Двойная система

В математике дуальной системой , двойственной парой или двойственностью над полем называется тройка, состоящая из двух векторных пространств и над и невырожденного билинейного отображения . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

Математическая двойственность представляет собой исследование двойственных систем и играет важную роль в функциональном анализе . Он имеет обширные приложения к квантовой механике , возникающие в теории гильбертовых пространств . Кроме того, это может быть очень полезно при работе с квантовой механикой и квантовой физикой.

Определение, обозначения и соглашения

Пейринги

Аспаривание илипаранад полемпредставляет собой тройку, которую также можно обозначить каксостоящую из двух векторных пространствибилинейнойкарты,называемойкартой, связанной с спариванием,^[1]картойспариванияили ее билинейной формой . Примеры здесь описывают только те случаи, когдаэтодействительные числаиликомплексные числа. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle b(X,Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Для каждого определите и для каждого определите Каждый является линейным функционалом на и каждый является линейным функционалом на . Поэтому оба образуют векторные пространства линейных функционалов . ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$

Обычно вместо пишут , при этом в некоторых случаях спаривание может обозначаться вместо . Однако в этой статье мы оставим за собой использование канонической карты оценки (определенной ниже), чтобы избежать путаницы у читателей, не знакомых с этим предметом. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle b(x,y)}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Двойные пары

Парность называется ${\displaystyle (X,Y,b)}$двойная система ,двойная пара , ^[2] илидвойственности ,если билинейная форма невырождена , что означает , что она удовлетворяет следующим двум аксиомам разделения: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$ разделяет (выделяет) точки : если таково, что то ; или, что то же самое, для всех ненулевых отображение не является тождественным (т.е. существует такое, что для каждого ); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. ${\displaystyle X}$ разделяет (выделяет) точки : если таково, что то ; или, что то же самое, для всех ненулевых отображение не является тождественным (т.е. существует такое, что для каждого ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$

В этом случае невырождено , и можно сказать, что помещает и в двойственность (или, избыточно, но явно, в отделённую двойственность ), и называется двойственным спариванием тройки . ^{[1] [2]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

Всего подмножеств

Подмножество называется​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$итого , если для каждого,подразумевает Общее подмножествоопределяется аналогично (см. сноску).^{[примечание 1]}Таким образом,точки разделяютсятогда и только тогда, когдаявляется полным подмножеством, и аналогично для. ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ортогональность

Векторы и ортогональны , если .​ Два подмножества и ортогональны , записаны , если ; то есть, если для всех и . Аналогично определяется определение подмножества, ортогонального вектору . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\perp y}$ ${\displaystyle b(x,y)=0}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle R\perp S}$ ${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$ ${\displaystyle b(r,s)=0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$

Ортогональное дополнение или аннулятор подмножества. Таким образом, это полное подмножество тогда и только тогда, когда равно . ${\displaystyle R\subseteq X}$ $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{\perp }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Полярные множества

Учитывая тройку , определяющую пару над , абсолютный полярный набор или полярный набор подмножества представляет собой набор: Симметрично абсолютный полярный набор или полярный набор подмножества обозначается и определяется через ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

Чтобы использовать бухгалтерский учет, который помогает отслеживать антисимметрию двух сторон дуальности, абсолютную поляру подмножества можно также назвать абсолютной преполярной или преполярной , а затем обозначить ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$

Поляра обязательно представляет собой выпуклое множество, содержащее где, если сбалансировано, то так и есть, и если является векторным подпространством, то также является векторным подпространством из ^[4] ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle 0\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

If является векторным подпространством then и это также равно вещественной поляре If тогда биполярное обозначение , является полярным ортогонального дополнения к , т. е. множеству. Аналогично , если тогда биполярное пространство есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Двойные определения и результаты

Учитывая пару, определите новую пару, где для всех и . ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$

В теории двойственности существует устойчивая идея: любое определение пары имеет соответствующее двойственное определение пары. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Соглашение и определение : Учитывая любое определение пары, можно получить двойственное определение , применив его к паре. Эти соглашения также применимы к теоремам. ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Например, если « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством ») определяется, как указано выше, то это соглашение немедленно приводит к двойному определению « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством »). . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Следующее обозначение почти повсеместно распространено и позволяет нам избежать присвоения символа ${\displaystyle d.}$

Соглашение и обозначения : Если определение и его обозначения для пары зависят от порядка и (например, определение топологии Макки на ), то переключением порядка и тогда подразумевается, что определение применяется к (продолжая то же самое например, топология фактически будет обозначать топологию ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

Другой пример: как только определена слабая топология на , обозначенная , тогда это двойное определение будет автоматически применено к спариванию , чтобы получить определение слабой топологии на , и эта топология будет обозначаться вместо . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Идентификация ${\displaystyle (X,Y)}$с ${\displaystyle (Y,X)}$

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением обозначениями, в этой статье будет придерживаться почти повсеместного соглашения о взаимозаменяемости спаривания и обозначения через ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Примеры

Ограничение спаривания

Предположим, что это спаривание, векторное подпространство и векторное подпространство . Тогда ограничение to представляет собой пару. Если это двойственность, то ограничение может не быть двойственностью (например, если и ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle N=\{0\}}$

В этой статье будет использована общепринятая практика обозначения ограничения ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$ ${\displaystyle (M,N,b).}$

Каноническая двойственность в векторном пространстве

Предположим, что это векторное пространство, и пусть обозначает алгебраическое двойственное пространство ( то есть пространство всех линейных функционалов на ). Существует каноническая двойственность , которая называется оценочной картой или естественным или каноническим билинейным функционалом. Обратите внимание, в частности, что для любого - это просто еще один способ обозначения ; т.е. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Если - векторное подпространство , то ограничение на называется каноническим спариванием , где, если это спаривание является двойственностью, то оно вместо этого называется канонической двойственностью . Очевидно, всегда различает точки , поэтому каноническое спаривание является двойственной системой тогда и только тогда, когда разделяет точки Следующие обозначения теперь почти повсеместно распространены в теории двойственности. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Карта оценки будет обозначаться (а не ) и будет записываться вместо ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle }$ ${\displaystyle (X,N,c).}$

Предположение : Как это обычно бывает, если — векторное пространство и — векторное пространство линейных функционалов, то, если не указано иное, предполагается, что они связаны с каноническим спариванием ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Если - векторное подпространство , то различает точки (или, что то же самое, является двойственностью) тогда и только тогда, когда различает точки или, что эквивалентно, если является полным (то есть для всех подразумевает ). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n(x)=0}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle x=0}$

Каноническая двойственность в топологическом векторном пространстве

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством. Тогда ограничение канонической двойственности на × определяет пару , для которой разделяет точки If разделяет точки (что верно, если, например, является хаусдорфовым локально выпуклым пространством) тогда это соединение образует двойственность. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Предположение : Как обычно делается, если есть TVS, то, если не указано иное, без комментариев будет предполагаться, что он связан с каноническим спариванием. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Полары и двойники TVS

Следующий результат показывает, что непрерывные линейные функционалы на TVS — это в точности те линейные функционалы, которые ограничены в окрестности начала координат.

Теорема ^[1]  —  Пусть это ТВС с алгебраически двойственным и базис окрестностей в начале координат. При канонической двойственности непрерывное двойственное пространство представляет собой объединение всех диапазонов ( где поляры взяты в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N^{\circ }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Внутренние пространства произведений и комплексно-сопряженные пространства.

Предгильбертово пространство является двойственным спариванием тогда и только тогда, когда оно является векторным пространством над или имеет размерность. Здесь предполагается, что полуторалинейная форма сопряжена, однородна по второй координате и однородна по первой координате. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• Если — вещественное гильбертово пространство , то образует двойственную систему. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• Если - комплексное гильбертово пространство , то образует двойственную систему тогда и только тогда, когда If нетривиален, тогда даже не образует спаривания, поскольку скалярное произведение является полуторалинейным , а не билинейным. ^[1] ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Предположим, что это комплексное прегильбертово пространство со скалярным умножением, обычно обозначаемым сопоставлением или точкой. Определите отображение , в правой части которого используется скалярное умножение. Пусть обозначает комплексное сопряженное векторное пространство где обозначает аддитивную группу ( поэтому сложение векторов в идентично сложению векторов в ), но со скалярным умножением в качестве карты (вместо скалярного умножения, которым наделено ). ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \cdot .}$ $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle (H,+)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$ ${\displaystyle H}$

Карта , определяемая как, линейна по обеим координатам ^{[примечание 2]} и, таким образом, образует двойственную пару. ${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

Другие примеры

• Предположим и для всех пусть Тогда есть такое спаривание, которое различает точки из, но не различает точки из Кроме того, ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$ $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Пусть (где такое, что ), и Тогда – двойственная система. ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Пусть и - векторные пространства над одним и тем же полем. Тогда билинейная форма помещает и в двойственность. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Пространство последовательностей и его бета-двойственное с билинейным отображением, определенным как for, образует двойственную систему. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Слабая топология

Предположим, что это пара векторных пространств над If , тогда слабая топология на, индуцированная (и ), является самой слабой топологией TVS на, обозначаемой или просто делающей все отображения непрерывными как диапазоны над ^[1]. Если это не ясно из контекста, тогда это должно быть предполагается, что все это в этом случае называется слабой топологией на (индуцированной ). Обозначение или (если не может возникнуть путаницы) просто используется для обозначения наделенных слабой топологией. Важно отметить, что слабая топология полностью зависит от функции обычной топологии и от структуры векторного пространства , но не от алгебраических структур ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,S),}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Аналогично, если тогда двойственное определение слабой топологии на индуцировано ( и ), которое обозначается или просто (подробности см. в сноске). ^{[заметка 3]} ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

Определение и обозначения : Если « » прилагается к топологическому определению (например, -сходится, -ограничено и т. д.), то это означает, что первое пространство (т.е. ) несет топологию. Упоминание или даже и может быть опущено, если не возникает путаницы. Так, например, если последовательность в « -сходится» или «слабо сходится», то это означает, что она сходится в, тогда как если бы она была последовательностью в , то это означало бы, что она сходится в ). ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

Топология является локально выпуклой, поскольку она определяется семейством полунорм, определяемых как пробеги по ^[1] Если и является сетью в , то -сходится к , если сходится к в ^[1] Сеть -сходится к тогда и только тогда, когда для всех сходится к If — последовательность ортонормированных векторов в гильбертовом пространстве, затем слабо сходится к 0, но не сходится по норме к 0 (или любому другому вектору). ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$ ${\displaystyle b(x,y).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Если является спариванием и является собственным векторным подпространством такого, которое является двойственной парой, то оно строго грубее , чем ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Ограниченные подмножества

Подмножество ограничено тогда и только тогда, когда где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$ ${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}$

Хаусдорфность

Если это пара, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки ; ${\displaystyle Y}$
2. Отображение определяет инъекцию из в алгебраическое двойственное пространство ; ^[1] ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$является Хаусдорф . ^[1]

Теорема о слабом представлении

Следующая теорема имеет фундаментальное значение для теории двойственности, поскольку она полностью характеризует непрерывное дуальное пространство ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Теорема о слабом представлении ^[1]  —  Пусть это спаривание над полем. Тогда непрерывное двойственное пространство равно Кроме того, ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

1. Если - непрерывный линейный функционал на , то существует такой , что ; если такое существует, то оно единственно тогда и только тогда, когда различает точки ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Обратите внимание, что различает или нет точки не зависит от конкретного выбора ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y.}$
2. Непрерывное двойственное пространство можно отождествить с факторпространством, где ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle Y/X^{\perp },}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}$
   • Это верно независимо от того, различает точки или различает точки ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Следовательно, непрерывное дуальное пространство есть ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Что касается канонического спаривания, если это TVS, непрерывное двойственное пространство которого разделяет точки (т. е. такое, которое является Хаусдорфовым, что означает, что оно также обязательно является Хаусдорфовым), то непрерывное двойственное пространство равно множеству всех «вычислений в точке точка " отображается как диапазоны (т. е. карта, которая отправляется в ). Обычно это пишут так: « Этот очень важный факт заключается в том, почему результаты для полярных топологий в непрерывных дуальных пространствах, таких как, например, сильная двойственная топология , также часто могут быть применены к исходному TVS ; например, отождествление с означает, что топологию on можно вместо этого рассматривать как топологию on. Кроме того, если оно наделено более тонкой топологией, чем тогда, непрерывное двойственное пространство обязательно будет содержать как подмножество. Так, например, когда он наделен сильной дуальной топологией (и поэтому обозначается ), то который (среди прочего) позволяет наделить его топологией подпространства, индуцированной на нем, скажем, сильной дуальной топологией (эта топология также называется сильной бидуальной топологией и появляется в теории рефлексивных пространств : хаусдорфова локально выпуклая ТВС называется полурефлексивной, если и она будет называться рефлексивной, если, кроме того, сильная бидуальная топология на равна исходной/ стартовая топология). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ортогоналы, факторы и подпространства

Если это пара, то для любого подмножества : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$и это множество -замкнуто ; ^[1] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[1]
  • Таким образом, если -замкнутое векторное подпространство тогда ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Если — семейство -замкнутых векторных подпространств тогда ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
• Если является семейством подмножеств, то ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

Если пространство нормированное, то согласно канонической двойственности оно замкнуто по норме и замкнуто по норме в ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle X.}$

Подпространства

Предположим, что это векторное подпространство, и пусть обозначает ограничение на . Слабая топология на идентична топологии подпространства , которая наследуется от ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times Y.}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Кроме того, это парное пространство (где означает ), где определяется формулой ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle Y/M^{\perp }}$ ${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

Топология равна топологии подпространства , которая унаследована от ^[5]. Кроме того, если это двойственная система, то и ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

Коэффициенты

Предположим, что это векторное подпространство. Тогда это парное пространство, где определяется формулой ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$ ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

Топология идентична обычной фактортопологии , индуцированной на ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X/M.}$

Поляры и слабая топология

Если — локально выпуклое пространство и если — подмножество непрерывного двойственного пространства, то -ограничено тогда и только тогда, когда для некоторой бочки из ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

Следующие результаты важны для определения полярных топологий.

Если это пара, то: ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. Поляра является замкнутым подмножеством ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Поляры следующих наборов идентичны: (a) ; (б) выпуклая оболочка ; (в) сбалансированный корпус ; (d) закрытие ; (д) -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
3. Биполярная теорема : биполярное выражение, обозначаемое символом , равно -замыканию выпуклой сбалансированной оболочки ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
   • В частности, биполярная теорема «является незаменимым инструментом в работе с дуальностью». ^[4]
4. ${\displaystyle A}$-ограничен тогда и только тогда, когда поглощает в ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$
5. Если дополнительно различает точки то is - ограничено тогда и только тогда, когда оно -вполне ограничено . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Если - спаривание и локально выпуклая топология , согласующаяся с двойственностью, то подмножество является бочкой тогда и только тогда, когда является полярой некоторого -ограниченного подмножества из ^[6] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Транспонирует

Транспонирует линейное отображение относительно спариваний

Пусть и – спаривания над , и пусть – линейное отображение. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

Для всех пусть отображение определяется. Говорят, что транспонирование или сопряжение корректно определено, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}$ ${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки (или , что то же самое, отображение из в алгебраически двойственное инъективно ) и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$где и . ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$

В этом случае для любого существует (по условию 2) единственное (по условию 1) такое, что ), где этот элемент будет обозначаться через Это определяет линейное отображение ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z).}$ $${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

называется транспонированием или сопряженным относительно и ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ (не следует путать с эрмитовым сопряженным ). Легко видеть, что два упомянутых выше условия (т. е. условие «корректность транспонирования») также необходимы для корректности определения. Для каждого определяющим условием является то, что      для всех ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$ $${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$ $${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$$ ${\displaystyle x\in X.}$

Согласно соглашениям, упомянутым в начале этой статьи, это также определяет транспонирование линейных карт вида ^{[примечание 4] [примечание 5] [примечание 6] [примечание 7]} и т. д. (см. сноску). ${\displaystyle Z\to Y,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$

Свойства транспонирования

Везде и будут спариваниями над и будет линейным отображением, транспонирование которого корректно определено. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$инъективен (т.е. ) тогда и только тогда, когда область значений плотна в ^[1] ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}$
• Если транспонирование не только четко определено, но и четко определено, то ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$
• Предположим, что это спаривание и линейное отображение, транспонирование которого корректно определено. Тогда транспонирование которого четко определено и ${\displaystyle (U,V,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle E:U\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$ ${\displaystyle F\circ E:U\to W,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• Если — изоморфизм векторного пространства, то он биективен, транспонирование которого корректно определено, и ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ ${\displaystyle F^{-1}:W\to X,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• Let и пусть обозначает абсолютную поляру then : ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle A,}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$;
  2. если для некоторых , то ; ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$ ${\displaystyle T\subseteq W,}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. если таково, что тогда ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. если и являются слабозамкнутыми дисками, то тогда и только тогда, когда ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

Эти результаты справедливы, когда вместо абсолютной поляры используется реальная поляра .

Если и — нормированные пространства относительно своих канонических двойственностей и если — непрерывное линейное отображение, то ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$

Слабая непрерывность

Линейное отображение слабо непрерывно (относительно и ), если оно непрерывно. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$

Следующий результат показывает, что существование транспонированного отображения тесно связано со слабой топологией.

Утверждение  .  Предположим, что различает точки и является линейной картой. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F}$слабо непрерывен (т. е. непрерывен); ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$;
3. транспонирование четко определено. ${\displaystyle F}$

Если слабо непрерывно, то ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$является слабонепрерывным, то есть непрерывным; ${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$
• транспонирование четко определено тогда и только тогда, когда различает точки, в этом случае ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$

Слабая топология и каноническая двойственность

Предположим, что это векторное пространство и оно является его алгебраически двойственным. Тогда каждое -ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве и каждое векторное подпространство -замкнуто . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$

Слабая полнота

Если — полное топологическое векторное пространство, говорят, что оно -полное или (если не может возникнуть двусмысленности) слабо-полное . Существуют банаховы пространства , которые не являются слабо полными (несмотря на то, что они полны в своей топологии нормы). ^[1] ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Если — векторное пространство, то согласно канонической двойственности оно полно. ^[1] Обратно, если это хаусдорфова локально выпуклая ТВС с непрерывным двойственным пространством, то она полна тогда и только тогда, когда ; то есть тогда и только тогда, когда карта, определенная путем отправки на карту оценки в (т.е. ), является биекцией. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$

В частности, что касается канонической двойственности, если — векторное подпространство такого, которое разделяет точки, то полно тогда и только тогда, когда сказано иначе, не существует собственного векторного подпространства такого , которое является Хаусдорфовым и полным в слабом -* топология (т.е. топология поточечной сходимости). Следовательно, когда непрерывное двойственное пространство к хаусдорфовой локально выпуклой ТВС наделено слабой топологией , то оно полно тогда и только тогда (т. е. тогда и только тогда, когда каждый линейный функционал на непрерывен). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle Y=X^{\#}.}$ ${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

ИдентификацияДас подпространством алгебраически двойственного

Если различает точки и если обозначает область инъекции, то является векторным подпространством алгебраического дуального пространства и спаривание становится канонически отождествляемым с каноническим спариванием (где – естественное оценочное отображение). В частности, в этой ситуации без ограничения общности будем предполагать, что является векторным подпространством двойственного к ' алгебраическому и является оценочным отображением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$

Соглашение : часто, когда оно инъективно (особенно когда образует двойственную пару), обычно без потери общности предполагают, что это векторное подпространство алгебраического двойственного пространства, которое является естественным отображением оценки, а также обозначают через ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Совершенно аналогичным образом, если различать точки, то можно идентифицировать их как векторное подпространство алгебраического дуального пространства. ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Алгебраический сопряженный

В частном случае, когда двойственности являются каноническими двойственностями и транспонирование линейного отображения всегда четко определено. Это транспонирование называется алгебраическим сопряженным и обозначается ; то есть в этом случае для всех ^{[1] [7]} где определяющим условием является: или, что то же самое, ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ ${\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$ $${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}$$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}$

Если для некоторого целого числа базисом для с двойным базисом является линейный оператор, а матричное представление относительно есть , то транспонирование является матричным представлением относительно ${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}$ ${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$ ${\displaystyle F^{\#}.}$

Слабая преемственность и открытость

Предположим, что и — канонические пары (so и ), являющиеся двойственными системами, и пусть — линейное отображение. Тогда является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1] ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. транспонирование F относительно и четко определено . ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$

Если слабо непрерывен, то будет непрерывным и, кроме того, ^[7] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F}$

Отображение между топологическими пространствами является относительно открытым, если является открытым отображением , где - диапазон ^[1] ${\displaystyle g:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle g.}$

Предположим, что и — двойственные системы, а — слабо непрерывное линейное отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$относительно открыт.
2. Диапазон -закрыт в ; ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

Более того,

• ${\displaystyle F:X\to W}$инъективен (соответственно биективен) тогда и только тогда, когда сюръективен (соответственно биективен); ${\displaystyle {}^{t}F}$
• ${\displaystyle F:X\to W}$сюръективно тогда и только тогда, когда относительно открыто и инъективно. ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$

Транспонирование карты между TVS

Транспонирование отображения между двумя ТВС определяется тогда и только тогда, когда оно слабо непрерывно. ${\displaystyle F}$

Если — линейное отображение между двумя хаусдорфовыми локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, то: ^[1] ${\displaystyle F:X\to Y}$

• Если непрерывен, то он слабо непрерывен, а также непрерывен по Макки и сильно непрерывен. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$
• Если он слабо непрерывен, то он одновременно непрерывен по Макки и сильно непрерывен (определено ниже). ${\displaystyle F}$
• Если слабо непрерывно, то он непрерывен тогда и только тогда, когда отображает равностепенно непрерывные подмножества в равностепенно непрерывные подмножества ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Если и являются нормированными пространствами, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда оно слабо непрерывно, и в этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$
• Если непрерывно, то относительно открыто тогда и только тогда, когда оно слабо относительно открыто (т. е. относительно открыто) и каждое равностепенно непрерывное подмножество является образом некоторых равностепенно непрерывных подмножеств множества. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$
• Если — непрерывное вложение, то является TVS-вложением (или, что то же самое, топологическим вложением ) тогда и только тогда, когда каждое равнонепрерывное подмножество является образом некоторых равнонепрерывных подмножеств ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$

Метризуемость и разделимость

Пусть – локально выпуклое пространство с непрерывным сопряженным пространством и пусть ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}$

1. Если равнонепрерывно или -компактно и таково , что плотно в, то топология подпространства, наследуемая от , идентична топологии подпространства, наследуемой от ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
2. Если сепарабельно и равностепенно непрерывно, то , если оно наделено топологией подпространства, индуцированной , метризуемо . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$
3. Если сепарабельно и метризуемо , то сепарабельно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$
4. Если - нормированное пространство, то оно сепарабельно тогда и только тогда, когда замкнутая единица, называемая непрерывным двойственным пространством, метризуема, если задана топология подпространства, индуцированная ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
5. Если — нормированное пространство, непрерывное двойственное пространство которого сепарабельно (если задана обычная топология нормы), то оно сепарабельно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Полярные топологии и топологии, совместимые с сопряжением

Начиная со слабой топологии, использование полярных наборов дает ряд локально выпуклых топологий. Такие топологии называются полярными топологиями . Слабая топология — это самая слабая топология этого диапазона.

Всюду будет спаривание и будет непустой набор -ограниченных подмножеств ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Полярные топологии

Учитывая набор подмножеств , полярная топология on определяется (и ) или -топология on является уникальной топологией топологического векторного пространства (TVS) on , для которой образует подбазис окрестностей в начале координат. ^[1] Если наделено этой -топологией, то оно обозначается Y . Всякая полярная топология обязательно локально выпукла . ^[1] Когда множество является направленным относительно включения подмножества (т.е. если для всех существует такое, что ), то эта подбазис окрестностей в 0 фактически образует базис окрестностей в 0. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ _{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

В следующей таблице перечислены некоторые из наиболее важных полярных топологий.

Обозначение : Если обозначает полярную топологию, то наделенная этой топологией будет обозначаться или просто (например, для того, чтобы и все обозначали наделенную ). ${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Определения, связанные с полярными топологиями

Непрерывность

Линейное отображение является непрерывным по Макки (относительно и ), если оно непрерывно. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Линейное отображение сильно непрерывно (относительно и ), если оно непрерывно. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$

Ограниченные подмножества

Подмножество слабо ограничено ( соответственно ограничено по Макки , сильно ограничено ), если оно ограничено в (соответственно ограничено в ограничено в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}$ ${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$

Топологии, совместимые с парой

Если является спариванием над и является векторной топологией на, то это топология спаривания и что она совместима (или непротиворечива ) со спариванием, если оно локально выпукло и если непрерывное двойственное пространство ^{[примечание 8]} If различает точки тогда, идентифицируя векторное подпространство алгебраического двойственного к ', определяющее условие становится следующим: ^[1] Некоторые авторы (например, [Trèves 2006] и [Schaefer 1999]) требуют, чтобы топология пары также была Хаусдорфовой, ^{[2] [ 8],} что и должно было бы быть, если бы различались точки (что предполагают эти авторы). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Слабая топология совместима со спариванием (как было показано в теореме о слабом представлении) и фактически является самой слабой такой топологией. Существует самая сильная топология, совместимая с этим парным соединением, и это топология Макки . Если это нормированное пространство, которое не является рефлексивным , то обычная топология нормы на его непрерывном двойственном пространстве несовместима с двойственностью ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}$

Теорема Макки – Аренса

Ниже приводится одна из наиболее важных теорем теории двойственности.

Теорема Макки–Аренса I ^[1]  —  Пусть этобудет такое спаривание, котороеразличает точки,и пустьэто локально выпуклая топология на(не обязательно Хаусдорфе). Тогдасовместимо со спариваниемтогда и только тогда, когдаявляется полярной топологией, определяемой некоторым набором-компактных дисков ,покрывающих ^{[примечание 9]} ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Отсюда следует, что топология Макки , которая напомнит, является полярной топологией, порожденной всеми -компактными дисками в, является сильнейшей локально выпуклой топологией, на которой совместима с спариванием. Локально выпуклое пространство, заданная топология которого идентична топологии Макки, называется пространством Макки. . Следующее следствие приведенной выше теоремы Макки-Аренса также называют теоремой Макки-Аренса. ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b).}$

Теорема Макки–Аренса II ^[1]  —  Пусть будет такое спаривание, которое различает точки, и пусть — локально выпуклая топология на Тогда совместима с спариванием тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}$

Теорема Макки, бочки и замкнутые выпуклые множества

Если - ТВС (над или ), то полупространство представляет собой множество вида для некоторого действительного и некоторого непрерывного действительного линейного функционала на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема . Если  —  локально выпуклое пространство (над или ) и если — непустое замкнутое и выпуклое подмножество, то оно равно пересечению всех замкнутых полупространств, содержащих его. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$

Из приведенной выше теоремы следует, что замкнутое и выпуклое подмножества локально выпуклого пространства полностью зависят от непрерывного дуального пространства. Следовательно, замкнутое и выпуклое подмножества одинаковы в любой топологии, совместимой с двойственностью; то есть, если и существуют какие-либо локально выпуклые топологии с одинаковыми непрерывными дуальными пространствами, то выпуклое подмножество замкнуто в топологии тогда и только тогда, когда оно замкнуто в топологии. Это означает, что -замыкание любого выпуклого подмножества равно его -замыканию и что для любого -замкнутого диска в ^[1] В частности, если - подмножество, то является бочкой в ​​тогда и только тогда, когда это бочка в ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Следующая теорема показывает, что бочки (т.е. замкнутые поглощающие диски ) являются в точности полярами слабо ограниченных подмножеств.

Теорема ^[1]  —  Пусть будет такое спаривание, которое различает точки, и пусть будет топология пары. Тогда подмножество является бочкой тогда и только тогда, когда оно равно поляру некоторого -ограниченного подмножества. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Если — топологическое векторное пространство, то: ^{[1] [10]} ${\displaystyle X}$

1. Замкнутое поглощающее и сбалансированное подмножество поглощает каждое выпуклое компактное подмножество (т.е. существует такое вещественное число , которое содержит это множество). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rB}$
2. Если хаусдорфово и локально выпуклое, то каждая бочка в поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Все это приводит к теореме Макки, которая является одной из центральных теорем теории дуальных систем. Короче говоря, он утверждает, что ограниченные подмножества одинаковы для любых двух хаусдорфовых локально выпуклых топологий, совместимых с одной и той же двойственностью.

Теорема Макки ^{[10] [1]}  —  Предположим, что это локально выпуклое по Хаусдорфу пространство с непрерывным двойственным пространством , и рассмотрим каноническую двойственность. Если существует какая-либо топология на нем, совместимая с двойственностью, то ограниченные подмножества в нем такие же, как и ограниченные подмножества. из ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Пространство конечных последовательностей

Обозначим пространство всех последовательностей скаляров таких, что для всех достаточно больших Пусть и определим билинейное отображение с помощью Тогда ^[1] Более того, подмножество является -ограниченным (соответственно -ограниченным) тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных вещественных чисел числа такие, что для всех и всех индексов (соответственно и ). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}$ ${\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$

Отсюда следует, что существуют слабо ограниченные (т. е. -ограниченные) подмножества, которые не являются сильно ограниченными (т. е. не -ограниченными). ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$

Смотрите также

• Бета-двойственное пространство
• Биортогональная система
• Двойное пространство  - в математике векторное пространство линейных форм.
• Двойная топология
• Дуальность (математика)  - общее понятие и действие в математике.
• Внутренний продукт  – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространствPages displaying short descriptions of redirect targets
• L-полувнутренний продукт  - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Пейринг  – Билинейная карта по математике
• Полярное множество  - подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре).
• Полярная топология  - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Редуктивная двойная пара
• Сильное двойственное пространство  - непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Сильная топология (полярная топология)  - непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология  - математический термин

Примечания

1. Подмножество является полным , если для всех подразумевается . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ $${\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle y=0}$
2. То, что линейно по первой координате, очевидно. Предположим, является скаляром. Тогда это показывает, что оно линейно по второй координате. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}$ ${\displaystyle b}$
3. Слабая топология - это самая слабая топология TVS, позволяющая сделать все карты непрерывными, поскольку диапазоны превышают. Двойное обозначение или просто также может использоваться для обозначения наделенных слабой топологией. Если это не ясно из контекста, следует предположить, что это все в этом случае ее просто называют слабой топологией на (индуцированной ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
4. Если это линейная карта , то транспонирование является корректным тогда и только тогда, когда различаются точки и В этом случае для каждой из них определяющим условием является: ${\displaystyle G:Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}G(x)}$ ${\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}$
5. Если это линейная карта , то транспонирование является корректным тогда и только тогда, когда различаются точки и В этом случае для каждой из них определяющим условием является: ${\displaystyle H:X\to Z}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(w)}$ ${\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}$
6. Если это линейная карта , то транспонирование является корректным тогда и только тогда, когда различаются точки и В этом случае для каждой из них определяющим условием является: ${\displaystyle H:W\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(x)}$ ${\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}$
7. Если это линейная карта , то транспонирование является корректным тогда и только тогда, когда различаются точки и В этом случае для каждой из них определяющим условием является: ${\displaystyle H:Y\to W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(z)}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}$
8. Конечно, существует аналогичное определение топологии как «совместимой в паре», но в этой статье будут рассмотрены только топологии ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$
9. Напомним, что набор подмножеств набора называется покрывающим , если каждая его точка содержится в некотором наборе, принадлежащем коллекции. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Schaefer & Wolff 1999, стр. 122–128.
3. Тревес 2006, с. 195.
4. Schaefer & Wolff 1999, стр. 123–128.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 260–264.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 251–253.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 128–130.
8. Тревес 2006, стр. 368–377.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 200.
10. Trèves 2006, стр. 371–372.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Майкл Рид и Барри Саймон, Методы современной математической физики, Том. 1, Функциональный анализ, Раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN 0-12-585050-6 . 
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шмитт, Лотар М (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана – Банаха». Хьюстон Дж. Математики . 18 : 429–447.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

Внешние ссылки

• Теория двойственности