Метризуемое топологическое векторное пространство

Топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой

В функциональном анализе и смежных областях математики метризуемое (соответственно псевдометризуемое ) топологическое векторное пространство (TVS) — это TVS, топология которого индуцируется метрикой (соответственно псевдометрикой ). LM-пространство — это индуктивный предел последовательности локально выпуклых метризуемых TVS .

Псевдометрия и метрики

Псевдометрика на множестве — это отображение, удовлетворяющее следующим свойствам: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X}$;
2. Симметрия : ; ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. Субаддитивность : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Псевдометрика называется метрикой, если она удовлетворяет:

4. Тождество неразличимых : для всехеслито ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$

Ультрапсевдометрический

Псевдометрия называется ультрапсевдометрической или сильной псевдометрикой, если она удовлетворяет: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

5. Сильное / Ультраметрическое неравенство треугольника : ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство — это пара, состоящая из множества и псевдометрики на , такая, что топология идентична топологии на , индуцированной Мы называем псевдометрическое пространство метрическим пространством (соответственно, ультрапсевдометрическим пространством ), когда является метрикой (соответственно, ультрапсевдометрической). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

Топология, индуцированная псевдометрикой

Если - псевдометрика на множестве, то набор открытых шаров : пробегает и пробегает положительные действительные числа, образует основу для топологии на, которая называется -топологией или псевдометрической топологией на, индуцированной ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Соглашение : Если является псевдометрическим пространством и рассматривается как топологическое пространство , то, если не указано иное, следует предполагать, что наделено топологией, индуцированной ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Псевдометризуемое пространство

Топологическое пространство называется псевдометризуемым (соответственно метризуемым , ультрапсевдометризуемым ), если существует псевдометрика (соответственно метрика, ультрапсевдометрическая) на таком, что она равна топологии, индуцированной ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d.}$

Псевдометрия и значения в топологических группах

Аддитивная топологическая группа — это аддитивная группа, наделенная топологией, называемой групповой топологией , в которой сложение и отрицание становятся непрерывными операторами.

Топология на действительном или комплексном векторном пространстве называется векторной топологией или топологией TVS , если она делает операции сложения векторов и скалярного умножения непрерывными (то есть, если она превращает ее в топологическое векторное пространство ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Каждое топологическое векторное пространство (TVS) является аддитивной коммутативной топологической группой, но не все групповые топологии на являются векторными топологиями. Это происходит потому, что, несмотря на то, что групповая топология на векторном пространстве делает сложение и отрицание непрерывными, она может не сделать скалярное умножение непрерывным. Например, дискретная топология на любом нетривиальном векторном пространстве делает сложение и отрицание непрерывными, но не делает скалярное умножение непрерывным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Псевдометрика, инвариантная к трансляции

Если — аддитивная группа, то мы говорим, что псевдометрика на инвариантна относительно трансляции или просто инвариантна, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. Инвариантность перевода :; ${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Значение/G-полунорма

Если — топологическая группа, то значение или G-полунорма на ( G означает Group) является вещественнозначным отображением со следующими свойствами: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. Неотрицательный : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Субаддитивный : ; ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. Симметричный : ${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

где мы называем G-полунорму G-нормой, если она удовлетворяет дополнительному условию:

5. Всего / Положительно определенно : Если , то ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Свойства значений

Если — значение в векторном пространстве, то: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}$^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$и для всех и положительных целых чисел ^[4] ${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Множество является аддитивной подгруппой ^[3] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Эквивалентность в топологических группах

Теорема ^[2]  —  Предположим, что — аддитивная коммутативная группа. Если — инвариантная к трансляции псевдометрика на , то отображение — это значение на , называемое значением, связанным с , и, более того, порождает топологию группы на (т. е. топология на превращает в топологическую группу). Наоборот, если — это значение на , то отображение — инвариантная к трансляции псевдометрика на , а значение, связанное с , — это просто ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p.}$

Псевдометризуемые топологические группы

Теорема ^[2]  —  Если — аддитивная коммутативная топологическая группа , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle \tau }$индуцируется псевдометрикой; (т.е. является псевдометризуемым); ${\displaystyle (X,\tau )}$
2. ${\displaystyle \tau }$индуцируется псевдометрикой, инвариантной к трансляции;
3. элемент идентичности в имеет счетную соседнюю базу. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Если хаусдорфова, то слово «псевдометрический» в приведенном выше утверждении можно заменить словом «метрический». Коммутативная топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Инвариантная псевдометрика, которая не индуцирует векторную топологию

Пусть будет нетривиальным (т.е. ) вещественным или комплексным векторным пространством и пусть будет инвариантной к трансляции тривиальной метрикой на , определенной и такой, что Топология , которая индуцирует на , является дискретной топологией , которая превращается в коммутативную топологическую группу при сложении, но не образует векторную топологию на , поскольку является несвязной , но каждая векторная топология является связной. Ошибка заключается в том, что скалярное умножение не является непрерывным на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Этот пример показывает, что инвариантной относительно трансляции (псевдо)метрики недостаточно для гарантии векторной топологии, что приводит нас к определению паранорм и F -полунорм.

Аддитивные последовательности

Совокупность подмножеств векторного пространства называется аддитивной ^[5], если для каждого существует такая , что ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Непрерывность сложения в 0  —  Если является группой (как и все векторные пространства), является топологией на и наделено топологией произведения , то отображение сложения (т.е. отображение ) непрерывно в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в является аддитивным. Это утверждение остается верным, если слово «окрестность» заменить на «открытая окрестность». ^[5] ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Все вышеперечисленные условия, следовательно, являются необходимыми для топологии, чтобы сформировать векторную топологию. Аддитивные последовательности множеств обладают особенно приятным свойством, заключающимся в том, что они определяют неотрицательные непрерывные вещественные субаддитивные функции. Эти функции затем могут быть использованы для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств, а также для показа того, что хаусдорфово TVS со счетным базисом окрестностей метризуемо. Следующая теорема верна в более общем случае для коммутативных аддитивных топологических групп .

Теорема  —  Пусть — набор подмножеств векторного пространства такой, что и для всех Для всех пусть ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Определим , если и в противном случае пусть ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Тогда является субаддитивным (имея в виду ) и на так в частности Если все являются симметричными множествами , то и если все сбалансированы, то для всех скаляров таких, что и все Если является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала отсчета, то является непрерывным, где если в дополнение является Хаусдорфовым и образует базис сбалансированных окрестностей начала отсчета в , то является метрикой, определяющей векторную топологию на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Паранормы

Если — векторное пространство над действительными или комплексными числами, то паранорма на — это G-полунорма (определенная выше) на , которая удовлетворяет любому из следующих дополнительных условий, каждое из которых начинается с «для всех последовательностей в и всех сходящихся последовательностей скаляров »: ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. Непрерывность умножения : если — скаляр и таковы, что и тогда ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. Оба условия:
   • если и если таково, что то ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • если тогда для каждого скаляра ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$ ${\displaystyle s.}$
3. Оба условия:
   • если и для некоторого скаляра то ; ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • если тогда ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. Отдельная непрерывность : ^[7]
   • если для некоторого скаляра , то для каждого ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
   • если — скаляр, то . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

Паранорма называется полной , если она дополнительно удовлетворяет:

• Всего / Положительно определенно : подразумевает ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Свойства паранорм

Если — паранорма на векторном пространстве , то отображение, определяемое с помощью, является инвариантной относительно трансляции псевдометрикой на , которая определяет векторную топологию на ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если — паранорма в векторном пространстве, то: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• множество является векторным подпространством ^[8] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$с ^[8] ${\displaystyle p(n)=0.}$
• Если паранорма удовлетворяет и скалярам, ​​то она абсолютно однородна (т.е. имеет место равенство) ^[8] и, таким образом, является полунормой . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Примеры паранорм

• Если — инвариантная относительно трансляции псевдометрика на векторном пространстве , которая индуцирует векторную топологию на (т.е. является TVS), то отображение определяет непрерывную паранорму на ; более того, топология, которую определяет эта паранорма в , есть ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
• Если является паранормой , то также является и отображение ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• Каждое положительное скалярное кратное паранормы (соответственно полной паранормы) снова является такой паранормой (соответственно полной паранормой).
• Каждая полунорма является паранормой. ^[8]
• Ограничение паранормы (соответственно полной паранормы) на векторное подпространство является паранормой (соответственно полной паранормой). ^[9]
• Сумма двух паранорм есть паранорма. ^[8]
• Если и являются паранормами на , то также являются паранормами Более того, и Это превращает множество паранорм на в условно полную решетку . ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$ ${\displaystyle X}$
• Каждое из следующих отображений с действительными значениями является паранормой : ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• Вещественные отображения и не являются паранормами на ^[8] ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$
• Если — базис Гамеля на векторном пространстве , то действительное отображение, которое отправляет (где все, кроме конечного числа скаляров, равны 0) в — это паранорма на , удовлетворяющая для всех и скаляров ^[8] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
• Функция является паранормой на , которая не сбалансирована, но тем не менее эквивалентна обычной норме на Обратите внимание, что функция является субаддитивной. ^[10] ${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• Пусть будет комплексным векторным пространством и пусть обозначает рассматриваемое как векторное пространство над Любая паранорма на также является паранормой на ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

Ф-полунормы

Если — векторное пространство над действительными или комплексными числами, то F -полунорма на ( обозначает Фреше ) — это действительное отображение со следующими четырьмя свойствами: ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Неотрицательный : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Субаддитив : для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$
3. Сбалансированный :длявсех скаляров,удовлетворяющих ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • Это условие гарантирует, что каждый набор вида или для некоторых является сбалансированным набором . ${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$ ${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
4. Для каждого как ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
   • Последовательность можно заменить любой положительной последовательностью, сходящейся к нулю. ^[12] ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$

F - полунорма называется F -нормой , если она дополнительно удовлетворяет:

5. Всего / Положительно определенно : подразумевает ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

F - полунорма называется монотонной , если она удовлетворяет:

6. Монотонный : для всех ненулевых и всех действительных и таких, что ^[12] ${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s<t.}$

Ф-полунормированные пространства

F - полунормированное пространство (соответственно F -нормированное пространство ) ^[12] — это пара, состоящая из векторного пространства и F -полунормы (соответственно F -нормы) на ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Если и являются F -полунормированными пространствами, то отображение называется изометрическим вложением ^[12] , если ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (Z,q)}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Каждое изометрическое вложение одного F- полунормированного пространства в другое является топологическим вложением , но обратное в общем случае неверно. ^[12]

ПримерыФ-полунормы

• Каждое положительное скалярное кратное F -полунормы (соответственно F -нормы, полунормы) снова является F -полунормой (соответственно F -нормой, полунормой).
• Сумма конечного числа F -полунорм (соответственно F -норм) является F -полунормой (соответственно F -нормой).
• Если и являются F -полунормами на , то их поточечная супремум также является таковой. То же самое верно для супремума любого непустого конечного семейства F -полунорм на ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle X.}$
• Ограничение F -полунормы (соответственно F -нормы) на векторное подпространство является F -полунормой (соответственно F -нормой). ^[9]
• Неотрицательная вещественная функция на является полунормой тогда и только тогда, когда она является выпуклой F -полунормой, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда она является выпуклой сбалансированной G -полунормой. ^[10] В частности, каждая полунорма является F -полунормой. ${\displaystyle X}$
• Для любого отображения , определяемого F -нормой , которая не является нормой. ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
• Если — линейное отображение и если — F -полунорма на , то — F -полунорма на ^[12] ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть – комплексное векторное пространство и пусть обозначает рассматриваемое как векторное пространство над Любая F -полунорма на также является F -полунормой на ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

СвойстваФ-полунормы

Каждая F -полунорма является паранормой, а каждая паранорма эквивалентна некоторой F -полунорме. ^[7] Каждая F -полунорма на векторном пространстве является значением на В частности, и для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Топология, индуцированная однимФ-полунорма

Теорема ^[11]  —  Пусть будет F -полунормой на векторном пространстве Тогда отображение, определяемое является инвариантной к сдвигу псевдометрикой на , которая определяет векторную топологию на Если является F -нормой, то является метрикой. Когда наделено этой топологией, то является непрерывным отображением на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Сбалансированные множества как диапазоны над положительными вещественными числами образуют базис соседства в начале координат для этой топологии, состоящей из замкнутых множеств. Аналогично, сбалансированные множества как диапазоны над положительными вещественными числами образуют базис соседства в начале координат для этой топологии, состоящей из открытых множеств. ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}$ ${\displaystyle r}$

Топология, индуцированная семействомФ-полунормы

Предположим, что — непустой набор F -полунорм на векторном пространстве и для любого конечного подмножества и любого пусть ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

Множество образует базу фильтра на , которая также образует базу соседства в начале координат для векторной топологии на , обозначенной как ^[12]. Каждое из них является сбалансированным и поглощающим подмножеством ^[12]. Эти множества удовлетворяют ^[12] ${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$является самой грубой векторной топологией, делающей каждый из них непрерывным. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого числа существует такое , что ^[12] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle p(x)>0.}$
• Если — множество всех непрерывных F -полунорм на , то ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$
• Если — множество всех поточечных верхних граней непустых конечных подмножеств множества , то — направленное семейство F -полунорм и ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$

Комбинация Фреше

Предположим, что — семейство неотрицательных субаддитивных функций на векторном пространстве ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Комбинация Фреше ^[8] определяется как действительное отображение ${\displaystyle p_{\bullet }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}$$

КакФ-полунорма

Предположим, что — возрастающая последовательность полунорм на , и пусть — комбинация Фреше Тогда — F -полунорма на , которая индуцирует ту же локально выпуклую топологию, что и семейство полунорм. ^[13] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$

Так как возрастает, то базис открытых окрестностей начала координат состоит из всех множеств вида , которые охватывают все положительные целые числа и охватывают все положительные действительные числа. ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r>0}$

Трансляционно -инвариантная псевдометрика , индуцированная этой F -полунормой, имеет вид ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

Эта метрика была открыта Фреше в его диссертации 1906 года для пространств действительных и комплексных последовательностей с поточечными операциями. ^[14]

Как паранорма

Если каждый из них является паранормой, то таковым является и, более того, индуцирует ту же топологию на , что и семейство паранорм. ^[8] Это также верно для следующих паранорм на : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^[8]

Обобщение

Комбинацию Фреше можно обобщить, используя ограниченную функцию реметризации.

Аограниченная функция реметризации ^[15]представляет собой непрерывное неотрицательное неубывающее отображение, имеющее ограниченный диапазон, являетсясубаддитивным(что означает, что для всех) и удовлетворяеттогда и только тогда, когда ${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$ ${\displaystyle s,t\geq 0}$ ${\displaystyle R(s)=0}$ ${\displaystyle s=0.}$

Примерами функций ограниченной реметризации являются и ^[15] Если является псевдометрикой (соответственно, метрикой) на и является ограниченной функцией реметризации, то является ограниченной псевдометрикой (соответственно, ограниченной метрикой) на , которая равномерно эквивалентна ^[15] ${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$ ${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\circ d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Предположим, что — семейство неотрицательных F -полунорм на векторном пространстве — ограниченная функция реметризации, а — последовательность положительных действительных чисел, сумма которых конечна. Тогда определяет ограниченную F -полунорму, которая равномерно эквивалентна ^[16] Она обладает тем свойством, что для любой сети в тогда и только тогда, когда для всех ^[16] является F -нормой тогда и только тогда, когда отдельные точки на ^[16] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Характеристика

О (псевдо)метриках, индуцированных (полу)нормами

Псевдометрика (соответственно метрика) индуцируется полунормой (соответственно нормой) на векторном пространстве тогда и только тогда, когда является инвариантным относительно трансляции и абсолютно однородным , что означает, что для всех скаляров и всех в этом случае функция, определяемая как , является полунормой (соответственно нормой), а псевдометрика (соответственно метрика), индуцируемая как , равна ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d.}$

Псевдометризуемых TVS

Если — топологическое векторное пространство (TVS) (где, заметим, в частности, предполагается векторная топология), то следующие условия эквивалентны: ^[11] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle X}$является псевдометризуемым (т.е. векторная топология индуцируется псевдометрикой на ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$имеет счетную базу соседей в начале координат.
3. Топология на индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Топология на индуцируется F -полунормой. ${\displaystyle X}$
5. Топология на индуцируется паранормой. ${\displaystyle X}$

Измеряемых TVS

Если это TVS, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$является метризуемым.
2. ${\displaystyle X}$является хаусдорфовым и псевдометризуемым.
3. ${\displaystyle X}$является хаусдорфовой и имеет счетную базу окрестностей в начале координат. ^{[11] [12]}
4. Топология на индуцируется трансляционно-инвариантной метрикой на ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. Топология на индуцируется F -нормой. ^{[11] [12]} ${\displaystyle X}$
6. Топология на индуцируется монотонной F -нормой. ^[12] ${\displaystyle X}$
7. Топология на индуцируется полной паранормой. ${\displaystyle X}$

Теорема Биркгофа–Какутани  —  Если— топологическое векторное пространство, то следующие три условия эквивалентны: ^{[17] [примечание 1]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Начало координат замкнуто и существует счетная база окрестностей для ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует инвариантная относительно трансляции метрика , которая индуцирует топологию , которая является заданной топологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$

Из теоремы Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , инвариантная относительно трансляции.

Локально выпуклых псевдометризуемых TVS

Если это TVS, то следующие условия эквивалентны: ^[13] ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$локально выпукло и псевдометризуемо.
2. ${\displaystyle X}$имеет счетную базу окрестностей в начале координат, состоящую из выпуклых множеств.
3. Топология индуцируется счетным семейством (непрерывных) полунорм. ${\displaystyle X}$
4. Топология индуцируется счетной возрастающей последовательностью (непрерывных) полунорм (возрастание означает, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. Топология индуцируется F -полунормой вида: где — (непрерывные) полунормы на ^[18] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Коэффициенты

Пусть — векторное подпространство топологического векторного пространства ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

• Если является псевдометризуемым TVS, то также является ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M.}$
• Если — полное псевдометризуемое TVS и — замкнутое векторное подпространство, то является полным. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Если TVS метризуемо и является замкнутым векторным подпространством, то метризуемо. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Если является F -полунормой на , то отображение, определяемое F -полунормой на , индуцирует обычную фактор-топологию на ^[11] Если, кроме того, является F - нормой на , и если является замкнутым векторным подпространством , то является F -нормой на ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры и достаточные условия

• Каждое полунормированное пространство псевдометризуемо с канонической псевдометрикой, заданной для всех ^[19] . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• Если — псевдометрическая TVS с псевдометрикой, инвариантной относительно трансляции , то определяет паранорму. ^[20] Однако, если — псевдометрика, инвариантная относительно трансляции, на векторном пространстве (без условия сложения, то есть псевдометрическая TVS ), то не обязательно должна быть ни F -полунормой ^[21] , ни паранормой. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$
• Если TVS имеет ограниченную окрестность начала отсчета, то она псевдометризуема; обратное утверждение, вообще говоря, неверно. ^[14]
• Если хаусдорфово TVS имеет ограниченную окрестность начала отсчета, то оно метризуемо. ^[14]
• Предположим, что является либо DF-пространством , либо LM-пространством . Если является секвенциальным пространством , то оно либо метризуемо, либо является DF-пространством Монтеля . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если — локально выпуклое по Хаусдорфу TVS, то с сильной топологией , метризуемо тогда и только тогда, когда существует счетное множество ограниченных подмножеств из такое, что каждое ограниченное подмножество из содержится в некотором элементе из ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Сильное двойственное пространство метризуемого локально выпуклого пространства (такого как пространство Фреше ^[23] ) является DF-пространством . ^[24] Сильное двойственное пространство DF-пространства является пространством Фреше . ^[25] Сильное двойственное пространство рефлексивного пространства Фреше является борнологическим пространством . ^[24] Сильное бидуальное пространство (то есть сильное двойственное пространство сильного двойственного пространства) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше . ^[26] Если является метризуемым локально выпуклым пространством, то его сильно двойственное пространство обладает одним из следующих свойств, если и только если оно обладает всеми этими свойствами: (1) борнологическое , (2) инфрабочковое , (3) бочковое . ^[26] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Нормируемость

Топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. Более того, TVS нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и полунормируемо. ^[14] Каждое метризуемое TVS на конечномерном векторном пространстве является нормируемым локально выпуклым полным TVS , будучи TVS-изоморфным евклидову пространству . Следовательно, любое метризуемое TVS, которое не нормируемо, должно быть бесконечномерным.

Если — метризуемое локально выпуклое TVS , обладающее счетной фундаментальной системой ограниченных множеств, то является нормируемым. ^[27] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является нормируемым .
2. ${\displaystyle X}$имеет ограниченную (фон Неймана) окрестность начала координат.
3. сильное двойственное пространство нормируемо . ^[28] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

и если это локально выпуклое пространство также метризуемо, то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle X}$

4. сильное двойственное пространство метризуемо. ^[28] ${\displaystyle X}$
5. сильное сопряженное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . ^[23] ${\displaystyle X}$

В частности, если метризуемое локально выпуклое пространство (такое как пространство Фреше ) не является нормируемым, то его сильно сопряженное пространство не является пространством Фреше–Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство также не является ни метризуемым, ни нормируемым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Другим следствием этого является то, что если является рефлексивным локально выпуклым TVS, сильное сопряжение которого метризуемо, то является обязательно рефлексивным пространством Фреше, является DF-пространством , оба и являются обязательно полными хаусдорфовыми ультраборнологическими выделенными сетчатыми пространствами , и, более того, является нормируемым тогда и только тогда, когда является нормируемым тогда и только тогда, когда является пространством Фреше–Урысона тогда и только тогда, когда является метризуемым. В частности, такое пространство является либо банаховым пространством , либо даже не является пространством Фреше–Урысона. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Метрически ограниченные множества и ограниченные множества

Предположим, что является псевдометрическим пространством и Множество метрически ограничено или -ограничено , если существует действительное число такое, что для всех ; наименьшее из таких чисел называется диаметром или -диаметром ^[14] Если ограничено в псевдометризуемом TVS, то оно метрически ограничено; обратное утверждение в общем случае неверно , но верно для локально выпуклых метризуемых TVS. ^[14] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq R}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Свойства псевдометризуемых TVS

Теорема ^[29]  —  Все бесконечномерные отделимые полные метризуемые TVS гомеоморфны .

• Каждое метризуемое локально выпуклое TVS является квазибочечным пространством , ^[30] борнологическим пространством и пространством Макки .
• Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочкообразным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, не является тощим). ^[31] Однако существуют метризуемые пространства Бэра, которые не являются полными . ^[31]
• Если — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное сопряженное к является борнологическим тогда и только тогда, когда оно является бочкообразным , тогда и только тогда, когда оно является инфрабочечным . ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если — полное псевдометризуемое TVS и — замкнутое векторное подпространство, то является полным. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• Сильный дуал локально выпуклого метризуемого TVS является перепончатым пространством . ^[32]
• Если и являются полными метризуемыми TVS (т. е. F-пространствами ), и если грубее, чем то ; ^[33] это больше не гарантируется, что будет верно, если какое-либо из этих метризуемых TVS не является полным. ^[34] Иными словами, если и являются оба F-пространствами , но с разными топологиями, то ни одно из и не содержит другое как подмножество. Одним из конкретных следствий этого является, например, то, что если является банаховым пространством и является некоторым другим нормированным пространством, чья индуцированная нормой топология тоньше (или, в качестве альтернативы, грубее), чем у (т. е. если или если для некоторой константы ), то единственный способ, которым может быть банахово пространство (т. е. также быть полным) , — это если эти две нормы и эквивалентны ; если они не эквивалентны, то не может быть банаховым пространством. Как еще одно следствие, если — банахово пространство, а — пространство Фреше , то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда пространство Фреше является TVS (здесь банахово пространство рассматривается как TVS, что означает, что его норма « забыта », но его топология запомнена). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =\nu }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p\leq Cq}$ ${\displaystyle q\leq Cp}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
• Метризуемое локально выпуклое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его сильно сопряженное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . ^[23]
• Любое произведение полных метризуемых TVS является пространством Бэра . ^[31]
• Произведение метризуемых TVS метризуемо тогда и только тогда, когда все, кроме счетного числа, из этих TVS имеют размерность ^[35] ${\displaystyle 0.}$
• Произведение псевдометризуемых TVS псевдометризуемо тогда и только тогда, когда все, за исключением счетного числа, эти TVS имеют тривиальную топологию.
• Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочкообразным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, не является тощим). ^[31]
• Размерность полного метризуемого TVS либо конечна, либо несчетна. ^[35]

Полнота

Каждое топологическое векторное пространство (и, в более общем смысле, топологическая группа ) имеет каноническую равномерную структуру , индуцированную его топологией, которая позволяет применять к нему понятия полноты и равномерной непрерывности. Если является метризуемым TVS и является метрикой, которая определяет топологию , то возможно, что является полным как TVS (т. е. относительно его однородности), но метрика не является полной метрикой (такие метрики существуют даже для ). Таким образом, если является TVS, топология которого индуцирована псевдометрикой, то понятие полноты (как TVS) и понятие полноты псевдометрического пространства не всегда эквивалентны. Следующая теорема дает условие, когда они эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Теорема  —  Если является псевдометризуемым TVS, топология которого индуцируется псевдометрикой , инвариантной к трансляции , то является полной псевдометрикой в ​​том и только том случае, если является полным как TVS. ^[36] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^{[37] [38]}  (Кли)  —  Пусть будет любой ^{[примечание 2]} метрикой на векторном пространстве, такой, что топология, индуцированная на , делает топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное TVS. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Теорема  —  Если TVS, топология которого индуцирована паранормой, то является полным тогда и только тогда, когда для любой последовательности из , то сходится в ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Если — замкнутое векторное подпространство полного псевдометризуемого TVS , то фактор-пространство полно. ^[40] Если — полное векторное подпространство метризуемого TVS , и если фактор-пространство полно, то оно полно. ^[40] Если — не полно, то, но не полно, векторное подпространство ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическая группа , отделимая по Бэру , метризуема тогда и только тогда, когда она космична. ^[23]

Подмножества и подпоследовательности

• Пусть — сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство и пусть — его пополнение. Если — ограниченное подмножество , то существует ограниченное подмножество , такое что ^[41] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• Каждое вполне ограниченное подмножество локально выпуклого метризуемого TVS содержится в замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке некоторой последовательности , которая сходится к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0.}$
• В псевдометризуемом TVS каждый родолюбивый является окрестностью начала координат. ^[42]
• Если — инвариантная относительно трансляции метрика на векторном пространстве , то для всех и каждого положительного целого числа ^[43] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Если — нулевая последовательность (то есть она сходится к началу координат) в метризуемом TVS, то существует последовательность положительных действительных чисел, расходящаяся к такой, что ^[43] ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• Подмножество полного метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. Если пространство неполно, то замкнутое подмножество , которое неполно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то для любого ограниченного подмножества из существует ограниченный диск в такой, что и оба , и вспомогательное нормированное пространство индуцируют одну и ту же топологию подпространства на ^[44] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

Теорема Банаха-Сакса ^[45]  —  Если— последовательность в локально выпуклом метризуемом TVS , которая слабо сходитсяк некоторому, то существует последовательностьвтакая, чтови каждая из нихявляется выпуклой комбинацией конечного числа ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Условие счетности Макки ^[14]  —  Предположим, что — локально выпуклое метризуемое TVS, а — счетная последовательность ограниченных подмножеств Тогда существует ограниченное подмножество и последовательность положительных действительных чисел, такие, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i.}$

Обобщенный ряд

Как описано в разделе этой статьи об обобщенных рядах , для любого -индексированного семейства векторов из TVS можно определить их сумму как предел сети конечных частичных сумм , где область направлена ​​по Если и например, то обобщенный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится безусловно в обычном смысле (что для действительных чисел эквивалентно абсолютной сходимости ) . Если обобщенный ряд сходится в метризуемом TVS, то множество обязательно счетно (то есть либо конечно, либо счетно бесконечно ); ^{[доказательство 1]} другими словами, все, кроме не более счетного множества, будут нулевыми, и поэтому этот обобщенный ряд на самом деле является суммой не более счетного множества ненулевых членов. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

Линейные карты

Если является псевдометризуемым TVS и отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества , то является непрерывным. ^[14] Разрывные линейные функционалы существуют на любых бесконечномерных псевдометризуемых TVS. ^[46] Таким образом, псевдометризуемое TVS является конечномерным тогда и только тогда, когда его непрерывное сопряженное пространство равно его алгебраическому сопряженному пространству . ^[46] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$

Если — линейное отображение между TVS и оно метризуемо, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$является непрерывным;
2. ${\displaystyle F}$является (локально) ограниченным отображением (то есть отображает (по фон Нейману) ограниченные подмножества в ограниченные подмножества ); ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$последовательно непрерывен ; [ ^12]
4. изображение под любой нулевой последовательности в является ограниченным множеством ^[12], где по определению нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$отображает нулевые последовательности в нулевые последовательности;

Открытые и почти открытые карты

Теорема : Если — полное псевдометризуемое TVS, — хаусдорфово TVS, — замкнутая и почти открытая линейная сюръекция, то — открытое отображение. ^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Если — сюръективный линейный оператор из локально выпуклого пространства на бочкообразное пространство (например, каждое полное псевдометризуемое пространство является бочкообразным), то является почти открытым . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Если — сюръективный линейный оператор из TVS в пространство Бэра, то является почти открытым. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Предположим, что — непрерывный линейный оператор из полного псевдометризуемого TVS в хаусдорфово TVS. Если образ не является тощим в, то — сюръективное открытое отображение и — полное метризуемое пространство. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Свойство расширения Хана-Банаха

Вектор подпространства TVS обладает свойством расширения , если любой непрерывный линейный функционал на может быть расширен до непрерывного линейного функционала на ^[22]. Говорят, что TVS обладает свойством расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство на обладает свойством расширения. ^[22] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое локально выпуклое пространство Хаусдорфа имеет HBEP. Для полных метризуемых TVS существует обратное:

Теорема  (Калтон)  —  Каждое полное метризуемое TVS со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукло. ^[22]

Если векторное пространство имеет несчетную размерность и если мы наделяем его тончайшей векторной топологией , то это TVS с HBEP, которая не является ни локально выпуклой, ни метризуемой. ^[22] ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  – Обобщение понятия нормы
• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• Эквивалентность метрик  — в математике две метрики на одном и том же базовом множестве называются эквивалентными, если полученные метрические пространства обладают определенными свойствами.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• F-пространство  – топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой
• Пространство Фреше  – локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Обобщенная метрика  – Метрическая геометрия
• K-пространство (функциональный анализ)
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Метрическое пространство  – математическое пространство с понятием расстояния.
• Псевдометрическое пространство  – Обобщение метрических пространств в математике
• Соотношение норм и метрик  – Математическое пространство с понятием расстоянияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Полунорма  – Математическая функция
• Сублинейная функция  – Тип функции в линейной алгебре
• Равномерное пространство  – топологическое пространство с понятием равномерных свойств.
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Примечания

1. На самом деле это верно для топологической группы, поскольку доказательство не использует скалярные умножения.
2. Не предполагается, что он инвариантен к трансляции.

Доказательства

1. Предположим, что сеть сходится к некоторой точке в метризуемом TVS , где напомним, что областью определения этой сети является направленное множество Как и любая сходящаяся сеть, эта сходящаяся сеть частичных сумм является сетью Коши , что для этой конкретной сети означает (по определению), что для каждой окрестности начала в существует конечное подмножество из такое, что для всех конечных надмножеств это подразумевает, что для каждого (взяв и ). Поскольку является метризуемой, она имеет счетный базис окрестностей в начале, пересечение которого обязательно (так как является хаусдорфовым TVS). Для каждого положительного целого числа выберите конечное подмножество такое, что для каждого Если принадлежит то принадлежит Таким образом, для каждого индекса , который не принадлежит счетному множеству ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (\operatorname {FiniteSubsets} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1–18.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 37–40.
3. Swartz 1992, стр. 15.
4. Вилански 2013, стр. 17.
5. Wilansky 2013, стр. 40–47.
6. Вилански 2013, стр. 15.
7. Schechter 1996, стр. 689–691.
8. Wilansky 2013, стр. 15–18.
9. Шехтер 1996, стр. 692.
10. Шехтер 1996, стр. 691.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 91–95.
12. Jarchow 1981, стр. 38–42.
13. Narici & Beckenstein 2011, стр. 123.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
15. Шехтер 1996, стр. 487.
16. Шехтер 1996, стр. 692–693.
17. Кёте 1983, раздел 15.11
18. Шехтер 1996, стр. 706.
19. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
20. Вилански 2013, стр. 15–16.
21. Шефер и Вольф 1999, стр. 91–92.
22. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
23. Габриелян, СС "О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями" (2014)
24. Schaefer & Wolff 1999, стр. 154.
25. Шефер и Вольф 1999, стр. 196.
26. Шефер и Вольф 1999, стр. 153.
27. Шефер и Вольф 1999, стр. 68–72.
28. Trèves 2006, стр. 201.
29. Вилански 2013, стр. 57.
30. Ярхов 1981, стр. 222.
31. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 371–423.
32. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 459–483.
33. Кёте 1969, стр. 168.
34. Вилански 2013, стр. 59.
35. Schaefer & Wolff 1999, стр. 12–35.
36. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–50.
37. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
38. Клее, В. Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
39. Вилански 2013, стр. 56–57.
40. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
41. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
42. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 172–173.
43. Rudin 1991, стр. 22.
44. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
45. Рудин 1991, стр. 67.
46. Narici & Beckenstein 2011, стр. 125.
47. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 466–468.

Библиография

• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.