Теорема вложения Уитни

Любое гладкое вещественное m-мерное многообразие можно гладко вложить в реальное 2m-пространство.

В математике , особенно в дифференциальной топологии , существуют две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслера Уитни :

• Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что любое гладкое вещественное m - мерное многообразие (которое также должно быть хаусдорфовым и счетным по секундам ) может быть гладко вложено в вещественное 2 m- пространство , ‍ ‍ если ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m},}$m > 0 . Это лучшая линейная оценка наименьшего размерного евклидова пространства, в которое вложены все m -мерные многообразия, поскольку вещественные проективные пространства размерности m не могут быть вложены в реальное (2 m − 1) -пространство, если m является степенью двойки. (как видно из характерного классового аргумента, также принадлежащего Уитни).
• Слабая теорема вложения Уитни утверждает, что любая непрерывная функция из n -мерного многообразия в m -мерное многообразие может быть аппроксимирована гладким вложением при условии, что m > 2 n . Уитни аналогичным образом доказала, что такое отображение можно аппроксимировать погружением при условии m > 2 n − 1 . Этот последний результат иногда называют теоремой погружения Уитни .

О доказательстве

Слабая теорема вложения

Слабое вложение Уитни доказывается с помощью проекционного аргумента.

Когда многообразие компактно , можно сначала использовать покрытие конечным числом локальных карт, а затем уменьшить размерность с помощью подходящих проекций. ^{[1] : Гл. 1 §3  [2] : Гл. 6  [3] : Гл. 5 §3}

Сильная теорема вложения

Общая схема доказательства состоит в том, чтобы начать с погружения ‍ ‍ с ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$поперечными самопересечениями. Их существование известно из более ранних работ Уитни по теореме слабого погружения . Трансверсальность двойных точек следует из аргументов общего положения. Идея состоит в том, чтобы потом каким-то образом убрать все самопересечения. Если M имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопируя M в себя (изотопия находится в области f ) в подмногообразие M , которое не содержит двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда M не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии — рассмотрим, например, погружение круга в плоскость в форме восьмерки. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.

Представляем двойную точку.

Если у человека есть две противоположные двойные точки, он строит замкнутый контур, соединяющий их, давая замкнутый путь в ‍ ‍ Поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$‍ ‍ просто связан , можно предположить, что этот путь ограничивает диск, и при условии 2 m > 4 можно дополнительно предположить (по слабой теореме вложения Уитни ), что диск вложен в ‍ ‍ так , что он пересекает образ M только на его границе. Затем Уитни использует диск для создания однопараметрического семейства погружений, фактически перемещая M по диску, удаляя при этом две двойные точки. В случае погружения в форме восьмерки с введенной двойной точкой перемещение поперек довольно простое (на фото). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$

Отмена противоположных двойных точек.

Этот процесс устранения двойных точек противоположного знака путем перемещения многообразия по диску называется трюком Уитни .

Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создала погружения , которые приблизительно линейны за пределами единичного шара, но содержат одну двойную точку. Для m = 1 такое погружение определяется формулой ${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Обратите внимание: если α рассматривается как отображение в ‍ ‍ следующимобразом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

тогда двойную точку можно разрешить вложением:

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

Обратите внимание: β( t , 0) = α( t ) , а для a ≠ 0 тогда как функция от t β ( t ,  a ) является вложением.

Для более высоких размерностей m существуют α _m , которые могут быть решены аналогичным образом в ‍ ‍. Например , для вложения в ‍ ‍ определим ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

где

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

Ключевыми свойствами α _m является то, что это вложение, за исключением двойной точки α _m (1, 0, ..., 0) = α _m (−1, 0, ..., 0) . Более того, для |( т ₁ , ... ,  т _м )| большой, это примерно линейное вложение (0,  t ₁ , 0,  t ₂ , ... , 0,  t _m ​​) .

Возможные последствия трюка Уитни

Уловка Уитни была использована Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h -кобордизме ; откуда следует гипотеза Пуанкаре в размерностях m ≥ 5 и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это обеспечивает основу теории хирургии , которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.

Учитывая два ориентированных подмногообразия дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5, можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели одинаковый знак.

История

Говорят (довольно неожиданно) , что доказательство Хасслером Уитни теоремы вложения для гладких многообразий стало первым полным изложением концепции многообразия именно потому, что оно объединило и объединило различные концепции многообразий того времени: уже не существовала ли какая-либо путаница относительно того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные через карты, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. также историю многообразий и разновидностей для контекста.

Более четкие результаты

Хотя любое n -многообразие вкладывается в ‍ ‍, часто можно добиться большего. Пусть e ( n ) обозначает наименьшее целое число, так что все компактные связные n -многообразия вкладываются в ‍ ‍ Сильная теорема вложения Уитни e ( n ) ≤ 2 n . Для n = 1, 2 имеем e ( n ) = 2n , как показывают окружность и бутылка Клейна . В более общем смысле, для n = 2 ^k мы имеем e ( n ) = 2 n , как показывает 2 ^k -мерное реальное проективное пространство . Результат Уитни можно улучшить до e ( n ) ≤ 2 n − 1, если только n не является степенью 2. Это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ) и CTC Wall (для n = 3 ); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси , Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным . ^[4] В настоящее время функция e не известна в замкнутой форме для всех целых чисел (сравните с теоремой погружения Уитни , где известно аналогичное число). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{e(n)}.}$

Ограничения на многообразия

Усилить результаты можно, наложив на многообразие дополнительные ограничения. Например, n -сфера всегда вкладывается в ‍ ‍ – что является наилучшим возможным (замкнутые n -многообразия не могут вкладываться в ‍ ‍) . Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей вкладывается в ‍ ‍, хотя любая замкнутая неориентируемая поверхность требует ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Если N — компактное ориентируемое n -мерное многообразие, то N вкладывается в ‍ ‍ ( для n, не являющегося степенью 2, условие ориентируемости является излишним). Для n степени 2 это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ) и Фуцюана Фанга (для n = 4 ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером, Саймоном Дональдсоном , Хиршем и Уильямом С. Мэсси . ^[4] Хефлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то N вкладывается в ‍ ‍ при условии 2 k + 3 ⩽ n . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$

Изотопические версии

Относительно «простой» результат — доказать, что любые два вложения 1-многообразия в ‍ ‍ изотопны (см. Теория узлов#Высшие измерения ). Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения n -многообразия в ‍ ‍ изотопны . Этот результат представляет собой изотопическую версию слабой теоремы вложения Уитни. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+2}}$

Ву доказал, что при n ≥ 2 любые два вложения n -многообразия в ‍ ‍ изотопны . Этот результат представляет собой изотопическую версию сильной теоремы вложения Уитни. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$

В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хэфлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то любые два вложения N в ‍ ‍ изотопны при условии, что 2 k + 2 ≤ n . Ограничение размерности 2 k + 2 ≤ n является точным: Хефлигер далее привел примеры нетривиально вложенных 3-сфер в ‍ ‍ ( и, в более общем смысле, (2 d − 1) -сфер в ‍ ‍) . См. дальнейшие обобщения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3d}}$

Смотрите также

• Теорема о представлении
• Теорема погружения Уитни
• Теорема вложения Нэша
• Теорема Такенса
• Нелинейное уменьшение размерности
• Универсальное пространство

Примечания

1. Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Дипломные тексты по математике. Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer . ISBN 978-1-4684-9449-5.
2. Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия. Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Нью-Йорк ; Лондон: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9981-8. ОСЛК  800646950.
3. Прасолов, Виктор В. (2006). Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии . Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1153-4.
4. См. раздел 2 Скопенкова (2008).

Рекомендации

• Уитни, Хасслер (1992), Иллс, Джеймс ; Толедо, Доминго (ред.), Сборник статей , Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
• Милнор, Джон (1965), Лекции по теореме h -кобордизма , Princeton University Press
• Адачи, Масахиса (1993), Вложения и погружения, перевод Хадсона, Кики, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4612-4
• Скопенков, Аркадий (2008), «Вложение и завязывание многообразий в евклидовых пространствах», Николас Янг; Йемон Чой (ред.), Обзоры по современной математике , London Math. Соц. Лект. Примечания., вып. 347, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , стр. 248–342, arXiv : math/0604045 , Bibcode : 2006math...... 4045S, MR  2388495

Внешние ссылки

• Классификация вложений