В математике двойственность переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры в однозначный способ , часто (но не всегда) посредством операции инволюции : если двойственное к A есть B , то двойственное к B есть A. В других случаях двойственное к двойственному — двойной двойственный или бидуальный — не обязательно идентично исходному (также называемому первичным ). Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственное к A есть само A. Например, теорема Дезарга самодвойственна в этом смысле при стандартной двойственности в проективной геометрии .
В математическом контексте дуальность имеет множество значений. [1] Она была описана как «весьма распространенная и важная концепция в (современной) математике» [2] и «важная общая тема, которая имеет проявления почти в каждой области математики». [3]
Многие математические дуальности между объектами двух типов соответствуют спариванию , билинейным функциям от объекта одного типа и другого объекта второго типа к некоторому семейству скаляров. Например, дуальность линейной алгебры соответствует таким образом билинейным отображениям от пар векторных пространств к скалярам, дуальность между распределениями и связанными тестовыми функциями соответствует спариванию, в котором интегрируется распределение по тестовой функции, а дуальность Пуанкаре соответствует аналогично числу пересечения , рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями данного многообразия. [4]
С точки зрения теории категорий , двойственность также может рассматриваться как функтор , по крайней мере в области векторных пространств. Этот функтор назначает каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция пулбэка назначает каждой стрелке f : V → W ее двойственное f ∗ : W ∗ → V ∗ .
По словам Майкла Атьи ,
Двойственность в математике – это не теорема, а «принцип». [5]
Следующий список примеров демонстрирует общие черты многих дуальностей, но также указывает на то, что точное значение дуальности может варьироваться от случая к случаю.
Простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного множества S. Для любого подмножества A ⊆ S дополнение A ∁ [6] состоит из всех тех элементов в S, которые не содержатся в A. Это снова подмножество S. Взятие дополнения имеет следующие свойства:
Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытыми и замкнутыми подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U из X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. Из-за этого многие теоремы о замкнутых множествах являются двойственными теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно, любое пересечение замкнутых множеств замкнуто. [ 7] Внутренность множества — это наибольшее открытое множество, содержащееся в нем, а замыкание множества — это наименьшее замкнутое множество, которое его содержит. Из-за двойственности дополнение внутренности любого множества U равно замыканию дополнения U .
Двойственность в геометрии обеспечивается конструкцией двойного конуса . При наличии набора точек на плоскости (или, в более общем смысле, точек в ), двойственный конус определяется как набор, состоящий из тех точек, которые удовлетворяют для всех точек в , как показано на диаграмме. В отличие от дополнения наборов, упомянутых выше, в общем случае неверно, что применение конструкции двойного конуса дважды возвращает исходный набор . Вместо этого, является наименьшим конусом [8], содержащим , который может быть больше . Поэтому эта двойственность слабее, чем та, что указана выше, в том, что
Два других свойства остаются без изменений:
Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре , когда любому векторному пространству V сопоставляется его двойственное векторное пространство V * . Его элементами являются линейные функционалы , где K — поле , над которым определено V. Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств векторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть:
Особенностью этой дуальности является то, что V и V * изоморфны для определенных объектов, а именно конечномерных векторных пространств. Однако это в некотором смысле удачное совпадение, поскольку для задания такого изоморфизма требуется определенный выбор, например, выбор базиса V . Это также верно в случае, если V является гильбертовым пространством , через теорему о представлении Рисса .
Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойственность объекта имеет тот же вид, что и сам объект. Например, двойственность векторного пространства снова является векторным пространством. Многие утверждения двойственности не имеют такого вида. Вместо этого такие двойственности раскрывают тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Один пример такой более общей двойственности взят из теории Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. е. F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal( K / F ) . Обратно, для любой такой подгруппы H ⊆ G существует фиксированное поле K H , состоящее из элементов, фиксированных элементами в H .
По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:
При наличии частично упорядоченного множества P = ( X , ≤) (сокращение от частично упорядоченного множества; т. е. множества, имеющего понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть размещены в порядке относительно друг друга), двойственное частично упорядоченное множество P d = ( X , ≥) содержит то же самое базовое множество, но обратное отношение . Известные примеры двойственных частичных порядков включают
Преобразование дуальности — это инволютивный антиавтоморфизм f частично упорядоченного множества S , то есть инволюция , обращающая порядок f : S → S . [9] [10] В нескольких важных случаях эти простые свойства определяют преобразование однозначно с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f 1 , f 2 — два преобразования дуальности, то их композиция является автоморфизмом порядка S ; таким образом, любые два преобразования дуальности отличаются только автоморфизмом порядка. Например, все автоморфизмы порядка множества мощности S = 2 R индуцируются перестановками R .
Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать дуальному понятию на дуальном частично упорядоченном множестве P d . Например, минимальный элемент P будет максимальным элементом P d : минимальность и максимальность являются дуальными понятиями в теории порядка. Другие пары дуальных понятий — это верхние и нижние границы , нижние множества и верхние множества , а также идеалы и фильтры .
В топологии открытые множества и замкнутые множества являются дуальными понятиями: дополнение открытого множества замкнуто, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополнительных к независимым множествам данного матроида, сами образуют другой матроид, называемый дуальным матроидом .
Существует множество различных, но взаимосвязанных дуальностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с обратным расположением измерений характеристик объектов. Классическим примером этого является дуальность Платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют дуальную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют дуальную пару, а тетраэдр является самодуальным. Дуальный многогранник любого из этих многогранников может быть образован как выпуклая оболочка центральных точек каждой грани первичного многогранника, так что вершины дуального соответствуют один к одному граням первичного. Аналогично, каждое ребро дуального соответствует ребру первичного, а каждая грань дуального соответствует вершине первичного. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части первичного многогранника касаются друг друга, то же самое делают и соответствующие две части двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного возвратно-поступательного движения , любой выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику с i -мерным элементом n -мерного многогранника, соответствующим ( n − i − 1) -мерному элементу двойственного многогранника. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том факте, что решетки граней первичного и двойственного многогранников или многогранников сами являются двойственными с точки зрения теории порядка. Двойственность многогранников и двойственность с точки зрения теории порядка являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника любого многогранника является исходным многогранником, и обращение всех отношений порядка дважды возвращает к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным дуальным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.
Из любого трехмерного многогранника можно сформировать планарный граф , граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф , граф с одной вершиной для каждой грани многогранника и с одним ребром для каждых двух смежных граней. Та же концепция двойственности планарного графа может быть обобщена на графы, которые нарисованы на плоскости, но которые не происходят от трехмерного многогранника, или, в более общем смысле, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одну вершину в каждую область, ограниченную циклом ребер во вложении, и нарисовав ребро, соединяющее любые две области, которые имеют общее граничное ребро. Важный пример этого типа происходит из вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного множества S точек на плоскости между триангуляцией Делоне S и диаграммой Вороного S . Как и в случае с дуальными многогранниками и дуальными многогранниками, дуальность графов на поверхностях является инволюцией, обращающей размерность: каждая вершина в первичном вложенном графе соответствует области дуального вложения, каждое ребро в первичном пересекается ребром в дуальном, и каждая область первичного соответствует вершине дуального. Дуальный граф зависит от того, как вложен первичный граф: различные планарные вложения одного графа могут приводить к различным дуальным графам. Двойственность матроида является алгебраическим расширением дуальности планарного графа в том смысле, что дуальный матроид графического матроида планарного графа изоморфен графическому матроиду дуального графа.
Геометрическая двойственность также встречается в теории оптимизации , но не та, которая меняет измерения местами. Линейная программа может быть задана системой действительных переменных (координатами точки в евклидовом пространстве ), системой линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств является выпуклым многогранником, допустимой областью программы) и линейной функцией (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче и наоборот.
В логике функции или отношения A и B считаются дуальными, если A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , где ¬ — логическое отрицание . Основная дуальность этого типа — дуальность кванторов ∃ и ∀ в классической логике. Они дуальны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x , для которого P не выполняется, то ложно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической дуальности вытекают несколько других:
Из них вытекают и другие аналогичные двойственности:
Двойственное двойственного, называемое бидуальным или двойным дуальным , в зависимости от контекста, часто идентично исходному (также называемому первичным ), а дуальность является инволюцией. В этом случае бидуальное обычно не различается, и вместо этого ссылаются только на первичное и двойственное. Например, двойственный посету двойственного посета является в точности исходным посетом, поскольку обратное отношение определяется инволюцией.
В других случаях бидуальное не идентично первичному, хотя часто существует тесная связь. Например, двойственный конус двойственного конуса множества содержит первичное множество (это наименьший конус, содержащий первичное множество), и равен тогда и только тогда, когда первичное множество является конусом.
Важный случай — для векторных пространств, где есть отображение из прямого пространства в двойное двойственное, V → V ** , известное как «каноническое отображение оценки». Для конечномерных векторных пространств это изоморфизм, но это не идентичные пространства: это разные множества. В теории категорий это обобщается с помощью § Двойственные объекты и « естественное преобразование » из тождественного функтора в двойной двойственный функтор. Для векторных пространств (рассматриваемых алгебраически) это всегда инъекция; см. Двойственное пространство § Инъекция в двойной двойственный . Это можно алгебраически обобщить до двойственного модуля . Существует еще каноническое отображение оценки, но оно не всегда инъективно; если это так, то это известно как модуль без кручения ; если это изомофизм, модуль называется рефлексивным.
Для топологических векторных пространств (включая нормированные векторные пространства ) существует отдельное понятие топологического дуального , обозначаемого для отличия от алгебраического дуального V * , с различными возможными топологиями на дуальном, каждая из которых определяет другое бидуальное пространство . В этих случаях каноническое оценочное отображение в общем случае не является изоморфизмом. Если это так, то это известно (для некоторых локально выпуклых векторных пространств с топологией сильного дуального пространства ) как рефлексивное пространство .
В других случаях демонстрация связи между первичным и двукратным является значимым результатом, как в двойственности Понтрягина ( локально компактная абелева группа естественно изоморфна своей двукратной группе).
Группа дуальностей может быть описана путем наделения для любого математического объекта X множества морфизмов Hom ( X , D ) в некоторый фиксированный объект D со структурой, аналогичной структуре X . Иногда это называется внутренним Hom . В общем случае это дает истинную дуальность только для определенных выборов D , в этом случае X * = Hom ( X , D ) называется двойственным к X . Всегда существует отображение из X в бидуальное , то есть двойственное к двойственному, Оно присваивает некоторому x ∈ X отображение, которое сопоставляет любому отображению f : X → D (т. е. элементу в Hom( X , D ) ) значение f ( x ) . В зависимости от конкретной рассматриваемой двойственности, а также в зависимости от объекта X , это отображение может быть или не быть изоморфизмом.
Конструкция дуального векторного пространства, упомянутая во введении, является примером такой дуальности. Действительно, множество морфизмов, т. е. линейных отображений , образует векторное пространство само по себе. Отображение V → V **, упомянутое выше, всегда инъективно. Оно сюръективно и, следовательно, является изоморфизмом, если и только если размерность V конечна. Этот факт характеризует конечномерные векторные пространства без ссылки на базис.
Векторные пространства V изоморфны V ∗ в точности тогда, когда V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме . В этом случае V называется пространством внутреннего произведения . Например, если K — поле действительных или комплексных чисел , любая положительно определенная билинейная форма порождает такой изоморфизм. В римановой геометрии V считается касательным пространством многообразия , а такие положительные билинейные формы называются римановыми метриками . Их цель — измерение углов и расстояний. Таким образом, двойственность является фундаментальной основой этой ветви геометрии. Другим применением пространств внутреннего произведения является звезда Ходжа , которая обеспечивает соответствие между элементами внешней алгебры . Для n -мерного векторного пространства оператор звезды Ходжа отображает k -формы в ( n − k ) -формы. Это можно использовать для формулировки уравнений Максвелла . В этом облике дуальность, присущая пространству внутреннего продукта, меняет роли магнитных и электрических полей .
В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования , которые отображают каждую точку проективной плоскости в прямую, а каждую прямую проективной плоскости в точку, сохраняющим инцидентность способом. [11] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : если задана любая теорема в такой плоской проективной геометрии, замена терминов «точка» и «прямая» везде приводит к новой, одинаково справедливой теореме. [12] Простым примером является то, что утверждение «две точки определяют единственную прямую, причем прямая проходит через эти точки» имеет двойственное утверждение, что «две прямые определяют единственную точку, точку пересечения этих двух прямых». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .
Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно в полевых плоскостях) предлагается дуальным векторным пространством. Фактически, точки в проективной плоскости соответствуют одномерным субвекторным пространствам [13] , тогда как линии в проективной плоскости соответствуют субвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях вытекает из присвоения одномерному подпространству состоящего из тех линейных отображений, которые удовлетворяют . Как следствие формулы размерности линейной алгебры , это пространство является двумерным, т. е. оно соответствует линии в проективной плоскости, связанной с .
(Положительно определенная) билинейная форма дает отождествление этой проективной плоскости с . Конкретно, двойственность присваивает ее ортогональному . Явные формулы двойственности в проективной геометрии возникают посредством этого отождествления.
В области топологических векторных пространств существует похожая конструкция, заменяющая дуальное топологическим дуальным векторным пространством. Существует несколько понятий топологического дуального пространства, и каждое из них порождает определенную концепцию дуальности. Топологическое векторное пространство, канонически изоморфное своему бидуальному, называется рефлексивным пространством :
Примеры:
Двойственная решетка решетки L задается набором линейных функций на действительном векторном пространстве, содержащем решетку, которые отображают точки решетки в целые числа . Это используется при построении торических многообразий . [16] Двойственная по Понтрягину локально компактным топологическим группам G задается непрерывными групповыми гомоморфизмами со значениями в круге (с умножением комплексных чисел в качестве групповой операции).
В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а отображения между объектами в первой теории переводятся в морфизмы во второй теории, но с обратным направлением. Используя терминологию теории категорий , это равносильно контравариантному функтору между двумя категориями C и D :
что для любых двух объектов X и Y из C дает карту
Этот функтор может быть или не быть эквивалентностью категорий . Существуют различные ситуации, когда такой функтор является эквивалентностью между противоположной категорией C op категории C и D . Используя двойственность этого типа, каждое утверждение в первой теории может быть переведено в «двойственное» утверждение во второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. [17] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально совпадает с эквивалентностью между C и D op ( C op и D ). Однако во многих обстоятельствах противоположные категории не имеют внутреннего смысла, что делает двойственность дополнительной, отдельной концепцией. [18]
Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . [19]
Многие категориально-теоретические понятия входят в пары в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y 1 × Y 2 и непересекающиеся объединения множеств Y 1 ⊔ Y 2 являются двойственными друг другу в том смысле, что
и
для любого множества X . Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C op ; дальнейшие конкретные примеры этого — эпиморфизмы против мономорфизма , в частности, фактор-модули (или группы и т. д.) против подмодулей , прямые произведения против прямых сумм (также называемых копроизведениями , чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дальнейшие понятия, отображающие связь с такой категорической двойственностью, — это проективные и инъективные модули в гомологической алгебре , [20] расслоения и корасслоения в топологии и, в более общем смысле, модельные категории . [21]
Два функтора F : C → D и G : D → C являются сопряженными , если для всех объектов c из C и d из D
естественным образом. На самом деле, соответствие пределов и копределов является примером сопряженных, поскольку существует сопряжение
между функтором копредела, который назначает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в константную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Двойственно,
Двойственность Гельфанда — это двойственность между коммутативными C*-алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X, которая является той же: она сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые исчезают на бесконечности) от X до C , комплексных чисел. Наоборот, пространство X может быть восстановлено из A как спектр A. Двойственность Гельфанда и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категорным способом. [ 22]
В похожем ключе в алгебраической геометрии существует двойственность между коммутативными кольцами и аффинными схемами : для каждого коммутативного кольца A существует аффинный спектр, Spec A. Наоборот, если задана аффинная схема S , то можно получить кольцо, взяв глобальные сечения структурного пучка O S. Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, тем самым существует эквивалентность
Аффинные схемы являются локальными строительными блоками схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем — это то же самое, что и коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.
Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C*-алгебры, как если бы они были функциями на некотором воображаемом пространстве. Двойственность Таннаки–Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. [24]
В ряде ситуаций две категории, которые являются дуальными друг другу, на самом деле возникают из частично упорядоченных множеств, т. е. существует некоторое понятие объекта, «являющегося меньшим», чем другой. Дуальность, которая уважает рассматриваемые упорядочения, известна как связь Галуа . Примером является стандартная дуальность в теории Галуа , упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует — при отображении, которое назначает любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω / L ) — меньшей группе. [25]
Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность Стоуна , соединяющая трезвые пространства и пространственные локали .
Двойственность Понтрягина дает двойственность в категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G группа характеров
заданные непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в группу окружности S 1 могут быть наделены компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова локально компактна и абелева и что
Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин является частным случаем двойственности Гельфанда. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. ниже.
В анализе часто задачи решаются путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.
Преобразование Фурье переключается между функциями на векторном пространстве и его дуальным: и наоборот Если f является L 2 -функцией на R или RN , скажем, то таковыми являются и . Более того, преобразование меняет местами операции умножения и свертки на соответствующих функциональных пространствах . Концептуальное объяснение преобразования Фурье получается с помощью вышеупомянутой двойственности Понтрягина, примененной к локально компактным группам R ( или RN и т. д.): любой характер R задается соотношением ξ ↦ e −2 πixξ . Дуализирующий характер преобразования Фурье имеет много других проявлений, например, в альтернативных описаниях квантово-механических систем в терминах координатных и импульсных представлений.
Теоремы, показывающие, что некоторые объекты интереса являются дуальными пространствами (в смысле линейной алгебры) других объектов интереса, часто называются дуальностями . Многие из этих дуальностей задаются билинейным сопряжением двух K -векторных пространств
Для совершенных пар , следовательно , существует изоморфизм A к двойственному B.
Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спариванием сингулярных когомологий с C -коэффициентами (эквивалентно, когомологий пучка постоянного пучка C )
где n — (комплексная) размерность X. [27] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая , что отображение
(интегрирование дифференциальной k -формы по (2 n − k )-(действительно-)мерному циклу) является совершенным сопряжением.
Двойственность Пуанкаре также меняет размерности; это соответствует тому факту, что если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный комплексу (высокомерное обобщение плоского графа-двойственного) представляет то же самое многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k- й группы гомологий и ( n − k )-й группы когомологий .
Тот же шаблон двойственности справедлив для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , используя вместо этого l-адические когомологии с Q ℓ -коэффициентами. [28] Это далее обобщается на возможно сингулярные многообразия , используя вместо этого когомологии пересечения , двойственность, называемую двойственностью Вердье . [29] Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны утверждениям выше, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков . [30]
Оказывается, с ростом уровня общности все больше технических знаний становится полезным или необходимым для понимания этих теорем: современная формулировка этих дуальностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных прямых и обратных функторов образов пучков (относительно классической аналитической топологии на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адических пучков и этальной топологии во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).
Еще одна группа подобных утверждений о двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) допускают подобные спаривания. Абсолютная группа Галуа G ( F q ) конечного поля, например, изоморфна , проконечному пополнению Z , целым числам. Следовательно , совершенное спаривание (для любого G -модуля M )
является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная или двойственность Пуату–Тейта ). [32]
