Номер Пелла

Натуральное число, используемое для аппроксимации √2.

Стороны квадратов , из которых построена серебряная спираль, представляют собой числа Пелла.

В математике числа Пелла представляют собой бесконечную последовательность целых чисел , известную с древних времен, которые составляют знаменатели ближайших рациональных приближений к квадратному корню из 2 . Эта последовательность приближений начинается1/1,3/2,7/5,17/12, и41/29, поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений составляют половину сопутствующих чисел Пелла или чисел Пелла – Люкаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с 2, 6, 14, 34 и 82.

И числа Пелла, и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения , аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степеням соотношения серебра 1 +  √ 2 . Числа Пелла не только используются для приближения квадратного корня из двух, но и для поиска квадратно-треугольных чисел , для построения целочисленных приближений к прямоугольному равнобедренному треугольнику и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления. ^[1]

Как и в случае с уравнением Пелла , название чисел Пелла происходит от ошибочного приписывания Леонардом Эйлером уравнения и выведенных из него чисел Джону Пеллу . Числа Пелла-Люкаса также названы в честь Эдуарда Лукаса , который изучал последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие числа Пелла являются последовательностями Люка .

Числа Пелла

Числа Пелла определяются рекуррентным соотношением :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря, последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелла представляет собой сумму удвоенного числа предыдущего числа Пелла и числа Пелла перед ним. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (последовательность A000129 в OEIS ).

Аналогично формуле Бине числа Пелла также можно выразить формулой замкнутой формы

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$Для больших значений n член (1 + √ 2 ) ⁿ доминирует в этом выражении, поэтому числа Пелла примерно пропорциональны степеням отношения серебра 1 + √ 2 , что аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотого числа . соотношение .

Возможно третье определение из матричной формулы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

На основе этих определений можно вывести или доказать многие личности ; например, тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

является непосредственным следствием матричной формулы (находится путем рассмотрения определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы). ^[2]

Приближение к квадратному корню из двух

Рациональные приближения к правильным восьмиугольникам с координатами, полученными из чисел Пелла.

Числа Пелла возникают исторически и особенно в рациональном приближении к √ 2 . Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелля

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

тогда их соотношениеИкс/йобеспечивает близкое приближение к √ 2 . Последовательность аппроксимаций этого вида такова:

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

где знаменатель каждой дроби представляет собой число Пелла, а числитель представляет собой сумму числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

Приближение

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

этот тип был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры. ^[3] Греческие математики пятого века до нашей эры также знали об этой последовательности приближений: ^[4] Платон называет числители рациональными диаметрами . ^[5] Во втором веке нашей эры Теон из Смирны использовал термин « числа сторон и диаметров» для описания знаменателей и числителей этой последовательности. ^[6]

Эти приближения могут быть получены из разложения цепной дроби : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Усечение этого разложения до любого количества членов дает одно из приближений этой последовательности на основе чисел Пелла; например,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелла приближаются к √ 2 _, позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин ₍ ±  Pi _, ±  Pi ₊₁ ) и (±  Pi ₊₁ , ±  П _я  ) . Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. Альтернативно, точки , и образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют одинаковые углы. ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Простые числа и квадраты

Простое число Пелла — это число Пелла, которое является простым . Первые несколько простых чисел Пелла равны

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелла равны

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. (последовательность A096650 в OEIS )

Все эти индексы сами по себе являются простыми. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля P _n может быть простым только в том случае, если n само является простым , потому что если d является делителем n , то P _d является делителем P _n .

Единственными числами Пелля, которые являются квадратами , кубами или целыми числами более высокой степени , являются 0, 1 и 169 = 13 ² . ^[7]

Однако, несмотря на небольшое количество квадратов и других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратно-треугольными числами . ^[8] В частности, эти числа возникают из следующего тождества чисел Пелля:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Левая часть этого тождества описывает квадратное число, а правая — треугольное число , поэтому результатом является квадратное треугольное число.

Фалькон и Диас-Барреро (2006) доказали еще одно тождество, связав числа Пелля с квадратами и показав, что сумма чисел Пелля до P _{4 n  +1} всегда является квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Например, сумма чисел Пелля до P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , представляет собой квадрат P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Числа P _{2 n} + P _{2 n  +1} , образующие квадратные корни из этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как числа Ньюмана-Шенкса-Вильямса (НЮУ) .

Пифагоровы тройки

Целые прямоугольные треугольники с почти равными сторонами, полученные на основе чисел Пелла.

Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a , b , c (обязательно удовлетворяющие теореме Пифагора a ² + b ² = c ² ), то ( a , b , c ) называется тройкой Пифагора . Как описывает Мартин (1875), числа Пелла можно использовать для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отстоят друг от друга на одну единицу, что соответствует прямоугольным треугольникам, почти равнобедренным. Каждая такая тройка имеет вид

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

Образованная таким образом последовательность пифагорейских троек имеет вид

(4,3,5), (20,21,29), (120119169), (696697985), …

Числа Пелла – Лукаса

Сопутствующие числа Пелла или числа Пелла – Люкаса определяются рекуррентным соотношением

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Другими словами: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число образуется путем двойного прибавления предыдущего числа Пелла-Лукаса к числу Пелла-Лукаса перед этим или, что то же самое, путем добавления следующего числа Пелла к предыдущему. Число Пелла: таким образом, 82 соответствует 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2 , 2, 6 , 14 , 34. , 82 , 198 , 478 , …

Подобно взаимосвязи между числами Фибоначчи и числами Люка ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

для всех натуральных чисел n .

Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой замкнутой формы

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Все эти числа четные ; каждое такое число в два раза больше числителя в одном из рациональных приближений, рассмотренных выше. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Как и последовательность Лукаса, если число Пелля-Люкаса1/2Q _n простое число, необходимо, чтобы n было либо простым числом, либо степенью 2 . Простые числа Пелла – Лукаса:

3, 7, 17, 41, 239, 577, … (последовательность A086395 в OEIS ).

Для этих n

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (последовательность A099088 в OEIS ).

Вычисления и связи

В следующей таблице приведены первые несколько степеней отношения серебра δ = δ _S = 1 +  √ 2 и его сопряженного δ = 1 −  √ 2 .

Коэффициенты представляют собой полукомпаньонные числа Пелля H _n и числа Пелля P _n , которые являются (неотрицательными) решениями H ² − 2 P 2 ⁼ ±1 . Квадратно -треугольное число – это число

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

которое одновременно является t -м треугольным числом и s -м квадратным числом. Почти равнобедренная тройка Пифагора является целочисленным решением задачи a ² + b ² = c ² , где a + 1 = b .

В следующей таблице показано, что разделение нечетного числа H _n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четное, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетное. Все решения возникают таким образом.

Определения

Полукомпаньонные числа Пелля H _n и числа Пелля P _n могут быть получены несколькими легко эквивалентными способами.

Возведение в полномочия

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Отсюда следует, что существуют закрытые формы :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

и

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Парные рецидивы

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Формулы взаимной рекуррентности

Пусть n будет не менее 2.

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

Матричные формулировки

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Так

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Приближения

Разница между H _n и P _n √ 2 составляет

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

который быстро стремится к нулю. Так

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

чрезвычайно близок к 2 H _n .

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношенияЧ _н/П _нбыстро приблизиться к √ 2 ; иЧ _н/Ч _{н  -1}иП _н/П _{н  -1}быстро приблизиться к 1 +  √ 2 .

Ч   2  - 2 П   2  = ±1

Поскольку √ 2 иррационально, мы не можем иметьЧАС/п =  √ 2 , т. е.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Лучшее, чего мы можем достичь, это либо

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

(Неотрицательные) решения задачи H ² − 2 P ² = 1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с четным n , а решения задачи H ² − 2 P ² = −1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с n нечетным. Чтобы увидеть это, сначала заметьте, что

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

так что эти различия, начиная с H²
₀− 2 П²
₀= 1 , попеременно равны 1 и −1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

Меньшее решение также имеет целые положительные числа, за одним исключением: H = P = 1 , которое происходит от H ₀  = 1 и P ₀  = 0.

Квадратные треугольные числа

Требуемое уравнение

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

эквивалентно которому становится H ² = 2 P ² + 1 с заменами H  = 2 t  + 1 и P  = 2 s . Следовательно, n -е решение есть ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Заметим, что t и t  + 1 взаимно простые, так чтот  ( т  + 1)/2 =  s ² происходит именно тогда, когда они являются соседними целыми числами: одно — квадрат H ² , а другое — дважды квадрат 2 P ² . Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

Пифагоровы тройки

Равенство c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1 возникает именно тогда, когда 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2 становится 2 P ² = H ² + 1 с замены H = 2 a + 1 и P = c . Следовательно, n -е решение есть n ₌ЧАС _{2 п  +1} - 1/2и c _n знак равно п _{2 n  +1} .

В таблице выше показано, что в том или ином порядке a _n и b _n = a _n + 1 равны H _n  H _{n  +1} и 2 P _n  P _{n  +1} , тогда как c _n = H _{n  +1}  P _n + P _{п  +1}  Ч _н .

Примечания

1. Например, Селлерс (2002) доказывает, что количество идеальных паросочетаний в декартовом произведении графа путей и графа K ₄  −  e можно вычислить как произведение числа Пела на соответствующее число Фибоначчи.
2. О матричной формуле и ее последствиях см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные идентификаторы чисел Пелла перечислены Хорадамом (1971) и Бикнеллом (1975).
3. Как записано в Шульба-сутрах ; см., например, Дутка (1986), который цитирует Тибо (1875) для получения этой информации.
4. См. Knorr (1976) для даты V века, которая соответствует утверждению Прокла о том, что числа сторон и диаметров были открыты пифагорейцами . Более подробное исследование более поздних греческих знаний об этих числах см. в Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).
5. Например, как отмечается в некоторых ссылках из предыдущей заметки, в « Государстве Платона» есть ссылка на «рациональный диаметр 5», под которым Платон имеет в виду 7, числитель приближения.7/5из которых 5 является знаменателем.
6. Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида, Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN 9780486240732.
7. Пето (1992); Кон (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются по принципу повторяемости, очень похожему на числа Пелла, Кон пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи доказать гораздо труднее. (Однако это было доказано в 2006 году Бюжо и др.)
8. Сесскин (1962). Более подробный вывод см . В статье о квадратно-треугольных числах .

Рекомендации

• Бикнелл, Марджори (1975). «Праймер по последовательности Пелла и родственным последовательностям». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 13 (4): 345–349. МР  0387173.
• Кон, JHE (1996). «Совершенные силы Пелла». Математический журнал Глазго . 38 (1): 19–20. дои : 10.1017/S0017089500031207 . МР  1373953.
• Дутка, Жак (1986). «О квадратных корнях и их представлениях». Архив истории точных наук . 36 (1): 21–39. дои : 10.1007/BF00357439. MR  0863340. S2CID  122277481.
• Эрколано, Джозеф (1979). «Матричные генераторы последовательностей Пелла». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 17 (1): 71–77. МР  0525602.
• Филеп, Ласло (1999). «Числа Пифагора и диагонали» (PDF) . Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis . 15 : 1–7. Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2020 г. Проверено 29 января 2007 г.
• Хорадам, А.Ф. (1971). «Личность Пелла». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 9 (3): 245–252, 263. МР  0308029.
• Килич, Эмра; Таши, Дурсун (2005). «Линейная алгебра матрицы Пелля». Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana, Tercera Serie . 11 (2): 163–174. МР  2207722.
• Норр, Уилбур (1976). «Архимед и измерение круга: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. дои : 10.1007/BF00348496. MR  0497462. S2CID  120954547.
• Норр, Уилбур (1998). "«Рациональные диаметры» и открытие несоизмеримости». American Mathematical Monthly . 105 (5): 421–429. doi : 10.2307/3109803. JSTOR  3109803.
• Кнут, Дональд Э. (1994). «Прыгающие графики». Математический вестник . 78 (483): 274–297. arXiv : math.CO/9411240 . Бибкод : 1994math.....11240K. дои : 10.2307/3620202. JSTOR  3620202. S2CID  16856513.
• Мартин, Артемас (1875). «Рациональные прямоугольные треугольники, почти равнобедренные». Аналитик . 3 (2): 47–50. дои : 10.2307/2635906. JSTOR  2635906.
• Пето, А. (1992). «Последовательность Пелла содержит только тривиальные совершенные степени». Множества, графы и числа (Будапешт, 1991) . Коллок. Математика. Соц. Янош Бояи, 60 лет, Северная Голландия. стр. 561–568. МР  1218218.
• Риденхур, младший (1986). «Лестничная аппроксимация иррациональных чисел». Журнал «Математика» . 59 (2): 95–105. дои : 10.2307/2690427. JSTOR  2690427.
• Фалькон Сантана, Серджио; Диас-Барреро, Хосе Луис (2006). «Некоторые свойства сумм, включающих числа Пелла». Миссурийский журнал математических наук . 18 (1). дои : 10.35834/2006/1801033 . hdl : 10553/72698 .
• Селлерс, Джеймс А. (2002). «Разбиения домино и произведения чисел Фибоначчи и Пелла» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 5 : 12. Бибкод :2002JIntS...5...12S. MR  1919941. Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2020 г. Проверено 28 января 2007 г.
• Сесскин, Сэм (1962). «Обращение» к последней теореме Ферма?». Журнал «Математика» . 35 (4): 215–217. дои : 10.2307/2688551. JSTOR  2688551.
• Тибо, Джордж (1875). «О Сулвасутрах». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
• Томпсон, Д'Арси Вентворт (1929). «III. — Избыток и недостаток: или немного больше и немного меньше». Разум . Новая серия. 38 (149): 43–55. дои : 10.1093/mind/XXXVIII.149.43. JSTOR  2249223.
• Ведова, Г.Ц. (1951). «Заметки о Теоне Смирнском». Американский математический ежемесячник . 58 (10): 675–683. дои : 10.2307/2307978. JSTOR  2307978.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Номер Пелла». Математический мир .
• Последовательность OEIS A001333 (Числители цепных дробей, сходящихся к sqrt(2)) — числители одной и той же последовательности аппроксимаций.