Теоремы вложения Нэша (или теоремы вложения ), названные в честь Джона Форбса Нэша-младшего , утверждают, что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство . Изометрия означает сохранение длины каждого пути . Например, сгибание страницы бумаги, но не растяжение и не разрывание дает изометрическое встраивание страницы в евклидово пространство, поскольку кривые, нарисованные на странице, сохраняют ту же длину дуги , несмотря на то, что страница согнута.
Первая теорема относится к непрерывно дифференцируемым ( C 1 ) вложениям, а вторая — к аналитическим или гладким вложениям класса C k , 3 ⩽ k ⩽ ∞. Эти две теоремы сильно отличаются друг от друга. Первая теорема имеет очень простое доказательство, но приводит к некоторым парадоксальным выводам, тогда как вторая теорема имеет техническое и контринтуитивное доказательство, но приводит к менее удивительному результату.
Теорема C 1 была опубликована в 1954 году, C k -теорема - в 1956 году. Вещественная аналитическая теорема была впервые рассмотрена Нэшем в 1966 году; его аргумент был значительно упрощен Грином и Якобовицем (1971). (Локальная версия этого результата была доказана Эли Картаном и Морисом Жане в 1920-х годах.) В реальном аналитическом случае сглаживающие операторы (см. ниже) в аргументе обратной функции Нэша можно заменить оценками Коши. Доказательство Нэша C k - случая было позже экстраполировано на h-принцип и теорему Нэша-Мозера о неявной функции . Более простое доказательство второй теоремы вложения Нэша было получено Гюнтером (1989), который свел набор нелинейных уравнений в частных производных к эллиптической системе, к которой можно было применить теорему о сжимающем отображении . [1]
Для m -мерного риманова многообразия ( M , g ) изометрическое вложение — это непрерывно дифференцируемое топологическое вложение f : M → ℝ n такое, что обратный образ евклидовой метрики равен g . В аналитическом плане это можно рассматривать (относительно гладкой координатной карты x ) как систему 1/2 m ( m + 1) множество уравнений в частных производных первого порядка для n неизвестных (действительнозначных) функций:
Если n меньше 1/2 m ( m + 1) , то уравнений больше, чем неизвестных. С этой точки зрения существование изометрических вложений, задаваемых следующей теоремой, кажется удивительным.
Теорема Нэша–Койпера. [2] Пусть ( M , g ) — m -мерное риманово многообразие, а f : M → ℝ n — короткое гладкое вложение (или погружение ) в евклидово пространство ℝ n , где n ≥ m + 1 . Эта карта не обязательно должна быть изометрической. Тогда существует последовательность непрерывно дифференцируемых изометрических вложений (или погружений) M → ℝ n функции g , которые сходятся равномерно к f .
Первоначально теорема была доказана Джоном Нэшем при более сильном предположении n ≥ m + 2 . Его метод был модифицирован Николаасом Койпером для получения приведенной выше теоремы. [3] [4]
Изометрические вложения, полученные с помощью теоремы Нэша – Койпера, часто считаются нелогичными и патологическими. [5] Их часто не удается плавно дифференцировать. Например, известная теорема Дэвида Гильберта утверждает, что гиперболическую плоскость нельзя гладко изометрически погрузить в ℝ 3 . Любое многообразие Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны не может быть гладко изометрически погружено как гиперповерхность, [6] а теорема Шиинга-Шена Черна и Койпера даже говорит, что любое замкнутое m -мерное многообразие неположительной секционной кривизны не может быть гладко изометрически погружено в ℝ 2 м – 1 . [7] Кроме того, некоторые гладкие изометрические вложения демонстрируют явления жесткости, которые нарушаются из-за практически неограниченного выбора f в теореме Нэша – Койпера. Например, изображение любой гладкой изометрической гиперповерхности погружения круглой сферы само должно быть круглой сферой. [8] Напротив, теорема Нэша – Койпера обеспечивает существование непрерывно дифференцируемых изометрических гиперповерхностных погружений круглой сферы, которые сколь угодно близки (например) к топологическому вложению сферы как малого эллипсоида .
Любое замкнутое и ориентированное двумерное многообразие гладко вкладывается в ℝ 3 . Любое такое вложение можно масштабировать с помощью сколь угодно малой константы, чтобы оно стало коротким по отношению к любой заданной римановой метрике на поверхности. Из теоремы Нэша–Койпера следует, что существуют непрерывно дифференцируемые изометрические вложения любой такой римановой поверхности, где радиус описанного шара сколь угодно мал. Напротив, ни одна замкнутая поверхность с отрицательной кривизной не может быть даже гладко изометрически вложена в ℝ 3 . [9] Более того, для любого гладкого (или даже C 2 ) изометрического вложения произвольной замкнутой римановой поверхности существует количественная (положительная) нижняя граница радиуса описанного шара через площадь поверхности и кривизну вложенной поверхности. метрика. [10]
В более высокой размерности, как следует из теоремы вложения Уитни , теорема Нэша–Койпера показывает, что любое замкнутое m -мерное риманово многообразие допускает непрерывно дифференцируемое изометрическое вложение в сколь угодно малую окрестность в 2 m -мерном евклидовом пространстве. Хотя теорема Уитни также применима к некомпактным многообразиям, такие вложения нельзя просто масштабировать с помощью небольшой константы, чтобы они стали короткими. Нэш доказал, что каждое m -мерное риманово многообразие допускает непрерывно дифференцируемое изометрическое вложение в ℝ 2 m + 1 . [11]
Во времена работы Нэша его теорема считалась чем-то вроде математической диковинки. Сам результат не нашел серьезного применения. Однако метод доказательства Нэша был адаптирован Камилло Де Леллисом и Ласло Секелихиди для построения решений низкой регулярности с заданной кинетической энергией уравнений Эйлера на основе математического исследования механики жидкости . В аналитическом плане уравнения Эйлера имеют формальное сходство с изометрическими уравнениями вложения благодаря квадратичной нелинейности первых производных неизвестной функции. [12] Идеи доказательства Нэша были сведены Михаилом Громовым к принципу выпуклого интегрирования с соответствующим h-принципом . [13] Это было применено Стефаном Мюллером и Владимиром Швераком к девятнадцатой проблеме Гильберта , строя минимизаторы минимальной дифференцируемости в вариационном исчислении . [14]
Техническое утверждение, появляющееся в оригинальной статье Нэша, следующее: если M — заданное m -мерное риманово многообразие (аналитическое или класса C k , 3 ⩽ k ⩽ ∞), то существует число n (с n ⩽ m (3 m +11)/2, если M — компактное многообразие, и с n ⩽ m ( m +1)(3 m +11)/2, если M — некомпактное многообразие) и изометрическим вложением ƒ: M → R n (также аналитический или класса Ck ) . [15] То есть ƒ является вложением многообразий C k и для каждой точки p из M производная dƒ p является линейным отображением из касательного пространства T p M в R n , которое совместимо с заданным скалярным произведением на T p M и стандартное скалярное произведение R n в следующем смысле :
для всех векторов u , v в T p M. Когда n больше 1/2 m ( m + 1) , это недоопределенная система уравнений в частных производных (ЧДУ).
Теорема вложения Нэша является глобальной теоремой в том смысле , что все многообразие вложено в Rn . Локальная теорема вложения намного проще и может быть доказана с использованием теоремы о неявной функции расширенного исчисления в координатной окрестности многообразия. Доказательство глобальной теоремы вложения основано на теореме Нэша о неявной функции для изометрических вложений. Эта теорема была обобщена рядом других авторов на абстрактные контексты, где она известна как теорема Нэша – Мозера . Основная идея доказательства теоремы Нэша о неявной функции — использование метода Ньютона для построения решений. Стандартный метод Ньютона не сходится при применении к системе; Нэш использует операторы сглаживания, определенные сверткой , чтобы обеспечить сходимость итерации Ньютона: это метод Ньютона с постусловием. Тот факт, что этот метод дает решение, сам по себе является теоремой существования и представляет независимый интерес. В других контекстах сходимость стандартного метода Ньютона ранее была доказана Леонидом Канторовичем .
