Теорема Банаха о неподвижной точке

Theorem about metric spaces

В математике теорема Банаха о неподвижной точке (также известная как теорема о сжимающем отображении или теорема Банаха–Каччиопполи ) является важным инструментом в теории метрических пространств ; она гарантирует существование и единственность неподвижных точек определенных самоотображений метрических пространств и предоставляет конструктивный метод нахождения этих неподвижных точек. Ее можно понимать как абстрактную формулировку метода последовательных приближений Пикара . ^[1] Теорема названа в честь Стефана Банаха (1892–1945), который впервые сформулировал ее в 1922 году. ^{[2] [3]}

Заявление

Определение. Пусть — метрическое пространство . Тогда отображение называется сжимающим отображением на X, если существует такое, что ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle q\in [0,1)}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

для всех ${\displaystyle x,y\in X.}$

Теорема Банаха о неподвижной точке. Пусть — непустое полное метрическое пространство с отображением сжатия Тогда T допускает единственную неподвижную точку в X (т.е. ). Более того, можно найти следующим образом: начать с произвольного элемента и определить последовательность с помощью для Тогда . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны и описывают скорость сходимости :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$

Любое такое значение q называется константой Липшица для , а наименьшее из них иногда называют «лучшей константой Липшица» для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Замечание 2. Для всех в общем случае недостаточно гарантировать существование неподвижной точки, как показано на карте ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$

в котором отсутствует неподвижная точка. Однако, если компактно , то это более слабое предположение подразумевает существование и единственность неподвижной точки, которая может быть легко найдена как минимизатор , действительно, минимизатор существует в силу компактности и должен быть неподвижной точкой Из этого легко следует, что неподвижная точка является пределом любой последовательности итераций ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,T(x))}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle T.}$

Замечание 3. При использовании теоремы на практике наиболее трудной частью обычно является правильное определение, чтобы ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$

Доказательство

Пусть будет произвольным и определите последовательность , установив . Сначала заметим, что для всех справедливо неравенство ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

Это следует из индукции по , используя тот факт, что является сжимающим отображением. Тогда мы можем показать, что является последовательностью Коши . В частности, пусть такое, что : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

Пусть будет произвольным. Так как , то можно найти большое так, что ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

Поэтому, выбирая и больше, чем мы можем написать: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

Это доказывает, что последовательность является последовательностью Коши. В силу полноты последовательность имеет предел. Кроме того, должна быть неподвижная точка : ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x^{*}\in X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

Как отображение сжатия, является непрерывным, поэтому введение предела внутрь было оправдано. Наконец, не может иметь более одной неподвижной точки в , поскольку любая пара различных неподвижных точек и будет противоречить сжатию : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

Приложения

• Стандартным приложением является доказательство теоремы Пикара–Линделёфа о существовании и единственности решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений . Искомое решение дифференциального уравнения выражается как неподвижная точка подходящего интегрального оператора на пространстве непрерывных функций относительно равномерной нормы . Затем теорема Банаха о неподвижной точке используется для того, чтобы показать, что этот интегральный оператор имеет единственную неподвижную точку.
• Одним из следствий теоремы Банаха о неподвижной точке является то, что малые липшицевы возмущения тождества являются билипшицевыми гомеоморфизмами. Пусть Ω — открытое множество банахова пространства E ; пусть I  : Ω → E обозначает отображение тождества (включения), а g  : Ω → E — отображение Липшица с константой k < 1. Тогда

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) является открытым подмножеством E : точно, для любого x из Ω такого, что B ( x , r ) ⊂ Ω, имеем B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′;
2. I + g  : Ω → Ω′ — билипшицев гомеоморфизм;

точнее, ( I + g ) ⁻¹ по-прежнему имеет вид I + h  : Ω → Ω′ с h — липшицевым отображением константы k /(1 −  k ). Прямое следствие этого результата дает доказательство теоремы об обратной функции .

• Его можно использовать для указания достаточных условий, при которых гарантированно работает метод последовательных приближений Ньютона, а также метод третьего порядка Чебышева.
• Его можно использовать для доказательства существования и единственности решений интегральных уравнений.
• Его можно использовать для доказательства теоремы вложения Нэша . ^[4]
• Его можно использовать для доказательства существования и уникальности решений для итерации значений, итерации политики и оценки политики обучения с подкреплением . ^[5]
• Его можно использовать для доказательства существования и единственности равновесия в модели конкуренции Курно ^[6] и других динамических экономических моделях. ^[7]

Конверсы

Существует несколько обратных принципов сокращения Банаха. Следующий принцип принадлежит Чеславу Бессаге, 1959:

Пусть f  : X → X — отображение абстрактного множества , такое, что каждая итерация f ⁿ имеет единственную неподвижную точку. Пусть тогда существует полная метрика на X, такая, что f является сжимающей, а q — константа сжатия. ${\displaystyle q\in (0,1),}$

Действительно, для получения такого рода обратного утверждения достаточно очень слабых предположений. Например, если — отображение на топологическом пространстве T 1 с единственной неподвижной точкой a , такой, что для каждой имеем f ⁿ ( x ) → a , то уже существует метрика на X , относительно которой f удовлетворяет условиям принципа сжатия Банаха с константой сжатия 1/2. ^[8] В этом случае метрика фактически является ультраметрикой . ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Обобщения

Существует ряд обобщений (некоторые из которых являются непосредственными следствиями ). ^[9]

Пусть T  : X → X — отображение на полном непустом метрическом пространстве. Тогда, например, некоторые обобщения теоремы Банаха о неподвижной точке таковы:

• Предположим, что некоторая итерация T n ^T является сжатием. Тогда T имеет единственную неподвижную точку.
• Предположим, что для каждого n существует c _n такое, что d ( T ⁿ ( x ), T ⁿ ( y )) ≤ c _n d ( x , y ) для всех x и y , и что

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

Тогда T имеет единственную неподвижную точку.

В приложениях существование и единственность неподвижной точки часто можно показать напрямую с помощью стандартной теоремы Банаха о неподвижной точке, путем подходящего выбора метрики, которая делает отображение T сжатием. Действительно, приведенный выше результат Бессаги настоятельно предлагает искать такую ​​метрику. См. также статью о теоремах о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обобщений.

Другой класс обобщений возникает из подходящих обобщений понятия метрического пространства , например, путем ослабления определяющих аксиом для понятия метрики. ^[10] Некоторые из них имеют приложения, например, в теории семантики программирования в теоретической информатике. ^[11]

Пример

Применение теоремы Банаха о неподвижной точке и итерации с неподвижной точкой можно использовать для быстрого получения приближения π с высокой точностью. Рассмотрим функцию . Можно проверить, что π является неподвижной точкой f , и что f отображает интервал в себя. Более того, , и можно проверить, что ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}$ ${\displaystyle \left[3\pi /4,5\pi /4\right]}$ ${\displaystyle f'(x)=1+\cos(x)}$

${\displaystyle 0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}$

на этом интервале. Следовательно, по применению теоремы о среднем значении , f имеет константу Липшица, меньшую 1 (а именно ). Применение теоремы Банаха о неподвижной точке показывает, что неподвижная точка π является единственной неподвижной точкой на интервале, что позволяет использовать итерацию с неподвижной точкой. ${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$

Например, значение 3 может быть выбрано для начала итерации с фиксированной точкой, как . Теорема Банаха о фиксированной точке может быть использована для вывода, что ${\displaystyle 3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4}$

${\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).}$

Применение f к 3 всего три раза уже дает расширение числа π с точностью до 33 знаков:

${\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}$

Смотрите также

• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Теорема Каристи о неподвижной точке
• Картирование сокращения
• Принцип существования Фикеры
• Итерация с фиксированной точкой
• Теоремы о неподвижной точке
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Теорема Канторовича

Примечания

1. Киндерлерер, Дэвид ; Стампаккиа, Гвидо (1980). «Вариационные неравенства в RN». Введение в вариационные неравенства и их приложения . Нью-Йорк: Academic Press. С. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
2. Банах, Стефан (1922). «Sur les opérations dans les ансамбли abstraits et leur application aux équations intégrales» (PDF) . Фундамента Математика . 3 : 133–181. дои : 10.4064/fm-3-1-133-181. Архивировано (PDF) из оригинала 7 июня 2011 г.
3. Ciesielski, Krzysztof (2007). «О Стефане Банахе и некоторых его результатах» (PDF) . Banach J. Math. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352/bjma/1240321550 . Архивировано (PDF) из оригинала 2009-05-30.
4. Гюнтер, Матиас (1989). «Zum Einbettungssatz von J. Nash» [К теореме вложения Дж. Нэша]. Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 144 : 165–187. дои : 10.1002/мана.19891440113. МР  1037168.
5. Льюис, Фрэнк Л.; Враби, Драгуна; Сырмос, Василис Л. (2012). «Обучение с подкреплением и оптимальное адаптивное управление». Оптимальное управление . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 461–517 [стр. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
6. Лонг, Нго Ван; Субеиран, Антуан (2000). "Существование и уникальность равновесия Курно: подход с использованием отображения сжатия" (PDF) . Economics Letters . 67 (3): 345–348. doi :10.1016/S0165-1765(00)00211-1. Архивировано (PDF) из оригинала 2004-12-30.
7. Стоки, Нэнси Л.; Лукас , Роберт Э. младший (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
8. Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони К. (2001). «Обратная теорема о банаховом сокращении». Журнал электротехники . 52 (10/с): 3–6.
9. Латиф, Абдул (2014). «Принцип сокращения Банаха и его обобщения». Темы в теории неподвижных точек . Springer. стр. 33–64. doi :10.1007/978-3-319-01586-6_2. ISBN 978-3-319-01585-9.
10. Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони (2010). Математические аспекты семантики логического программирования . Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
11. Седа, Энтони К.; Хитцлер, Паскаль (2010). «Обобщенные функции расстояния в теории вычислений». The Computer Journal . 53 (4): 443–464. doi :10.1093/comjnl/bxm108.

Ссылки

• Агарвал, Правин; Джлели, Мохамед; Самет, Бессем (2018). «Принцип сокращения Банаха и его применение». Теория неподвижной точки в метрических пространствах . Сингапур: Springer. стр. 1–23. doi :10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Чиконе, Кармен (2006). «Сокращение». Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
• Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Истрэцеску, Василе И. (1981). Теория неподвижной точки: Введение . Нидерланды: Д. Рейдель. ISBN 90-277-1224-7.См. главу 7.
• Кирк, Уильям А.; Хамси, Мохамед А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек . Нью-Йорк: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

В данной статье использованы материалы из теоремы Банаха о неподвижной точке на сайте PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .