stringtranslate.com

Полунепрерывность

В математическом анализе полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , которое слабее непрерывности . Расширенная вещественная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке, если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи не намного выше (соответственно ниже), чем

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до для некоторого , то результат будет полунепрерывен сверху; если мы уменьшим ее значение до , то результат будет полунепрерывен снизу.

Полунепрерывная сверху функция, которая не является полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка указывает
Полунепрерывная снизу функция, которая не является полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка обозначает

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции впервые было введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году. [1]

Определения

Предположим, что представляет собой топологическое пространство и является функцией со значениями в расширенных действительных числах .

Верхняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной сверху в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . [2] Эквивалентно, является полунепрерывной сверху в тогда и только тогда, когда , где lim sup — верхний предел функции в точке

Если - метрическое пространство с функцией расстояния , и это также можно переформулировать с помощью -формулировки , аналогичной определению непрерывной функции . А именно, для каждого существует такое, что всякий раз, когда

Функция называется полунепрерывной сверху , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: [2]

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .
(2) Для каждого множество открыто в , где .
( 3 ) Для каждого множество - суперуровня замкнуто в .
(4) Подпись закрыта .
(5) Функция непрерывна, когда область значений имеет топологию левого порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка генерируется всеми интервалами .

Нижняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной снизу в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . Эквивалентно, является полунепрерывной снизу в тогда и только тогда, когда где нижний предел функции в точке

Если — метрическое пространство с функцией расстояния , и это можно переформулировать следующим образом: для каждого существует такое, что всякий раз, когда

Функция называется полунепрерывной снизу, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .
(2) Для каждого множество открыто в , где .
( 3 ) Для каждого множество - подуровней замкнуто в .
(4) Эпиграф закрыт в . [3] : 207 
(5) Функция непрерывна, когда кодомену задана правильная топология порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку правильная топология порядка генерируется всеми интервалами .

Примеры

Рассмотрим функцию , кусочно заданную формулой: Эта функция полунепрерывна сверху в точке , но не полунепрерывна снизу.

Функция floor , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному вещественному числу, является везде полунепрерывной сверху. Аналогично, функция ceiling является полунепрерывной снизу.

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется в терминах упорядочения в области определения функций, а не в области определения. [4] Например, функция полунепрерывна сверху при , в то время как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.

Если — евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и — пространство кривых в (с супремум-расстоянием ), то функционал длины , который назначает каждой кривой ее длину, является полунепрерывным снизу. [5] В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, тогда как диагональная линия имеет только длину .

Пусть — пространство меры, а обозначим множество положительных измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из в , является полунепрерывным снизу.

Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на пространствах L p через выпуклость другой функции.

Характеристики

Если не указано иное, все функции ниже относятся к топологическому пространству и расширенным действительным числам. Некоторые результаты справедливы для полунепрерывности в определенной точке, но для краткости они сформулированы только для полунепрерывности во всей области.

Бинарные операции над полунепрерывными функциями

Позволять .

Оптимизация полунепрерывных функций

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывным снизу. (Теорема Бэра ниже обеспечивает частичное обращение.) Предельная функция будет полунепрерывной снизу только в общем случае, а не непрерывной. Примером служат функции, определенные для для
Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций является полунепрерывной сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывной сверху.
( Доказательство для случая полунепрерывности сверху : По условию (5) в определении, является непрерывным, когда задана топология левого порядка. Поэтому его образ компактен в этой топологии. И компактные множества в этой топологии — это в точности множества с максимумом. Альтернативное доказательство см. в статье о теореме об экстремальном значении .)

Другие свойства

и
Если не принимает значение , то непрерывные функции можно считать действительными. [9] [10]
Кроме того, каждая полунепрерывная сверху функция является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных непрерывных действительных функций, если не принимает значения, то непрерывные функции можно считать действительными.

Полунепрерывность многозначных функций

Для функций со значениями множества определены несколько понятий полунепрерывности, а именно верхняя , нижняя , внешняя и внутренняя полунепрерывность , а также верхняя и нижняя полунепрерывность . Функция со значениями множества из множества в множество записывается Для каждого функция определяет множество Прообраз множества под определяется как То есть, это множество, которое содержит каждую точку из такую, что не является дизъюнктным с . [11]

Верхняя и нижняя полунепрерывность

Множественно-значное отображение является полунепрерывным сверху в , если для каждого открытого множества такого, что , существует окрестность такая , что [11] : Определение 2.1 

Множественно-значное отображение является полунепрерывным снизу в , если для каждого открытого множества такого, что существует окрестность такого , что [11] : Определение 2.2 

Верхняя и нижняя многозначная полунепрерывность также определяются более общим образом для многозначных отображений между топологическими пространствами путем замены и в приведенных выше определениях на произвольные топологические пространства. [11]

Обратите внимание, что нет прямого соответствия между однозначной нижней и верхней полунепрерывностью и многозначной нижней и верхней полунепрерывностью. Полунепрерывная сверху однозначная функция не обязательно является полунепрерывной сверху, если рассматривать ее как многозначное отображение. [11] : 18  Например, функция, определенная как , является полунепрерывной сверху в однозначном смысле, но многозначное отображение не является полунепрерывным сверху в многозначном смысле.

Внутренняя и внешняя полунепрерывность

Функция со множеством значений называется внутренне полунепрерывной в , если для любой и каждой сходящейся последовательности в такой, что , существует последовательность в такая, что и для всех достаточно больших [12] [примечание 2]

Функция со множеством значений называется внешне полунепрерывной в , если для каждой сходящейся последовательности в , такой что и для каждой сходящейся последовательности в , такой что для каждого последовательность сходится к точке в (то есть, ). [12]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Результат был доказан Рене Бэром в 1904 году для действительнозначной функции, определенной на . Он был распространен на метрические пространства Гансом Ханом в 1917 году, а Хинг Тонг показал в 1952 году, что наиболее общим классом пространств, где теорема верна, является класс совершенно нормальных пространств . (См. Engelking, Exercise 1.7.15(c), p. 62 для подробностей и конкретных ссылок.)
  2. ^ В частности, существует такое, что для любого натурального числа . Необходимость рассмотрения только хвоста возникает из того факта, что при малых значениях множество может быть пустым.

Ссылки

  1. ^ Верри, Матье. «История математики - Рене Бэр».
  2. ^ ab Stromberg, стр. 132, Упражнение 4
  3. ^ Курдила, А. Дж., Забаранкин, М. (2005). «Выпуклый функциональный анализ». Нижние полунепрерывные функционалы. Системы и управление: основы и приложения (1-е изд.). Birkhäuser-Verlag. стр. 205–219. doi :10.1007/3-7643-7357-1_7. ISBN 978-3-7643-2198-7.
  4. ^ Уиллард, стр. 49, задача 7К
  5. ^ Giaquinta, Mariano (2007). Математический анализ: линейные и метрические структуры и непрерывность. Giuseppe Modica (1-е изд.). Boston: Birkhäuser. Теорема 11.3, стр.396. ISBN 978-0-8176-4514-4. OCLC  213079540.
  6. ^ Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений. Дискретное стохастическое динамическое программирование . Wiley-Interscience. С. 602. ISBN 978-0-471-72782-8.
  7. ^ Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы экономической теории . Берлин: Springer. С. 143. ISBN 9783540662358.
  8. ^ «Показать, что супремум любого набора полунепрерывных снизу функций является полунепрерывным снизу».
  9. ^ Стромберг, стр. 132, Упражнение 4(g)
  10. ^ «Покажите, что полунепрерывная снизу функция является супремумом возрастающей последовательности непрерывных функций».
  11. ^ abcde Freeman, RA, Kokotović, P. (1996). Надежное нелинейное проектирование управления. Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-0-8176-4759-9. ISBN 978-0-8176-4758-2..
  12. ^ ab Goebel, RK (январь 2024 г.). «Множественно-значный, выпуклый и негладкий анализ в динамике и управлении: введение». Глава 2: Сходимость множеств и многозначные отображения. Другие названия в прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 21–36. doi :10.1137/1.9781611977981.ch2. ISBN 978-1-61197-797-4.

Библиография