LF-пространство

Топологическое векторное пространство

В математике LF -пространство , также обозначаемое ( LF )-пространством , представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) X , которое является локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы пространств Фреше . ^[1] Это означает, что X является прямым пределом прямой системы в категории локально выпуклых топологических векторных пространств и каждое из них является пространством Фреше. Название LF означает « предел пространств Фреше ». ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Если каждая из карт связей является вложением TVS, то LF -пространство называется строгим LF -пространством . Это означает, что топология подпространства, индуцированная на X _n посредством X _{n +1} , идентична исходной топологии на X _n . ^{[1] [2]} Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин « LF -пространство» как «строгое LF -пространство», поэтому при чтении математической литературы рекомендуется всегда проверять, как определяется LF -пространство. ${\displaystyle i_{nm}}$

Определение

Топология индуктивного/конечного/прямого предела

Везде предполагается, что

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$– либо категория топологических пространств , либо некоторая подкатегория категории топологических векторных пространств (ТВП);
  • Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то все морфизмы считаются гомоморфизмами этой алгебраической структуры.
• I — непустое направленное множество ;
• X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} — семейство объектов, вкотором ( X _i , τ _{X i} ) — топологическое пространство для каждого индекса i ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • Чтобы избежать потенциальной путаницы, τ _{X i} не следует называть «начальной топологией» X _i , поскольку термин « исходная топология » уже имеет хорошо известное определение. Топология τ _{X i} называется исходной топологией на X _i или заданной топологией X _i .
• X — это множество (и если объекты в нем также имеют алгебраическую структуру, то автоматически предполагается, что X имеет любую необходимую алгебраическую структуру); ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• f _• знак равно ( f _i ) _{i ∈ I} представляет собой семейство карт, где для каждого индекса i карта имеет прототип f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → X . Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то эти отображения также считаются гомоморфизмами этой алгебраической структуры.

Если она существует, то конечная топология на X в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , также называемая копределом или индуктивной топологией в и обозначаемая τ _{f •} или τ _f , является тончайшей топологией на X такой, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ( X , τ _f ) — объект в, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. для каждого индекса i отображение f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → ( X , τ _f ) является непрерывным морфизмом в . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

В категории топологических пространств конечная топология всегда существует, и более того, подмножество U ⊆ X открыто (соответственно замкнуто) в ( X , τf ₎ тогда и только тогда, когда f _i ^{- 1} ( U ) открыто (соответственно замкнуто) в ( X _i , τ _{X i} ) для каждого индекса i .

Однако окончательная топология может не существовать в категории топологических пространств Хаусдорфа из-за требования, чтобы ( X , τ _{X f} ) принадлежали исходной категории (т. е. принадлежали категории топологических пространств Хаусдорфа). ^[3]

Прямые системы

Предположим, что ( I , ≤) — ориентированное множество и что для всех индексов i ≤ j существуют (непрерывные) морфизмы в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ж _я ^j  : X _я → X _j

такой, что если i = j , то f _i ^j является тождественным отображением на X _i , а если i ≤ j ≤ k , то выполняется следующее условие совместимости :

ж _я ^k знак равно ж _j ^k ∘ ж _я ^j ,

где это означает, что композиция

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ is equal to }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.}$

Если вышеуказанные условия выполнены, то тройка, образованная совокупностями этих объектов, морфизмов и множества индексаций

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

известна как прямая система в категории , которая направляется (или индексируется ) I. Поскольку индексное множество I является направленным , то прямая система называется направленной . ^[4] Карты f _i ^j называются связывающими , соединяющими или связывающими картами системы. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Если набор индексации I понятен, то I часто опускается в приведенном выше кортеже (т. е. не записывается); то же самое верно и для карт связей, если они понятны. Следовательно, часто можно увидеть написанное « X _• является прямой системой», где « X _• » на самом деле представляет собой тройку с картами связей и набором индексов, которые либо определены где-то в другом месте (например, канонические карты связей, такие как естественные включения), либо же карты связей просто предполагается, что они существуют, но нет необходимости присваивать им символы (например, карты связей не нужны для формулировки теоремы).

Прямой предел прямой системы

О построении прямого предела общей индуктивной системы можно прочитать в статье: Прямой предел .

Прямые пределы инъективных систем

Если каждое из отображений связей инъективно , то система называется инъективной . ^[4] ${\displaystyle f_{i}^{j}}$

Предположения : В случае, когда прямая система инъективна, без ограничения общности часто предполагается, что для всех индексов i ≤ j каждое X _i является векторным подпространством X _j (в частности, X _i отождествляется с областью значений ) и что карта связи представляет собой естественное включение ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}}$

В^Джи
_я : X _i → X _j

(т.е. определяется как x ↦ x ), так что топология подпространства на X _i, индуцированная X _j , слабее (т. е. грубее) , чем исходная (т. е. заданная) топология на X _i .

В этом случае также возьмите

Х  :=∪я € я Х _я .

Тогда предельные отображения являются естественными включениями In _i  : X _i → X . Топология прямого предела на X — это окончательная топология, индуцированная этими отображениями включения.

Если X _i имеют алгебраическую структуру, например, сложение, то для любых x , y ∈ X мы выбираем любой индекс i такой, что x , y ∈ X _i , а затем определяем их сумму, используя оператор сложения Х _я . То есть,

х + у  := х + _я у ,

где + _i — оператор сложения X _i . Эта сумма не зависит от выбранного индекса i .

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию прямого предела X инъективно направленного индуктивного предела локально выпуклых пространств можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество U в X является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда U ∩ X _i — абсолютно выпуклая окрестность точки 0 в X _i для любого индекса i . ^[4]

Прямые лимиты в Топе

Прямые пределы направленных прямых систем всегда существуют в категориях множеств, топологических пространств, групп и локально выпуклых ТВС. В категории топологических пространств, если каждое связующее отображение f _i ^j является/является инъективным (соответственно сюръективным , биективным , гомеоморфизмом , топологическим вложением , фактор-отображением ), то таковым является и каждое f _i  : X _i → X. ^[3]

Проблема с прямыми лимитами

Прямые пределы в категориях топологических пространств, топологических векторных пространств (TVS) и хаусдорфовых локально выпуклых TVS «плохо ведут себя». ^[4] Например, прямой предел последовательности (т.е. индексированной натуральными числами) локально выпуклых ядерных пространств Фреше может не быть хаусдорфовым (в этом случае прямой предел не существует в категории хаусдорфовых TVS). По этой причине в функциональном анализе обычно изучаются только некоторые «хорошо себя ведущие» прямые системы . К таким системам относятся LF -пространства. ^[4] Однако нехаусдорфовые локально выпуклые индуктивные пределы встречаются в естественных вопросах анализа. ^[4]

Строгий индуктивный предел

Если каждое из отображений связи является вложением ТВС в собственные векторные подпространства и если система направляется со своим естественным упорядочением, то полученный предел называется строгим ( счетным ) прямым пределом . В такой ситуации мы можем предположить без ограничения общности, что каждое X _i является векторным подпространством X _{i +1} и что топология подпространства, индуцированная на X _i посредством X _{i +1} , идентична исходной топологии на X _i . ^[1] ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию строгого индуктивного предела пространств Фреше X можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество U является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда U ∩ X _n является абсолютно выпуклой окрестностью. 0 в X n _для каждого n .

Характеристики

Тем же свойством обладает индуктивный предел в категории локально выпуклых ТВС семейства борнологических (соответственно бочковых , квазибочечных ) пространств. ^[5]

LF-пространства

Каждое LF-пространство является скудным подмножеством самого себя. ^[6] Строгий индуктивный предел последовательности полных локально выпуклых пространств (таких как пространства Фреше) обязательно полон. В частности, каждое LF-пространство полно. ^[7] Каждое LF -пространство является бочоночным и борнологическим , что вместе с полнотой означает, что каждое LF-пространство является ультраборнологическим . LF-пространство, являющееся индуктивным пределом счетной последовательности сепарабельных пространств, является сепарабельным. ^[8] Выделяются ЛФ-пространства , а их сильные двойники — борнологические и бочоночные (результат Александра Гротендика ).

Если X — строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространства Фреше Xn _, то подмножество B пространства X ограничено в X тогда и только тогда, когда существует такое n _, что B является ограниченным подмножеством Xn . ^[7]

Линейное отображение LF-пространства в другое TVS непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно . ^[9] Линейное отображение LF-пространства X в пространство Фреше Y непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в X × Y . ^[10] Каждый ограниченный линейный оператор из LF-пространства в другое TVS непрерывен. ^[11]

Если X — LF-пространство , определенное последовательностью, то сильное двойственное пространство к X является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все X _i нормируемы . ^[12] Таким образом, сильное двойственное пространство к LF-пространству является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является LB-пространством . ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Примеры

Пространство гладких компактных функций

Типичным примером LF -пространства является пространство всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Структура LF -пространства получается путем рассмотрения последовательности компактов, где и для всех i, является подмножеством внутренности . Такой последовательностью могли бы быть шары радиуса i с центром в начале координат. Пространство бесконечно дифференцируемых функций на с компактным носителем, содержащимся в, имеет естественную структуру пространства Фреше и наследует описанную выше структуру LF -пространства. Топология LF -пространства не зависит от конкретной последовательности компактов . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle K_{i}}$

Благодаря этой структуре LF -пространства оно известно как пространство основных функций, имеющих фундаментальное значение в теории распределений . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Прямой предел конечномерных пространств

Предположим, что для каждого положительного целого числа n , X _n  := ⁿ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и для m < n рассмотрим X _m как векторное подпространство X _n посредством канонического вложения X _m → X _n , определенного x  := ( x ₁ , ... , Икс _м ) ↦ ( Икс ₁ , ..., Икс _м , 0, ..., 0) . Обозначим полученное LF-пространство через X. Поскольку любая TVS-топология на X делает непрерывными включения X m _в X , последнее пространство имеет максимум среди всех TVS-топологий на -векторном пространстве со счетной гамелевой размерностью . Это LC - топология, связанная с семейством всех полунорм на X. Кроме того, топология индуктивного предела TVS X совпадает с топологическим индуктивным пределом; т. е. прямой предел конечномерных пространств X _n в категории TOP и в категории TVS совпадают. Непрерывное двойственное пространство к X равно алгебраическому двойственному пространству к X , то есть пространству всех вещественнозначных последовательностей , а слабая топология на равна сильной топологии на (т.е. ). ^[13] Фактически, это единственная топология LC, топологическим дуальным пространством которой является X. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Смотрите также

• DF-пространство
• Прямой лимит
• Окончательная топология
• F-пространство
• LB-пространство

Цитаты

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 55–61.
2. Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (Печатается с корр. ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 398. ИСБН 0-8218-2673-5.
3. Дугунджи 1966, стр. 420–435.
4. Bierstedt 1988, стр. 41–56.
5. Гротендик 1973, стр. 130–142.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 435.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 59–61.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 436.
9. Тревес 2006, с. 141.
10. Тревес 2006, с. 173.
11. Тревес 2006, с. 142.
12. Тревес 2006, с. 201.
13. Шефер и Вольф 1999, стр. 201.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Бирштедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы». Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Проверено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вальдивия, Мануэль (1982). Нахбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . Том. 67. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Научный паб Elsevier . ISBN компании 978-0-08-087178-3. ОСЛК  316568534.
• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-030-32945-7. ОСЛК  1145563701.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.