Ранг (дифференциальная топология)

В математике ранг дифференцируемого отображения между дифференцируемыми многообразиями в точке — это ранг производной от at . Напомним , что производная от at — это линейное отображение ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

из касательного пространства в точке p в касательное пространство в точке f ( p ). Как линейное отображение между векторными пространствами _оно имеет четко определенный ранг, который является просто размерностью изображения в T f _{( p )} N :

${\displaystyle \operatorname {rank} (f)_{p}=\dim(\operatorname {im} (d_{p}f)).}$

Карты постоянного ранга

Говорят, что дифференцируемое отображение f  : M → N имеет постоянный ранг , если ранг f одинаков для всех p из M. Отображения постоянного ранга обладают рядом хороших свойств и являются важным понятием в дифференциальной топологии .

Встречаются три особых случая отображений постоянного ранга. Отображение постоянного ранга f  : M → N — это

• погружение , если ранг f = dim M (т.е. производная всюду инъективна ),
• погружение , если ранг f = dim N (т.е. производная всюду сюръективна ),
• локальный диффеоморфизм , если rank f = dim M = dim N (т.е. производная всюду биективна ).

Само отображение f не обязательно должно быть инъективным, сюръективным или биективным для выполнения этих условий, важно только поведение производной. Например, существуют инъективные отображения, которые не являются погружениями, и погружения, которые не являются инъекциями. Однако, если f  : M → N — гладкое отображение постоянного ранга, то

• если f инъективен, то это погружение,
• если f сюръективно, то это погружение,
• если f биективен, то он является диффеоморфизмом .

Карты постоянного ранга имеют хорошее описание в терминах локальных координат . Предположим, что M и N — гладкие многообразия размерностей m и n соответственно, а f  : M → N — гладкое отображение с постоянным рангом k . Тогда для всех p в M существуют координаты ( x ¹ , ..., x ^m ) с центром в p и координаты ( y ¹ , ..., y ⁿ ) с центром в f ( p ) такие, что f задается как

${\displaystyle f(x^{1},\ldots ,x^{m})=(x^{1},\ldots ,x^{k},0,\ldots ,0)\,}$

в этих координатах.

Примеры

Блокировка карданного подвеса происходит, потому что карта T ³ → RP ³ не имеет ранга 3 во всех точках. Эта анимация показывает набор из трех карданных подвесов, установленных вместе, чтобы обеспечить три степени свободы в общем случае (ранг 3 в регулярных точках). Когда все три карданных подвеса выстроены в линию (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех — она имеет ранг 2 в такой особой точке — и находится в блокировке карданного подвеса . В этом случае она может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Карты, ранг которых в общем случае максимален, но падает в некоторых особых точках, часто встречаются в системах координат . Например, в сферических координатах ранг отображения из двух углов в точку на сфере (формально, отображение T ² → S ² из тора в сферу) равен 2 в регулярных точках, но только 1 на северном и южном полюсах ( зените и надире ).

Более тонкий пример встречается в диаграммах на SO(3) , группе вращения . Эта группа широко встречается в инженерии, поскольку трехмерные вращения широко используются в навигации , морской технике , аэрокосмической технике , среди многих других применений. Топологически SO(3) является реальным проективным пространством RP ³ , и часто желательно представлять вращения набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (в многочисленных вариантах), как потому, что это концептуально просто, так и потому, что можно построить комбинацию из трех карданных подвесов для создания вращений в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению из 3-тора T ³ из трех углов в вещественное проективное пространство RP ³ вращений, но это отображение не имеет ранга 3 во всех точках (формально потому, что оно не может быть покрывающим отображением , поскольку единственным (нетривиальным) покрывающим пространством является гиперсфера S ³ ), а явление падения ранга до 2 в определенных точках называется в инженерии карданным замком .

Ссылки

• Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics 218. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-95495-0.