Теорема об обратной функции

Теорема по математике

В математике , особенно в дифференциальном исчислении , теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы функция была обратимой в окрестности точки в ее области определения : а именно, что ее производная непрерывна и не равна нулю в этой точке . Теорема также дает формулу для производной обратной функции . В исчислении многих переменных эту теорему можно обобщить на любую непрерывно дифференцируемую вектор-функцию , определитель Якобиана которой не равен нулю в точке ее области определения, давая формулу для матрицы Якобиана обратной функции. Существуют также версии теоремы об обратной функции для голоморфных функций , для дифференцируемых отображений между многообразиями , для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами и т. д.

Теорема была впервые установлена ​​Пикаром и Гурса с использованием итерационной схемы: основная идея состоит в том, чтобы доказать теорему о неподвижной точке с помощью теоремы о сжимающемся отображении .

Заявления

Для функций одной переменной теорема утверждает, что if — непрерывно дифференцируемая функция с ненулевой производной в точке ; тогда инъективен (или биективен по отношению к изображению) в окрестности , обратная функция непрерывно дифференцируема вблизи , а производная обратной функции at является обратной производной от at : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$$

Может случиться так, что функция может быть инъективной вблизи точки, пока . Пример : . В самом деле, для такой функции обратная не может быть дифференцируемой при , так как если бы были дифференцируемы при , то по цепному правилу , из которого следует . (Ситуация иная для голоморфных функций; см. Теорему #Голоморфная обратная функция ниже.) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)=0}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)^{3}}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)\neq 0}$

Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что if — непрерывно дифференцируемая функция из открытого подмножества в , а производная обратима в точке a (т. е. определитель матрицы Якоби функции f в точке a не является -ноль), то существуют окрестности in и of такие, что и является биективным. ^[1] Запись , это означает, что система n уравнений имеет единственное решение для с точки зрения времени . Обратите внимание, что в теореме не говорится, что изображение биективно в отношении обратимого изображения, но что оно локально биективно в отношении обратимого изображения. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f(U)\subset V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x\in U,y\in V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$

Более того, теорема говорит, что обратная функция непрерывно дифференцируема, а ее производная при является обратным отображением ; то есть, ${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.}$

Другими словами, если матрицы Якоби представляют , это означает: ${\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)}$ ${\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}$

${\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.}$

Сложная часть теоремы — существование и дифференцируемость . Предполагая это, формула обратной производной следует из правила цепочки, примененного к . (Действительно, ) Поскольку взятие обратного бесконечно дифференцируемо, формула для производной обратного показывает, что если непрерывно раз дифференцируема, с обратимой производной в точке a , то обратное также непрерывно раз дифференцируемо. Вот положительное целое число или . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}\circ f=I}$ ${\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \infty }$

Существует два варианта теоремы об обратной функции. ^[1] Учитывая непрерывно дифференцируемое отображение , первым является ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

• Производная является сюръективной (т. е. представляющая ее матрица Якобиана имеет ранг ) тогда и только тогда , когда существует непрерывно дифференцируемая функция в окрестности такого близкого , ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f\circ g=I}$ ${\displaystyle b}$

и второй

• Производная инъективна тогда и только тогда , когда существует непрерывно дифференцируемая функция в окрестности такого близкого . ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle g\circ f=I}$ ${\displaystyle a}$

В первом случае (когда сюръективно) точка называется регулярной величиной . Поскольку , первый случай эквивалентен высказыванию не по образу критических точек (критическая точка — это точка такая, что ядро ​​не равно нулю). Утверждение в первом случае является частным случаем теоремы о погружении . ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Эти варианты являются переформулировкой теоремы об обратных функциях. Действительно, в первом случае, когда сюръективно, мы можем найти (инъективное) линейное отображение такое, что . Определим так, чтобы мы имели: ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f'(a)\circ T=I}$ ${\displaystyle h(x)=a+Tx}$

${\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.}$

Таким образом, по теореме об обратной функции, имеет обратную вблизи ; то есть рядом . Второй случай ( инъективный) рассматривается аналогично. ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Пример

Рассмотрим векторную функцию, определяемую следующим образом: ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Матрица Якобиана:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

с определителем Якобиана:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

Определитель везде отличен от нуля. Таким образом, теорема гарантирует, что для каждой точки p в существует окрестность точки p , над которой F обратима. Это не означает, что F обратима во всей своей области определения: в этом случае F даже не инъективен, поскольку он периодичен: . ${\displaystyle e^{2x}\!}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$ ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$

Контрпример

Функция ограничена внутри квадратичной оболочки вблизи линии , поэтому . Тем не менее, у него есть локальные точки максимума/минимума, накапливающиеся в , поэтому он не является взаимно однозначным на любом окружающем интервале. ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle x=0}$

Если отказаться от предположения о непрерывности производной, функция больше не обязательно будет обратимой. Например , и имеет разрывную производную и , которая обращается в нуль сколь угодно близко к . Эти критические точки являются локальными точками максимума/минимума , поэтому они не являются взаимно однозначными (и не обратимыми) на любом интервале, содержащем . Интуитивно понятно, что наклон не распространяется на близлежащие точки, где наклоны определяются слабыми, но быстрыми колебаниями. ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle f'\!(0)=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f'\!(0)=1}$

Методы доказательства

Важным результатом является то, что теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, которое чаще всего встречается в учебниках, основано на принципе сжимающего отображения , также известном как теорема Банаха о неподвижной точке (которую также можно использовать как ключевой шаг в доказательстве существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений ). ^{[2] [3]}

Поскольку теорема о неподвижной точке применима в бесконечномерных (банаховом пространстве) условиях, это доказательство немедленно обобщается на бесконечномерную версию теоремы об обратной функции ^[4] (см. Обобщения ниже).

Альтернативное доказательство в конечных измерениях основано на теореме об экстремальных значениях для функций на компактном множестве . ^[5] Преимущество этого подхода заключается в том, что доказательство обобщается на ситуацию, когда полнота Коши отсутствует (см. § Над вещественным замкнутым полем).

Еще одно доказательство использует метод Ньютона , преимущество которого состоит в том, что он обеспечивает эффективную версию теоремы: границы производной функции подразумевают оценку размера окрестности, в которой функция обратима. ^[6]

Доказательство с использованием последовательного приближения

Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что и , так что . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$ ${\displaystyle a=b=0}$

По теореме о среднем значении для вектор-функций , для дифференцируемой функции , . Полагая , отсюда следует, что ${\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$ ${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

Теперь выберите так, чтобы для . Предположим, что и определим индуктивно через и . Предположения показывают, что если тогда ${\displaystyle \delta >0}$ ${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$ ${\displaystyle \|x\|<\delta }$ ${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$ ${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

В частности подразумевается . В индуктивной схеме и . Таким образом , последовательность Коши стремится к . По конструкции по требованию. ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$ ${\displaystyle x=x^{\prime }}$ ${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Чтобы проверить, что это C ¹ , напишите так, что . По неравенствам, указанным выше, так что . С другой стороны, если , то . Используя геометрическую прогрессию для , следует, что . Но потом ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle g(y+k)=x+h}$ ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$ ${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$ ${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$ ${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$ ${\displaystyle B=I-A}$ ${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

стремится к 0 как и стремится к 0, доказывая, что это C ¹ с . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для банаховых пространств . Если обратимая функция равна C ^k при , то то же самое относится и к ее обратной функции. Это следует по индукции с использованием того факта, что отображение операторов равно C ^k для любого (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку обратная матрица задается как сопряженная матрица, деленная на ее определитель ). ^{[1] [7]} Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картана , Жана Дьедонне , Сержа Ланга , Роже Годемана и Ларса Хёрмандера . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство с использованием принципа сжимающего отображения.

Вот доказательство, основанное на теореме о сжимающемся отображении . В частности, вслед за Т. Тао ^[8] он использует следующее следствие теоремы о сжимающемся отображении.

Лемма  .  Обозначим открытый шар радиуса r с центром 0 и карту с константой такую, что ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<c<1}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq c|y-x|}$

для всех в . Тогда для on у нас есть ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle f=I+g}$ ${\displaystyle B(0,r)}$

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|,}$

в частности, f инъективен. Если при этом , то ${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$.

В более общем смысле утверждение остается верным, если его заменить банаховым пространством. Кроме того, первая часть леммы справедлива для любого нормированного пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

По сути, лемма говорит, что небольшое возмущение тождественного отображения сжимающим отображением является инъективным и в некотором смысле сохраняет шар. Предположив на мгновение лемму, мы сначала докажем теорему. Как и в приведенном выше доказательстве, достаточно доказать частный случай, когда и . Позволять . Неравенство среднего значения , применяемое к, гласит: ${\displaystyle a=0,b=f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=I}$ ${\displaystyle g=f-I}$ ${\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.}$

Поскольку и непрерывна, мы можем найти такое, что ${\displaystyle g'(0)=I-I=0}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|}$

для всех в . Тогда ранняя лемма говорит, что это инъективно на и . Затем ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle f=g+I}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$

${\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)}$

является биективным и, следовательно, имеет обратное. Далее мы покажем, что обратное непрерывно дифференцируемо (эта часть рассуждения такая же, как и в предыдущем доказательстве). На этот раз давайте обозначим обратную величину и . Для пишем или . Теперь, по ранней оценке, мы имеем ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A=f'(x)}$ ${\displaystyle x=g(y)}$ ${\displaystyle g(y+k)=x+h}$ ${\displaystyle y+k=f(x+h)}$

${\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2}$

и так . Записывая норму оператора, ${\displaystyle |h|/2\leq |k|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.}$

Поскольку , мы имеем и ограничено. Следовательно, дифференцируемо при производной . Кроме того, это то же самое, что и композиция , где ; так что непрерывно. ${\displaystyle k\to 0}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle |h|/|k|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \iota \circ f'\circ g}$ ${\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}}$ ${\displaystyle g'}$

Осталось доказать лемму. Во-первых, у нас есть:

${\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,}$

то есть

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.}$

Это доказывает первую часть. Дальше покажем . Идея состоит в том, чтобы отметить, что это эквивалентно поиску фиксированной точки на карте по заданной точке. ${\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B(0,(1-c)r)}$

${\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)}$

где такое то и штанга означает закрытый шар. Чтобы найти неподвижную точку, мы используем теорему о сжимающем отображении, и проверить, является ли оно корректно определенным отображением строгого сжатия, несложно. Наконец, мы имеем: поскольку ${\displaystyle 0<r'<r}$ ${\displaystyle |y|\leq (1-c)r'}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$

${\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square }$

Как может быть ясно, это доказательство существенно не отличается от предыдущего, поскольку доказательство теоремы о сжимающемся отображении проводится методом последовательного приближения.

Приложения

Теорема о неявной функции

Теорему об обратной функции можно использовать для решения системы уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}}$

т.е. выражая как функции от , при условии, что матрица Якоби обратима. Теорема о неявной функции позволяет решить более общую систему уравнений: ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}}$

ибо с точки зрения . Хотя эта теорема и более общая, на самом деле она является следствием теоремы об обратной функции. Во-первых, точная формулировка теоремы о неявной функции такова: ^[9] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

• если карта , если , непрерывно дифференцируема в окрестности и производная от at обратима, то существует дифференцируемое отображение для некоторых окрестностей таких , что . Более того, если , то ; т. е. является единственным решением. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(a,b)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g:U\to V}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle f(x,g(x))=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрите карту . По теореме об обратной функции имеет обратную функцию для некоторых окрестностей . Тогда у нас есть: ${\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))}$ ${\displaystyle F:U\times V\to W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U,V,W}$

${\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),}$

подразумевая и Таким образом, обладает требуемым свойством. ${\displaystyle x=G_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).}$ ${\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)}$ ${\displaystyle \square }$

Придание многообразной структуры

В дифференциальной геометрии теорема об обратной функции используется, чтобы показать, что прообраз регулярного значения при гладком отображении является многообразием. ^[10] Действительно, пусть — такое гладкое отображение из открытого подмножества (поскольку результат является локальным, рассмотрение такого отображения не нарушает общности). Зафиксируйте точку в и затем, переставив координаты на , предположим, что матрица имеет ранг . Тогда карта такова, что имеет ранг . Следовательно, по теореме об обратной функции мы находим гладкую обратную функцию, определенную в окрестности . Тогда у нас есть ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F'(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),}$

что подразумевает

${\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).}$

То есть после замены координат на , является координатной проекцией (этот факт известен как теорема о погружении ). Более того, поскольку оно биективно, отображение ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}$

${\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})}$

является биективным с гладким обратным. То есть дает локальную параметризацию около . Следовательно, является многообразием. (Обратите внимание, что доказательство очень похоже на доказательство теоремы о неявной функции, и фактически вместо нее также можно использовать теорему о неявной функции.) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle \square }$

В более общем смысле, теорема показывает, что если гладкое отображение трансверсально подмногообразию , то прообраз является подмногообразием. ^[11] ${\displaystyle f:P\to E}$ ${\displaystyle M\subset E}$ ${\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}$

Глобальная версия

Теорема об обратной функции является локальным результатом; это применимо к каждой точке. Таким образом, априори теорема показывает, что функция локально биективна (или локально диффеоморфна некоторого класса). Следующая топологическая лемма может быть использована для повышения локальной инъективности до инъективности, которая в некоторой степени является глобальной. ${\displaystyle f}$

Лемма  —  ^{[12] [ нужна полная цитата ] [13]} Если — замкнутое подмножество (второго счетного) топологического многообразия (или, в более общем смысле, топологического пространства, допускающего исчерпывание компактными подмножествами ) и некоторое топологическое пространство есть локальный гомеоморфизм, который инъективен на , то инъективен на некоторой окрестности . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство: ^[14] Сначала предположим , что . Если заключение теоремы неверно, мы можем найти две последовательности такие, что и каждая сходится к некоторым точкам из . Поскольку инъективно на , . Теперь, если достаточно велико, мы находимся в окрестности точки, где является инъективным; таким образом , противоречие. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}\neq y_{i}}$ ${\displaystyle f(x_{i})=f(y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$

В общем рассмотрим набор . Оно не пересекается с любым подмножеством, где оно инъективно. Пусть – возрастающая последовательность компактных подмножеств с объединением и с содержащимися внутри . Тогда по первой части доказательства для каждого можно найти окрестность такого , что . Тогда имеет необходимое свойство. ( Альтернативный подход см. также ^{в [15] .)} ${\displaystyle E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}}$ ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle A\cap X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}^{2}\subset X^{2}-E}$ ${\displaystyle U=\bigcup _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle \square }$

Из леммы следует следующая (своего рода) глобальная версия теоремы об обратной функции:

Теорема об обратной функции  —  ^[16] Пусть — отображение между открытыми подмножествами или, в более общем плане, многообразий. Предположим, что непрерывно дифференцируемо (или есть ). Если инъективно на замкнутом подмножестве и если матрица Якоби обратима в каждой точке , то инъективна в окрестности и непрерывно дифференцируема (или равна ). ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subset U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(A')\to A'}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Обратите внимание, что если — точка, то приведенное выше утверждение представляет собой обычную теорему об обратной функции. ${\displaystyle A}$

Теорема о голоморфной обратной функции

Существует версия теоремы об обратной функции для голоморфных отображений .

Теорема  —  ^{[17] [18]} Пусть открытые подмножества такие, что и голоморфное отображение, матрица Якобиана которого в переменных обратима (определитель не равен нулю) в точке . Тогда инъективен в некоторой окрестности и обратный голоморфен. ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\in U}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle z_{i},{\overline {z}}_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(W)\to W}$

Теорема следует из обычной теоремы об обратной функции. Действительно, пусть обозначает матрицу Якобиана в переменных и для этого в . Тогда имеем , которое по предположению не равно нулю. Следовательно, по обычной теореме об обратной функции, она инъективна вблизи с непрерывно дифференцируемой обратной функцией. По цепному правилу при , ${\displaystyle J_{\mathbb {R} }(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle J(f)}$ ${\displaystyle z_{j},{\overline {z}}_{j}}$ ${\displaystyle \det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)}$

где левая часть и первое слагаемое справа равны нулю, поскольку и голоморфны. Таким образом, для каждого . ${\displaystyle f_{j}^{-1}\circ f}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \square }$

Аналогично существует теорема о неявной функции для голоморфных функций. ^[19]

Как уже отмечалось ранее, может случиться так, что инъективная гладкая функция имеет обратную, не являющуюся гладкой (например, по действительной переменной). Это не относится к голоморфным функциям по следующим причинам: ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Предложение  —  ^[19] Если — инъективное голоморфное отображение между открытыми подмножествами , то оно голоморфно. ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(U)\to U}$

Составы для коллекторов

Теорему об обратной функции можно перефразировать в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемыми многообразиями . В этом контексте теорема утверждает, что для дифференцируемого отображения ( класса ), если дифференциал , ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

является линейным изоморфизмом в точке , то существует открытая окрестность такой , что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

является диффеоморфизмом . Заметим, что из этого следует, что компоненты связности M и N , содержащие p и F ( p ), имеют одинаковую размерность, что уже непосредственно следует из предположения, что dF _p — изоморфизм. Если производная F является изоморфизмом во всех точках p в M , то отображение F является локальным диффеоморфизмом .

Обобщения

Банаховы пространства

Теорема об обратной функции также может быть обобщена на дифференцируемые отображения банаховых пространств X и Y . ^[20] Пусть U — открытая окрестность начала координат в X и непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что производная Фреше F в точке 0 является ограниченным линейным изоморфизмом X на Y . Тогда существует открытая окрестность V в Y и непрерывно дифференцируемое отображение такое, что для всех y из V . При этом – единственное достаточно малое решение x уравнения . ${\displaystyle F:U\to Y\!}$ ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$ ${\displaystyle F(0)\!}$ ${\displaystyle G:V\to X\!}$ ${\displaystyle F(G(y))=y}$ ${\displaystyle G(y)\!}$ ${\displaystyle F(x)=y\!}$

Существует также теорема об обратной функции для банаховых многообразий . ^[21]

Теорема о постоянном ранге

Теорему об обратной функции (и теорему о неявной функции ) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным рангом вблизи точки можно привести в определенную нормальную форму вблизи этой точки. ^[22] В частности, если имеет постоянный ранг вблизи точки , то существуют открытые окрестности U p и V of и существуют диффеоморфизмы и такие, что и такие, что производная равна . То есть F «выглядит» как свою производную вблизи p . Множество точек , ранг которых постоянен в окрестности, является открытым плотным подмножеством M ; это является следствием полунепрерывности ранговой функции. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области. ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p\in M\!}$ ${\displaystyle F(p)\!}$ ${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$ ${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$ ${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$ ${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$ ${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$

Когда производная F инъективна (соответственно сюръективна) в точке p , она также инъективна (соответственно сюръективна) в окрестности точки p , и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге. .

Полиномиальные функции

Если это правда, то гипотеза о якобиане была бы вариантом теоремы об обратной функции для многочленов. В нем говорится, что если векторнозначная полиномиальная функция имеет определитель Якобиана , который является обратимым многочленом (то есть ненулевой константой), то у нее есть обратная функция, которая также является полиномиальной функцией. Неизвестно, правда это или ложь, даже в случае двух переменных. Это основная открытая проблема теории полиномов.

Выбор

Когда при , является раз непрерывно дифференцируемым и якобиан в точке имеет ранг , обратное число может быть неединственным. Однако существует локальная функция выбора такая, что для всех в окрестности , , является временами непрерывно дифференцируемой в этой окрестности, и ( является псевдообратной функцией Мура-Пенроуза ). ^[23] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(s(y))=y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}=f({\overline {x}})}$ ${\displaystyle s({\overline {y}})={\overline {x}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})}$ ${\displaystyle A}$

Над настоящим закрытым полем

Теорема об обратной функции справедлива и для вещественного замкнутого поля k (или O-минимальной структуры ). ^[24] Точнее, теорема справедлива для полуалгебраического (или определимого) отображения между открытыми подмножествами, которые непрерывно дифференцируемы. ${\displaystyle k^{n}}$

Обычное доказательство IFT использует теорему Банаха о неподвижной точке, которая опирается на полноту Коши. Эта часть рассуждения заменяется использованием теоремы о крайних значениях , которая не требует полноты. Явно, в § Доказательство с использованием принципа сжимающего отображения полнота Коши используется только для установления включения . Здесь мы вместо этого прямо покажем (и этого достаточно). Учитывая точку в , рассмотрим функцию, определенную в окрестности . Если , то и так , поскольку обратимо. Теперь, по теореме о крайних значениях, в некоторой точке замкнутого шара допускается минимум , который, как можно показать, находится в использовании . Поскольку , , что и доказывает заявленное включение. ${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$ ${\displaystyle B(0,r/4)\subset f(B(0,r))}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B(0,r/4)}$ ${\displaystyle P(x)=|f(x)-y|^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$ ${\displaystyle P'(x)=0}$ ${\displaystyle 0=P'(x)=2[f_{1}(x)-y_{1}\cdots f_{n}(x)-y_{n}]f'(x)}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle 2^{-1}|x|\leq |f(x)|}$ ${\displaystyle P'(x_{0})=0}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y}$ ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Теорема Нэша – Мозера

Примечания

1. Теорема 1.1.7. в Хёрмандер, Ларс (2015). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I: теория распределения и анализ Фурье . Классика математики (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-642-61497-2.
2. МакОуэн, Роберт С. (1996). «Исчисление карт между банаховыми пространствами». Уравнения в частных производных: методы и приложения . Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 218–224. ISBN 0-13-121880-8.
3. Тао, Теренс (12 сентября 2011 г.). «Теорема об обратной функции для всюду дифференцируемых отображений» . Проверено 26 июля 2019 г.
4. Джаффе, Итан. «Теорема об обратной функции» (PDF) .
5. Спивак 1965, страницы 31–35.
6. Хаббард, Джон Х .; Хаббард, Барбара Берк (2001). Векторный анализ, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход (под ред. Матрицы).
7. Картан, Анри (1971). Calcul Differentiel (на французском языке). Германн . стр. 55–61. ISBN 978-0-395-12033-0.
8. Теорема 17.7.2 в книге Тао, Теренс (2014). Анализ. II . Тексты и чтения по математике. Том. 38 (Третье издание оригинальной редакции 2006 г.). Нью-Дели: Книжное агентство Индостан. ISBN 978-93-80250-65-6. МР  3310023. Збл  1300.26003.
9. Спивак 1965, Теорема 2-12.
10. Спивак 1965, Теорема 5-1. и теорема 2-13.
11. «Трансверсальность» (PDF) . Northwestern.edu .
12. Одна из книг Спивака (примечание редакции: укажите точное место).
13. Хирш 1976, гл. 2, § 1., Упражнение 7. Обратите внимание: это для -погружения. ${\displaystyle C^{1}}$
14. Лемма 13.3.3. лекций по дифференциальной топологии utoronto.ca
15. Дэн Рамрас (https://mathoverflow.net/users/4042/dan-ramras), О доказательстве существования трубчатых окрестностей. URL (версия: 13 апреля 2017 г.): https://mathoverflow.net /q/58124
16. Ч. I., § 3, Упражнение 10. и § 8, Упражнение 14. В. Гиймен, А. Поллак. «Дифференциальная топология». Prentice-Hall Inc., 1974. ISBN 0-13-212605-2.
17. Гриффитс и Харрис 1978, с. 18.
18. Фриче, К.; Грауэрт, Х. (2002). От голоморфных функций к комплексным многообразиям. Спрингер. стр. 33–36. ISBN 978-0-387-95395-3.
19. Гриффитс и Харрис 1978, с. 19.
20. Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 240–242. ISBN 0-471-55359-Х.
21. Ланг, Серж (1985). Дифференциальные многообразия . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 13–19. ISBN 0-387-96113-5.
22. Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию (второе изд.). Орландо: Академическая пресса. стр. 46–50. ISBN 0-12-116052-1.
23. Дончев, Асен Л.; Рокафеллар, Р. Тиррелл (2014). Неявные функции и отображения решений: взгляд на вариационный анализ (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 54. ИСБН 978-1-4939-1036-6.
24. Теорема 2.11. в Дрисе, LPD van den (1998). Ручная топология и O-минимальные структуры. Серия конспектов лекций Лондонского математического общества, вып. 248 . Кембридж, Нью-Йорк, и Окли, Виктория: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511525919. ISBN 9780521598385.

Рекомендации

• Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемых многообразий . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Баксандалл, Питер ; Либек, Ганс (1986). «Теорема об обратной функции». Векторное исчисление . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Ниженхейс, Альберт (1974). «Сильные производные и обратные отображения». амер. Математика. Ежемесячно . 81 (9): 969–980. дои : 10.2307/2319298. hdl : 10338.dmlcz/102482 . JSTOR  2319298.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9.
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90148-0.
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье изд.). Нью-Йорк: Книга МакГроу-Хилла. стр. 221–223. ISBN 978-0-07-085613-4.
• Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления . Сан-Франциско: Бенджамин Каммингс. ISBN 0-8053-9021-9.