментальной областью этого действия является множество D представителей орбит. Обычно требуется, чтобы это было достаточно хорошее топологически множество одним из нескольких точно определенных способов. Одним из типичных условий является то, что D является почти открытым множеством в том смысле, что D является симметричной разностью открытого множества в X с множеством нулевой меры для некоторой (квази)инвариантной меры на X. Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество U , открытое множество, перемещаемое G в непересекающиеся копии, и почти так же хорошо, как D , представляет орбиты. Часто требуется, чтобы D представлял собой полный набор представителей смежных классов с некоторыми повторениями, но повторяющаяся часть имеет нулевую меру. Это типичная ситуация в эргодической теории . Если для вычисления интеграла по X / G используется фундаментальная область , множества нулевой меры не имеют значения.
Например, когда X — евклидово пространство Rn размерности n , а G — решетка Zn , действующая на него сдвигами, фактор X / G — это n -мерный тор . Фундаментальной областью D здесь можно считать [0,1) n , отличающуюся от открытого множества (0,1) n множеством нулевой меры, или замкнутого единичного куба [0,1] n , граница которого состоит из точек, орбита которых имеет более одного представителя в D .
Примеры в трехмерном евклидовом пространстве R 3 .
В случае трансляционной симметрии в сочетании с другими симметриями фундаментальная область является частью примитивной клетки. Например, для групп обоев фундаментальный домен в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше, чем примитивная ячейка.
На диаграмме справа показана часть конструкции фундаментальной области действия модулярной группы Γ в верхней полуплоскости H .
Эта знаменитая диаграмма встречается во всех классических книгах по модульным функциям . (Вероятно, это было хорошо известно К. Ф. Гауссу , который имел дело с фундаментальными областями под видом теории приведения квадратичных форм .) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синими линиями) представляет собой свободное регулярное множество действия Γ на Х. _ Границы (синие линии) не являются частью свободных регулярных множеств. Чтобы построить фундаментальную область H /Γ, необходимо также подумать о том, как назначать точки на границе, стараясь не учитывать такие точки дважды. Таким образом, свободное регулярное множество в этом примере равно
Фундаментальная область создается путем добавления границы слева плюс половины дуги внизу, включая точку посередине:
Выбор точек границы, которые следует включить в состав фундаментальной области, произволен и варьируется от автора к автору.
Основная трудность определения фундаментальной области заключается не столько в определении множества как такового , сколько в том, как обращаться с интегралами по фундаментальной области при интегрировании функций с полюсами и нулями на границе области.
