Однородное распределение

В математике однородным распределением называется распределение S в евклидовом пространстве Rn или Rn \{0} ^,^{однородное} в том смысле, что, грубо говоря ,

S(tx)=t^{m}S(x)\,

для всех t > 0.

Точнее, пусть – скалярный оператор деления на R ⁿ . Распределение S на Rn или Rn \ {0 ^} является однородным степени m при условии ^, что $\mu _{t}:x\mapsto x/t$

S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]

для всех положительных действительных t и всех тестовых функций φ. Дополнительный множитель t ^{- n} необходим для воспроизведения обычного понятия однородности для локально интегрируемых функций и возникает в результате якобианской замены переменных . Число m может быть действительным или комплексным.

Расширение данного однородного распределения от Rn \ ^{0} до распределения на Rn может оказаться нетривиальной проблемой , хотя это необходимо для того, чтобы многие методы анализа Фурье , в частности преобразование Фурье , были доведены до ^{сведения} нести. Однако такое расширение существует в большинстве случаев, хотя оно может и не быть уникальным.

Характеристики

Если S — однородное распределение на ^Rn \ {0} степени α, то слабая первая частная производная S

{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}

имеет степень α−1. Более того, верна версия теоремы Эйлера об однородной функции : распределение S однородно степени α тогда и только тогда, когда

\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.

Одно измерение

Возможна полная классификация однородных распределений в одном измерении. Однородные распределения на R \{0} задаются различными степенными функциями . Помимо степенных функций, однородные распределения на R включают дельта-функцию Дирака и ее производные.

Дельта-функция Дирака однородна степени −1. Интуитивно,

\int _ {\mathbb {R}}\delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }\delta (y)\varphi (y/t)\ ,{\frac {dy}{t}}=t^{-1}\varphi (0)

сделав замену переменных y = tx в «интеграле». При этом k-я слабая производная дельта-функции δ ^{( k )} однородна степени −k − 1. Все эти распределения имеют поддержку, состоящую только из начала координат: при локализации над R \ {0 } все эти распределения тождественно равны нулю.

Иксα +

В одном измерении функция

x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0&{\text{иначе}}\end{cases }}

локально интегрируемо на R \ {0 } и, таким образом, определяет распределение. Распределение однородно степени α. Аналогично и являются однородными распределениями степени α. $x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }$ $|x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }$

Однако каждое из этих распределений локально интегрируемо на всем R только при условии, что Re(α) > −1. Но хотя функция, наивно определенная приведенной выше формулой, не является локально интегрируемой при Re α ⩽ −1, отображение $x_{+}^{\alpha }$

\alpha \mapsto x_ {+}^{\alpha }

— голоморфная функция из правой полуплоскости в топологическое векторное пространство умеренных распределений. Он допускает единственное мероморфное расширение с простыми полюсами для каждого отрицательного целого числа α = −1, −2, ... . Полученное расширение будет однородным степени α при условии, что α не является целым отрицательным числом, поскольку, с одной стороны, соотношение

x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]

выполняется и голоморфно по α > 0. С другой стороны, обе части мероморфно продолжаются по α и поэтому остаются равными во всей области определения.

Во всей области определения x^α
₊также удовлетворяет следующим свойствам:

${\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}$
$xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}$

Другие расширения

Существует несколько различных способов расширить определение степенных функций до однородных распределений на R в отрицательных целых числах.

х^α ₊

Полюсы в x^α
₊в отрицательных целых числах можно удалить путем перенормировки. Помещать

\chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.

Это целая функция от α. В отрицательных целых числах

\chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.

Распределения обладают свойствами $\chi _{+}^{a}$

${\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}$
$x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.$

${\underline {x}}^{k}$

Второй подход заключается в определении распределения для k = 1, 2, ..., ${\underline {x}}^{-k}$

{\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}} {dx^{k}}}\log |x|.

Они явно сохраняют исходные свойства степенных функций:

${\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k {\underline {x}}^{-k-1}$
$x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{if }}k>1.$

Эти распределения также характеризуются своим действием на тестовые функции

{\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,

и таким образом обобщить распределение главных значений Коши 1/ x , которое возникает при преобразовании Гильберта .

( х ± i0) ^α

Другое однородное распределение дается пределом распределения

(x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.

То есть, действуя на тестовые функции

(x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.

Ветвь логарифма выбирается однозначной в верхней полуплоскости и согласованной с натуральным логарифмом вдоль положительной вещественной оси. Как предел целых функций, ( x + i0) ^α [φ] является целой функцией от α. Сходным образом,

(x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }

также является четко определенным распределением для всех α

Когда Re α > 0,

(x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },

которое затем выполняется путем аналитического продолжения, если α не является отрицательным целым числом. По постоянству функциональных отношений,

{\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.

При целых отрицательных числах справедливо тождество (на уровне распределений на R \ {0})

(x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},

и особенности сокращаются, давая четко определенное распределение на R . Среднее значение двух распределений согласуется с : ${\underline {x}}^{-k}$

{\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.

Разница двух распределений кратна дельта-функции:

(x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},

которое известно как соотношение скачка Племеля .

Классификация

Имеет место следующая классификационная теорема (Гельфанд, Шилов, 1966, §3.11). Пусть S — распределение, однородное степени α на R \ {0 }. Тогда для некоторых констант a , b . Любое распределение S на R, однородное степени α ≠ −1, −2, ..., также имеет такой вид. В результате каждое однородное распределение степени α ≠ −1, −2, ... на R \ {0 } продолжается до R . $S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }$

Наконец, все однородные распределения степени − k , отрицательного целого числа, на R имеют вид:

a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.

Высшие измерения

Однородные распределения на евклидовом пространстве R ⁿ \ {0 } с удаленным началом координат всегда имеют вид

где ƒ — распределение на единичной сфере S ^{n −1} . Число λ, которое является степенью однородного распределения S , может быть действительным или комплексным.

Любое однородное распределение вида ( 1 ) на Rn ^\ {0} однозначно продолжается до однородного распределения на Rn при условии, что ^Re λ > − n . Фактически, аргумент аналитического продолжения, аналогичный одномерному случаю, расширяет это для всех λ ≠ − n , − n −1, ... .