Непрерывный линейный оператор

В функциональном анализе и смежных областях математики непрерывный линейный оператор или непрерывное линейное отображение представляет собой непрерывное линейное преобразование между топологическими векторными пространствами .

Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором.

Непрерывные линейные операторы

Характеристики непрерывности

Предположим, что это линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (ТВП). Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle F}$является непрерывным в какой-то момент ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$непрерывен в начале координат в ${\displaystyle X.}$

Если локально выпукло , то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle Y}$

4. для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

Если и оба являются хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами, то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$является слабо непрерывным и его транспонирование отображает равнонепрерывные подмножества в равностепенно непрерывные подмножества ${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Если — секвенциальное пространство (например, псевдометризуемое пространство ), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения.

Если оно псевдометризуемо или метризуемо (например, нормированное или банахово пространство ), то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$является ограниченным линейным оператором (то есть он отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества ). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Если это полунормируемое пространство (например, нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$отображает некоторую окрестность 0 в ограниченное подмножество из ^[3] ${\displaystyle Y.}$

Если и являются нормированными или полунормированными пространствами (обе полунормы обозначены ), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. для каждого существует такое , что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

Если и являются хаусдорфовыми локально-выпуклыми пространствами с конечномерностью, то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

10. график замкнут в ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Непрерывность и ограниченность

Везде это линейное отображение топологических векторных пространств (ТВП). ${\displaystyle F:X\to Y}$

Ограниченное подмножество

Понятие «ограниченного множества» для топологического векторного пространства — это понятие ограниченного множества фон Неймана . Если пространство также является нормированным пространством (или полунормированным пространством ), то подмножество является ограниченным по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме , а это означает, что подмножество нормированного (или полунормированного) пространства называется ограниченным, если оно ограничен по норме (или, что то же самое, ограничен по фон Нейману). Например, скалярное поле ( или ) с абсолютным значением является нормированным пространством, поэтому подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно, что происходит тогда и только тогда, когда содержится в некотором открытом (или закрытом) шаре с центром в начале координат. (нуль). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$ ${\displaystyle S}$

Любой перевод, скалярное кратное и подмножество ограниченного множества снова ограничены.

Функция, ограниченная на множестве

Если это множество, то говорят, что оно ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ограниченное ${\displaystyle S}$ if— этоограниченное подмножество, вкотором ifявляется нормированным (или полунормированным) пространством, тогда и только тогда, когда линейное отображениеограничено на множестветогда и только тогда, когда оно ограниченодля каждого(посколькуи любой сдвиг ограниченного множества снова ограничен) тогда и только тогда, когда он ограничендля каждого ненулевого скаляра(потому чтои любой скаляр, кратный ограниченному множеству, снова ограничен). Следовательно, если— нормированное или полунормированное пространство, то линейное отображениеограничено на некотором (т. е. на каждом) невырожденном открытом или замкнутом шаре (не обязательно с центром в начале координат и любого радиуса) тогда и только тогда, когда оно ограничен замкнутым единичным шаром с центром в начале координат ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$ ${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

Ограниченные линейные карты

По определению линейное отображение между TVS называется ограниченным и называется ${\displaystyle F:X\to Y}$ограниченный линейный оператор , если для любого(фон Неймана) ограниченного подмножества его области определенияявляется ограниченным подмножеством этой кодоменса; или, говоря более кратко, если оно ограничено на каждом ограниченном подмножестве своей области определения. Если областьпредставляет собой нормированное (или полунормированное) пространство, то достаточно проверить это условие для открытого или закрытого единичного шара с центром в начале координат. Явно, еслиобозначает этот шар, тоон является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когдаявляется ограниченным подмножествомifтакже (полу)нормированного пространства, тогда это происходит тогда и только тогда, когданорма оператораконечна. Всякийсеквенциально непрерывныйлинейный оператор ограничен.^[5] ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

Функция, ограниченная в окрестности, и локальная ограниченность

Напротив, говорят, что карта ${\displaystyle F:X\to Y}$ограничена окрестностью точкиили ${\displaystyle x\in X}$локально ограничена в, если существуетокрестностьэтой точки втакой, чтоявляетсяограниченнымподмножеством . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y.}$ограничено в окрестности "(некоторой точки), если существуетнекотораяточкав его области определения, в которой оно локально ограничено, и в этом случае это линейное отображениеобязательно локально ограничено вкаждойточке своей области определения. Термин " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$«локально ограниченный » иногда используется для обозначения карты, которая локально ограничена в каждой точке ее области определения, но некоторые авторы функционального анализа вместо этого определяют «локально ограниченный» как синоним «ограниченного линейного оператора», которые связаны, нонеэквивалентны. По этой причине в этой статье будет избегаться термин «локально ограниченный» и вместо этого будет говориться «локально ограниченный в каждой точке» (нет разногласий по поводу определения «локально ограниченногов точке»).

Ограниченность в окрестности подразумевает непрерывность, подразумевает ограниченность

Линейное отображение «ограничено в окрестности» (некоторой точки) тогда и только тогда, когда оно локально ограничено в каждой точке своей области определения, и в этом случае оно обязательно непрерывно ^[2] (даже если его область определения не является нормированным пространством). ) и, следовательно, также ограниченный (поскольку непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором ). ^[6]

Для любой линейной карты, если она ограничена в окрестности, то она непрерывна, ^{[2] [7]} , а если она непрерывна, то она ограничена . ^[6] Обратные утверждения в общем случае неверны, но они оба верны, когда областью определения линейного отображения является нормированное пространство . Примеры и дополнительная информация приведены ниже.

Непрерывный и ограниченный, но не ограниченный в окрестности

Следующий пример показывает, что линейное отображение может быть непрерывным (и, следовательно, ограниченным), но не ограниченным ни в одной окрестности. В частности, это демонстрирует, что «ограниченность окрестностью» не всегда является синонимом « ограниченности ».

Пример : непрерывное и ограниченное линейное отображение, которое не ограничено ни в одной окрестности : еслиэто тождественное отображение в некотором локально выпуклом топологическом векторном пространстве , то это линейное отображение всегда непрерывно (действительно, даже TVS-изоморфизм ) и ограничено , ноограничено. на окрестности тогда и только тогда, когда существует ограниченная окрестность начала координат, вкоторой эквивалентно полунормируемому пространству (которое, еслиявляется хаусдорфовым пространством, то же самое, что быть нормируемым пространством ). Это показывает, что линейное отображение может быть непрерывным, но не ограниченным в какой-либо окрестности. Действительно, этот пример показывает, что всякое локально выпуклое пространство , не являющееся полунормируемым, имеет линейный TVS- автоморфизм , не ограниченный ни в одной окрестности любой точки. Таким образом, хотя всякое линейное отображение, ограниченное в некоторой окрестности, обязательно непрерывно, обратное, вообще говоря, не гарантируется. ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Гарантия общения

Подводя итог нижеприведенному обсуждению, можно сказать, что для линейного отображения в нормированном (или полунормированном) пространстве непрерывность, ограниченность и ограниченность в окрестности эквивалентны . Линейное отображение, область или ко-область которого нормируемы (или полунормируемы), непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в некоторой окрестности. А ограниченный линейный оператор со значением в локально-выпуклом пространстве будет непрерывным, если его область определения (псевдо)метризуема ^[2] или борнологична . ^[6]

Гарантия того, что «непрерывный» подразумевает «ограниченный окрестностью»

TVS называется локально ограниченным, если существует окрестность, которая также является ограниченным множеством . ^[8] Например, каждое нормированное или полунормированное пространство является локально ограниченным TVS, поскольку единичный шар с центром в начале координат является ограниченной окрестностью начала координат. Если — ограниченная окрестность начала координат в (локально ограниченном) TVS, то его образ при любом непрерывном линейном отображении будет ограниченным множеством (поэтому это отображение, таким образом, ограничено в этой окрестности ). Следовательно, линейное отображение локально ограниченной ТВС в любую другую ТВС непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в некоторой окрестности. Более того, любой TVS с этим свойством должен быть локально ограниченным TVS. Явно, если это TVS такое, что каждое непрерывное линейное отображение (в любое TVS), область определения которого обязательно ограничено в окрестности, то должно быть локально ограниченным TVS (поскольку тождественная функция всегда является непрерывным линейным отображением). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

Любое линейное отображение ТВС в локально ограниченное ТВС (например, любой линейный функционал) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в окрестности. ^[8] И наоборот, если TVS такая, что каждое непрерывное линейное отображение (из любой TVS) с кодовой областью обязательно ограничено в окрестности, то оно должно быть локально ограниченным TVS. ^[8] В частности, линейный функционал на произвольной TVS непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности. ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Таким образом, если область определения или ко-область линейного отображения нормируема или полунормируема, то непрерывность будет эквивалентна ограниченности в окрестности.

Гарантия того, что «ограниченное» подразумевает «непрерывное»

Непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором . ^[6] Но важно то, что в наиболее общей ситуации линейного оператора между произвольными топологическими векторными пространствами линейный оператор может быть ограниченным , но не быть непрерывным.

Линейное отображение, область которого псевдометризуема (например, любое нормированное пространство ), ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно. ^[2] То же самое верно и для линейного отображения борнологического пространства в локально выпуклое пространство . ^[6]

Гарантия того, что «ограниченный» подразумевает «ограниченный окрестностью»

В общем, без дополнительной информации о линейной карте, ее области или кодомене «ограниченность» карты не эквивалентна тому, что она «ограничена в окрестности». Если — ограниченный линейный оператор из нормированного пространства в некоторую TVS, то он обязательно непрерывен; это связано с тем, что любой открытый шар с центром в начале координат в является одновременно ограниченным подмножеством (что означает, что оно ограничено, поскольку является ограниченным линейным отображением) и окрестностью начала координат в, так что оно, таким образом, ограничено в этой окрестности начала координат, что ( как упоминалось выше) гарантирует непрерывность. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Непрерывные линейные функционалы

Каждый линейный функционал в топологическом векторном пространстве (TVS) является линейным оператором, поэтому к нему применимы все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов. Однако из-за их специализированного характера мы можем сказать о непрерывных линейных функционалах даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.

Характеристика непрерывных линейных функционалов

Пусть — топологическое векторное пространство (TVS) над полем ( не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое ) и пусть — линейный функционал на. Следующие условия эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle f}$равномерно непрерывен на ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$является непрерывным в некоторой точке ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$непрерывен в начале координат.
   • По определению называется непрерывным в начале координат, если для каждого открытого (или замкнутого) шара радиуса с центром в кодобласти существует некоторая окрестность начала координат в такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • Если — замкнутый шар, то условие выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • Важно, чтобы в этой супремумной характеристике был замкнутый шар . Если предположить, что вместо этого это открытый шар, то это достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы быть истинным (рассмотрим, например, когда тождественная карта на и ), тогда как нестрогое неравенство вместо этого является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы быть истинным. true (рассмотрим, например, и закрытую окрестность ). Это одна из нескольких причин, почему многие определения, включающие линейные функционалы, такие как, например, полярные множества , включают закрытые (а не открытые) окрестности и нестрогие (а не строгие ) неравенства. ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ ${\displaystyle U=B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$ограничено в окрестности (некоторой точки). Иными словами, является локально ограниченной в некоторой точке своей области. ${\displaystyle f}$
   • Явно это означает, что существует некоторая окрестность некоторой точки , такая, что является ограниченным подмножеством из ^[2] , т. е. такая, что Эта верхняя грань по окрестности равна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ;}$ ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0.}$
   • Важно отметить, что линейный функционал, «ограниченный в окрестности», в общем случае не эквивалентен тому, чтобы быть « ограниченным линейным функционалом », поскольку (как описано выше) линейное отображение может быть ограниченным , но не непрерывным. Однако непрерывность и ограниченность эквивалентны, если область представляет собой нормированное или полунормированное пространство ; то есть для линейного функционала в нормированном пространстве быть «ограниченным» эквивалентно «ограниченности в окрестности».
6. ${\displaystyle f}$ограничено в окрестности начала координат. Другими словами, является локально ограниченным в начале координат. ${\displaystyle f}$
   • Равенство справедливо для всех скаляров и когда тогда будет окрестность начала координат. Так, в частности, если это положительное действительное число, то для каждого положительного действительного числа множество является окрестностью начала координат, и использование доказывает следующее утверждение, когда ${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle sU}$ ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$ ${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle R\neq 0.}$
7. Существует такая окрестность начала координат, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда для каждого вещественного числа , которое показывает, что положительные скалярные кратные этой единственной окрестности удовлетворяют определению непрерывности в начале координат , данному в (4) выше. ${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle \{rU:r>0\}}$ ${\displaystyle U}$
   • По определению набора , который называется (абсолютной) полярой, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда полярные множества, а значит, и это конкретное неравенство, играют важную роль в теории двойственности . ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$является локально ограниченной в каждой точке своей области определения.
9. Ядро замкнуто в ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
10. Либо , либо ядро ​​неплотно в ^[2] ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
11. Существует непрерывная полунорма на такой, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • В частности, непрерывна тогда и только тогда, когда полунорма непрерывна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=|f|}$
12. График замкнут. ^[9] ${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$непрерывен, где обозначает действительную часть ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f.}$

Если и являются комплексными векторными пространствами, то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

14. Мнимая часть непрерывна . ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f}$

Если домен представляет собой последовательное пространство , этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения. ^[2]

Если область метризуема или псевдометризуема (например, пространство Фреше или нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$является ограниченным линейным оператором (то есть он отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своей кодомена). ^[2]

Если область определения является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS ) и является локально выпуклой , то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$— ограниченный линейный оператор . ^[2]
18. ${\displaystyle f}$секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения. ^[10]
19. ${\displaystyle f}$секвенциально непрерывна в начале координат.

и если, кроме того, это векторное пространство над действительными числами (что, в частности, подразумевает, что оно действительное), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

20. Существует непрерывная полунорма на такой, что ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$
21. Для некоторых реально полупространство закрыто. ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. Для любого вещественного полупространства замкнуто. ^[11] ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

Если комплексно, то либо все три из и непрерывны ( соответственно ограничены ) , либо все три разрывны (соответственно неограничены). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

Примеры

Любое линейное отображение, областью действия которого является конечномерное топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS), является непрерывным. Это неверно, если конечномерная ТВС не является хаусдорфовой.

Каждое (постоянное) отображение между TVS, тождественно равное нулю, является линейным отображением, непрерывным, ограниченным и ограниченным в окрестности начала координат. В частности, каждая TVS имеет непустое непрерывное дуальное пространство (хотя отображение постоянного нуля может быть ее единственным непрерывным линейным функционалом). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Пусть есть любая хаусдорфова ТВС. Тогда каждый линейный функционал на обязательно непрерывен тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство замкнуто. ^[12] Каждый линейный функционал на обязательно является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство нормируется тогда и только тогда , когда каждый ограниченный линейный функционал на нем непрерывен.

Непрерывный линейный оператор отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

Доказательство использует тот факт, что перевод открытого множества в линейное топологическое пространство снова является открытым множеством, а также равенство любого подмножества и любого , истинное из- за аддитивности $${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F.}$

Свойства непрерывных линейных функционалов

Если — комплексное нормированное пространство и линейный функционал на то ^[14] (где, в частности, одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

Каждый нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS является открытым отображением . ^[1] If — линейный функционал в вещественном векторном пространстве и if — полунорма в тогда и только тогда, когда ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Если является линейным функционалом и является непустым подмножеством, то, определив множества, супремум можно записать более кратко, так как, если является скаляром, то так, что если является действительным числом и представляет собой замкнутый шар радиуса с центром в начале координат. то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ ${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$ ${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$ $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор  - Линейное преобразование между топологическими векторными пространствамиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Компактный оператор  - Тип непрерывного линейного оператора
• Непрерывное линейное расширение  - Математический метод функционального анализа
• Сжатие (теория операторов)  - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Наилучшая локально выпуклая топология  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейные функционалы  - линейное отображение векторного пространства в его поле скаляров.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал  – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Неограниченный оператор  - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
3. Вилански 2013, с. 54.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 476.
5. Виланский 2013, стр. 47–50.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
7. Виланский 2013, стр. 54–55.
8. Wilansky 2013, стр. 53–55.
9. Вилански 2013, с. 63.
10. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 451–457.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
12. Вилански 2013, с. 55.
13. Вилански 2013, с. 50.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 128.

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чальджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (январь 1991 г.). Функциональный анализ . МакГроу-Хилл Наука/инженерия/математика. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.