Правило цепочки

Для производных сложных функций

В исчислении цепное правило — это формула , которая выражает производную композиции двух дифференцируемых функций f и g через производные f и g . Точнее, если — функция такая, что для каждого x , то цепное правило в обозначениях Лагранжа имеет вид , или , что то же самое, ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).}$$ $${\displaystyle h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$$

Правило цепочки также может быть выражено в обозначениях Лейбница . Если переменная z зависит от переменной y , которая, в свою очередь, зависит от переменной x (то есть y и z являются зависимыми переменными ), то z также зависит от x через промежуточную переменную y . В этом случае правило цепочки выражается как и для указания, в каких точках должны быть оценены производные. $${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}},}$$ $${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x},}$$

В интеграции аналогом цепного правила является правило подстановки .

Интуитивное объяснение

Интуитивно цепное правило гласит, что знание мгновенной скорости изменения z относительно y и y относительно x позволяет вычислить мгновенную скорость изменения z относительно x как произведение двух скоростей изменения.

Как сказал Джордж Ф. Симмонс : «Если автомобиль едет в два раза быстрее велосипеда, а велосипед в четыре раза быстрее идущего человека, то автомобиль едет в 2 × 4 = 8 раз быстрее человека». ^[1]

Связь между этим примером и цепным правилом следующая. Пусть z , y и x будут (переменными) положениями автомобиля, велосипеда и идущего человека соответственно. Скорость изменения относительных положений автомобиля и велосипеда равна Аналогично, Таким образом, скорость изменения относительных положений автомобиля и идущего человека равна ${\textstyle {\frac {dz}{dy}}=2.}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=4.}$ $${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2\cdot 4=8.}$$

Скорость изменения положений — это отношение скоростей, а скорость — это производная положения по времени; то есть, или, что то же самое, что также является применением цепного правила. $${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{dt}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}},}$$

История

Цепное правило, по-видимому, впервые использовал Готфрид Вильгельм Лейбниц . Он использовал его для вычисления производной как композита функции квадратного корня и функции . Впервые он упомянул его в мемуаре 1676 года (с ошибкой знака в расчетах). ^[2] Общепринятое обозначение цепного правила принадлежит Лейбницу. ^[3] Гийом де Лопиталь неявно использовал цепное правило в своем Analyse des infiniment petits . Цепное правило не появляется ни в одной из книг по анализу Леонарда Эйлера , хотя они были написаны более чем через сто лет после открытия Лейбница. ^{[ необходима цитата ]} . Считается, что первая «современная» версия цепного правила появляется в работе Лагранжа 1797 года Théorie des fonctions analytiques ; он также появляется в «Resumé des Leçons données a L'École Royale Polytechnique sur Le Calcul Infinitesimal» Коши 1823 года . ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}}$ ${\displaystyle a+bz+cz^{2}\!}$

Заявление

Простейшая форма цепного правила — для вещественных функций одной вещественной переменной. Оно гласит, что если g — функция, дифференцируемая в точке c (т. е. производная g ′( c ) существует), а f — функция, дифференцируемая в g ( c ) , то составная функция дифференцируема в c , а производная равна ^[4] Правило иногда сокращается до ${\displaystyle f\circ g}$ $${\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).}$$ $${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$$

Если y = f ( u ) и u = g ( x ) , то эта сокращенная форма записывается в обозначениях Лейбница как: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

Точки, в которых оцениваются производные, также могут быть указаны явно: $${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.}$$

Продолжая те же рассуждения дальше, при заданных n функциях с составной функцией , если каждая функция дифференцируема на своем непосредственном входе, то составная функция также дифференцируема путем повторного применения цепного правила, где производная равна (в обозначениях Лейбница): ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\!}$ ${\displaystyle f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))\!}$ ${\displaystyle f_{i}\!}$ $${\displaystyle {\frac {df_{1}}{dx}}={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}.}$$

Приложения

Композиции из более чем двух функций

Правило цепочки может быть применено к композициям более чем двух функций. Чтобы взять производную композиции более чем двух функций, обратите внимание, что композиция f , g , и h (в этом порядке) является композицией f с g ∘ h . Правило цепочки гласит, что для вычисления производной f ∘ g ∘ h достаточно вычислить производную f и производную g ∘ h . Производную f можно вычислить напрямую, а производную g ∘ h можно вычислить, снова применив правило цепочки. ^{[ необходима цитата ]}

Для конкретности рассмотрим функцию Ее можно разложить на композицию трех функций: Так что . $${\displaystyle y=e^{\sin(x^{2})}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y=f(g(h(x)))}$

Их производные: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}$$

Правило цепочки гласит, что производная их композиции в точке x = a равна: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)\\&=(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{aligned}}}$$

В обозначениях Лейбница это выглядит так: или, для краткости, производная функция имеет вид: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x.}$$

Другой способ вычисления этой производной — рассматривать составную функцию f ∘ g ∘ h как составную функцию f ∘ g и h . Применение цепного правила таким образом даст: $${\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)=f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).}$$

Это то же самое, что было вычислено выше. Этого следовало ожидать, поскольку ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) .

Иногда необходимо дифференцировать произвольно длинную композицию вида . В этом случае определите, где и когда . Тогда цепное правило примет вид или, в обозначениях Лагранжа, ${\displaystyle f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_{n}\!}$ $${\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}=f_{a}\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_{b}}$$ ${\displaystyle f_{a\,.\,.\,a}=f_{a}}$ ${\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}(x)=x}$ ${\displaystyle b<a}$ $${\displaystyle Df_{1\,.\,.\,n}=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]}$$ $${\displaystyle f_{1\,.\,.\,n}'(x)=f_{1}'\left(f_{2\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{2}'\left(f_{3\,.\,.\,n}(x)\right)\cdots f_{n-1}'\left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{n}'(x)=\prod _{k=1}^{n}f_{k}'\left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x)\right)}$$

Правило частного

Правило цепочки можно использовать для вывода некоторых известных правил дифференциации. Например, правило частного является следствием правила цепочки и правила произведения . Чтобы увидеть это, запишите функцию f ( x )/ g ( x ) как произведение f ( x ) · 1/ g ( x ) . Сначала применим правило произведения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}}$$

Чтобы вычислить производную 1/ g ( x ) , обратите внимание, что это композит g с обратной функцией, то есть функцией, которая переводит x в 1/ x . Производная обратной функции равна . Применяя цепное правило, последнее выражение становится: что является обычной формулой для правила частного. ${\displaystyle -1/x^{2}\!}$ $${\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},}$$

Производные обратных функций

Предположим, что y = g ( x ) имеет обратную функцию . Назовем ее обратную функцию f так, чтобы мы имели x = f ( y ) . Существует формула для производной f через производную g . Чтобы увидеть это, отметим, что f и g удовлетворяют формуле $${\displaystyle f(g(x))=x.}$$

И поскольку функции и x равны, их производные должны быть равны. Производная x — это постоянная функция со значением 1, а производная определяется цепным правилом. Поэтому имеем, что: ${\displaystyle f(g(x))}$ ${\displaystyle f(g(x))}$ $${\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1.}$$

Чтобы выразить f' как функцию независимой переменной y , мы подставляем x везде , где он появляется. Затем мы можем решить для f' . ${\displaystyle f(y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{aligned}}}$$

Например, рассмотрим функцию g ( x ) = e ^x . Она имеет обратную f ( y ) = ln y . Поскольку g ′( x ) = e ^x , приведенная выше формула говорит, что $${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}.}$$

Эта формула истинна, когда g дифференцируема и ее обратная f также дифференцируема. Эта формула может не работать, когда одно из этих условий не выполняется. Например, рассмотрим g ( x ) = x ³ . Ее обратная функция f ( y ) = y ^1/3 , которая не дифференцируема в нуле. Если мы попытаемся использовать приведенную выше формулу для вычисления производной f в нуле, то мы должны вычислить 1/ g ′( f (0) ) . Поскольку f (0) = 0 и g ′(0) = 0 , мы должны вычислить 1/0, что не определено. Следовательно, формула не работает в этом случае. Это неудивительно, потому что f не дифференцируема в нуле.

Обратное распространение

Цепное правило лежит в основе алгоритма обратного распространения , который используется при градиентном спуске нейронных сетей в глубоком обучении ( искусственном интеллекте ). ^[5]

Высшие производные

Формула Фаа ди Бруно обобщает правило цепочки на высшие производные. Предполагая, что y = f ( u ) и u = g ( x ) , тогда первые несколько производных будут: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\\{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{3}+3\,{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\\{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={\frac {d^{4}y}{du^{4}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{4}+6\,{\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left(4\,{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3\,\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)^{2}\right)+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.\end{aligned}}}$$

Доказательства

Первое доказательство

Одно доказательство цепного правила начинается с определения производной сложной функции f ∘ g , где мы берем предел разностного отношения для f ∘ g при приближении x к a : $${\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.}$$

Предположим на мгновение, что не равно ни для какого близкого . Тогда предыдущее выражение равно произведению двух множителей: ${\displaystyle g(x)\!}$ ${\displaystyle g(a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$$

Если колеблется около a , то может случиться так, что независимо от того, насколько близко мы подходим к a , всегда найдется еще более близкий x такой, что g ( x ) = g ( a ) . Например, это происходит около a = 0 для непрерывной функции g , определенной как g ( x ) = 0 для x = 0 и g ( x ) = x ² sin(1/ x ) в противном случае. Всякий раз, когда это происходит, приведенное выше выражение не определено, поскольку оно включает деление на ноль . Чтобы обойти это, введем функцию следующим образом: Мы покажем, что разностное отношение для f ∘ g всегда равно: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}}$$ $${\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$$

Всякий раз, когда g ( x ) не равно g ( a ) , это ясно, потому что множители g ( x ) − g ( a ) сокращаются. Когда g ( x ) равно g ( a ) , то разностное отношение для f ∘ g равно нулю, потому что f ( g ( x )) равно f ( g ( a )) , а указанное выше произведение равно нулю, потому что оно равно f ′( g ( a )) умноженному на ноль. Таким образом, указанное выше произведение всегда равно разностному отношению, и чтобы показать, что производная f ∘ g в точке a существует, и определить ее значение, нам нужно только показать, что предел при x стремится к a указанного выше произведения существует, и определить его значение.

Для этого вспомним, что предел произведения существует, если существуют пределы его множителей. Когда это происходит, предел произведения этих двух множителей будет равен произведению пределов множителей. Два множителя — это Q ( g ( x )) и ( g ( x ) − g ( a )) / ( x − a ) . Последний является разностным отношением для g в точке a , и поскольку g дифференцируема в точке a по предположению, ее предел при стремлении x к a существует и равен g ′( a ) .

Что касается Q ( g ( x )) , обратите внимание, что Q определено везде, где есть f . Более того, f дифференцируема в g ( a ) по предположению, поэтому Q непрерывна в g ( a ) по определению производной. Функция g непрерывна в a , потому что она дифференцируема в a , и поэтому Q ∘ g непрерывна в a . Поэтому ее предел при x , стремящемся к a , существует и равен Q ( g ( a ) ) , что равно f ′( g ( a )) .

Это показывает, что пределы обоих факторов существуют и что они равны f ′( g ( a )) и g ′( a ) , соответственно. Следовательно, производная f ∘ g в точке a существует и равна f ′( g ( a )) g ′( a ) .

Второе доказательство

Другой способ доказательства цепного правила — измерить ошибку в линейном приближении, определяемом производной. Это доказательство имеет то преимущество, что оно обобщает на несколько переменных. Оно опирается на следующее эквивалентное определение дифференцируемости в точке: Функция g дифференцируема в точке a , если существует действительное число g ′( a ) и функция ε ( h ), которая стремится к нулю, когда h стремится к нулю, и, кроме того, Здесь левая часть представляет собой истинную разность между значением g в точке a и в точке a + h , тогда как правая часть представляет собой приближение, определяемое производной, плюс ошибка. $${\displaystyle g(a+h)-g(a)=g'(a)h+\varepsilon (h)h.}$$

В ситуации цепного правила такая функция ε существует, поскольку g предполагается дифференцируемой в a . Опять же по предположению, аналогичная функция также существует для f в g ( a ). Называя эту функцию η , мы имеем Приведенное выше определение не накладывает никаких ограничений на η (0), хотя предполагается, что η ( k ) стремится к нулю, когда k стремится к нулю. Если мы положим η (0) = 0 , то η непрерывна в 0. $${\displaystyle f(g(a)+k)-f(g(a))=f'(g(a))k+\eta (k)k.}$$

Доказательство теоремы требует изучения разности f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) при стремлении h к нулю. Первым шагом является замена g ( a + h ) с использованием определения дифференцируемости g в точке a : Следующим шагом является использование определения дифференцируемости f в точке g ( a ). Для этого требуется член вида f ( g ( a ) + k ) для некоторого k . В приведенном выше уравнении правильное k меняется с h . Положим k _h = g ′( a ) h + ε ( h ) h , и правая часть станет f ( g ( a ) + k _h ) − f ( g ( a )) . Применение определения производной дает: Чтобы изучить поведение этого выражения при стремлении h к нулю, разверните k _h . После перегруппировки членов правая часть становится: Поскольку ε ( h ) и η ( k _h ) стремятся к нулю, когда h стремится к нулю, первые два члена в квадратных скобках стремятся к нулю, когда h стремится к нулю. Применяя ту же теорему о произведениях пределов, что и в первом доказательстве, третий член в квадратных скобках также стремится к нулю. Поскольку приведенное выше выражение равно разности f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) , по определению производной f ∘ g дифференцируема в точке a и ее производная равна f ′( g ( a )) g ′( a ). $${\displaystyle f(g(a+h))-f(g(a))=f(g(a)+g'(a)h+\varepsilon (h)h)-f(g(a)).}$$ $${\displaystyle f(g(a)+k_{h})-f(g(a))=f'(g(a))k_{h}+\eta (k_{h})k_{h}.}$$ $${\displaystyle f'(g(a))g'(a)h+[f'(g(a))\varepsilon (h)+\eta (k_{h})g'(a)+\eta (k_{h})\varepsilon (h)]h.}$$

Роль Q в первом доказательстве играет η в этом доказательстве. Они связаны уравнением: Необходимость определения Q в g ( a ) аналогична необходимости определения η в нуле. $${\displaystyle Q(y)=f'(g(a))+\eta (y-g(a)).}$$

Третье доказательство

Альтернативное определение дифференцируемости функции, данное Константином Каратеодори, можно использовать для элегантного доказательства цепного правила. ^[6]

Согласно этому определению, функция f дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда существует функция q , непрерывная в точке a и такая, что f ( x ) − f ( a ) = q ( x )( x − a ) . Существует не более одной такой функции, и если f дифференцируема в точке a , то f ′( a ) = q ( a ) .

Учитывая предположения правила цепочки и тот факт, что дифференцируемые функции и композиции непрерывных функций непрерывны, мы имеем, что существуют функции q , непрерывные в g ( a ) , и r , непрерывные в a , и такие, что , и Следовательно, но функция, заданная формулой h ( x ) = q ( g ( x )) r ( x ) непрерывна в a , и мы получаем, для этого a Похожий подход работает для непрерывно дифференцируемых (векторных) функций многих переменных. Этот метод факторизации также позволяет единый подход к более сильным формам дифференцируемости, когда требуется, чтобы производная была непрерывной по Липшицу , непрерывной по Гёльдеру и т. д. Сама дифференциация может рассматриваться как теорема о полиномиальных остатках (малая теорема Безу или теорема о факторах), обобщенная на соответствующий класс функций. ^{[ необходима цитата ]} $${\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))}$$ $${\displaystyle g(x)-g(a)=r(x)(x-a).}$$ $${\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a),}$$ $${\displaystyle (f(g(a)))'=q(g(a))r(a)=f'(g(a))g'(a).}$$

Доказательство с помощью бесконечно малых величин

Если и , то выбрав бесконечно малое, мы вычисляем соответствующее , а затем соответствующее , так что и применяя стандартную часть , мы получаем , что и является цепным правилом. ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x=g(t)}$ ${\displaystyle \Delta t\not =0}$ ${\displaystyle \Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dt}}}$$

Многовариантный случай

Полное обобщение цепного правила на многомерные функции (такие как ) довольно технично. Однако проще записать в случае функций вида , где , и для каждого ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k.}$

Поскольку этот случай часто встречается при изучении функций одной переменной, его стоит описать отдельно.

Случай скалярных функций с несколькими входами

Пусть , и для каждого Чтобы записать цепочку правил для композиции функций, нужны частные производные функции f по ее k аргументам. Обычные обозначения для частных производных включают имена аргументов функции. Поскольку эти аргументы не названы в приведенной выше формуле, проще и понятнее использовать D -нотацию , и обозначать через частную производную функции f по ее i -му аргументу, а через значение этой производной в точке z . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k.}$ $${\displaystyle x\mapsto f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),}$$ $${\displaystyle D_{i}f}$$ $${\displaystyle D_{i}f(z)}$$

С этой записью цепное правило имеет вид $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x))=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)\right)D_{i}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)).}$$

Пример: арифметические операции

Если функция f является сложением, то есть, если то и . Таким образом, цепное правило дает $${\displaystyle f(u,v)=u+v,}$$ ${\textstyle D_{1}f={\frac {\partial f}{\partial u}}=1}$ ${\textstyle D_{2}f={\frac {\partial f}{\partial v}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(g(x)+h(x))=\left({\frac {d}{dx}}g(x)\right)D_{1}f+\left({\frac {d}{dx}}h(x)\right)D_{2}f={\frac {d}{dx}}g(x)+{\frac {d}{dx}}h(x).}$$

Для умножения частичные числа равны и . Таким образом, $${\displaystyle f(u,v)=uv,}$$ ${\displaystyle D_{1}f=v}$ ${\displaystyle D_{2}f=u}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(g(x)h(x))=h(x){\frac {d}{dx}}g(x)+g(x){\frac {d}{dx}}h(x).}$$

Случай возведения в степень немного сложнее, так как и, так как Из этого следует, что $${\displaystyle f(u,v)=u^{v}}$$ $${\displaystyle D_{1}f=vu^{v-1},}$$ ${\displaystyle u^{v}=e^{v\ln u},}$ $${\displaystyle D_{2}f=u^{v}\ln u.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)g(x)^{h(x)-1}{\frac {d}{dx}}g(x)+g(x)^{h(x)}\ln g(x)\,{\frac {d}{dx}}h(x).}$$

Общее правило: векторные функции с несколькими входами

Самый простой способ записать цепное правило в общем случае — использовать полную производную , которая является линейным преобразованием, которое охватывает все производные по направлению в одной формуле. Рассмотрим дифференцируемые функции f  : R ^m → R ^k и g  : R ⁿ → R ^m , и точку a в R ⁿ . Пусть D _a g обозначает полную производную g в точке a , а D _{g ( a )} f обозначает полную производную f в точке g ( a ) . Эти две производные являются линейными преобразованиями R ⁿ → R ^m и R ^m → R ^k , соответственно, поэтому их можно составить. Цепное правило для полных производных заключается в том, что их композиция является полной производной f ∘ g в точке a : или, для краткости, Правило более высокой размерности цепи можно доказать с помощью техники, аналогичной второму доказательству, приведенному выше. ^[7] $${\displaystyle D_{\mathbf {a} }(f\circ g)=D_{g(\mathbf {a} )}f\circ D_{\mathbf {a} }g,}$$ $${\displaystyle D(f\circ g)=Df\circ Dg.}$$

Поскольку полная производная является линейным преобразованием, функции, появляющиеся в формуле, можно переписать в виде матриц. Матрица, соответствующая полной производной, называется матрицей Якоби , а композиция двух производных соответствует произведению их матриц Якоби. С этой точки зрения цепное правило, следовательно, гласит: или для краткости, $${\displaystyle J_{f\circ g}(\mathbf {a} )=J_{f}(g(\mathbf {a} ))J_{g}(\mathbf {a} ),}$$ $${\displaystyle J_{f\circ g}=(J_{f}\circ g)J_{g}.}$$

То есть якобиан сложной функции является произведением якобианов сложных функций (оцененных в соответствующих точках).

Правило многомерной цепи является обобщением правила одномерной цепи. Если k , m и n равны 1, так что f  : R → R и g  : R → R , то матрицы Якоби для f и g равны 1 × 1. В частности, они таковы: Якобиан для f ∘ g является произведением этих матриц размером 1 × 1 , поэтому он равен f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) , как и ожидалось из правила одномерной цепи. На языке линейных преобразований D _a ( g ) — это функция, которая масштабирует вектор в g ′( a ) , а D _{g ( a )} ( f ) — это функция, которая масштабирует вектор в f ′ ( g ( a )) . Правило цепочки гласит, что композиция этих двух линейных преобразований представляет собой линейное преобразование D _a ( f ∘ g ) , и, следовательно, это функция, которая масштабирует вектор на величину f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) . $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{g}(a)&={\begin{pmatrix}g'(a)\end{pmatrix}},\\J_{f}(g(a))&={\begin{pmatrix}f'(g(a))\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Другой способ записи цепного правила используется, когда f и g выражаются через их компоненты как y = f ( u ) = ( f ₁ ( u ), …, f _k ( u )) и u = g ( x ) = ( g ₁ ( x ), …, g _m ( x )) . В этом случае указанное выше правило для матриц Якоби обычно записывается как: $${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}.}$$

Правило цепочки для полных производных подразумевает правило цепочки для частных производных. Напомним, что когда существует полная производная, частная производная в i -ом направлении координат находится путем умножения матрицы Якоби на i -ый базисный вектор. Проделав это с формулой выше, мы находим: Поскольку элементы матрицы Якоби являются частными производными, мы можем упростить приведенную выше формулу, чтобы получить: Более концептуально, это правило выражает тот факт, что изменение направления x _i может изменить все g ₁ через g _m , и любое из этих изменений может повлиять на f . $${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial x_{i}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}$$

В особом случае, когда k = 1 , так что f является действительной функцией, эта формула упрощается еще больше: Это можно переписать как скалярное произведение . Вспоминая, что u = ( g ₁ , …, g _m ) , частная производная ∂ u / ∂ x _i также является вектором, и цепное правило гласит, что: $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial y}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\nabla y\cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{i}}}.}$$

Пример

Дано u ( x , y ) = x ² + 2 y , где x ( r , t ) = r sin( t ) и y ( r , t ) = sin ² ( t ) , определите значение ∂ u / ∂ r и ∂ u / ∂ t , используя цепное правило. ^{[ необходима ссылка ]} и $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=(2x)(\sin(t))+(2)(0)=2r\sin ^{2}(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}\\&=(2x)(r\cos(t))+(2)(2\sin(t)\cos(t))\\&=(2r\sin(t))(r\cos(t))+4\sin(t)\cos(t)\\&=2(r^{2}+2)\sin(t)\cos(t)\\&=(r^{2}+2)\sin(2t).\end{aligned}}}$$

Высшие производные функций многих переменных

Формула Фаа ди Бруно для производных высшего порядка функций с одной переменной обобщается на случай многих переменных. Если y = f ( u ) является функцией u = g ( x ) , как указано выше, то вторая производная f ∘ g равна: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\sum _{k}\left({\frac {\partial y}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)+\sum _{k,\ell }\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial u_{k}\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{j}}}\right).}$$

Дальнейшие обобщения

Все расширения исчисления имеют цепное правило. В большинстве из них формула остается той же, хотя ее значение может сильно отличаться.

Одно обобщение касается многообразий . В этой ситуации цепное правило представляет собой тот факт, что производная f ∘ g является композитом производной f и производной g . Эта теорема является непосредственным следствием приведенного выше цепного правила более высокой размерности и имеет точно такую ​​же формулу.

Правило цепочки справедливо также для производных Фреше в банаховых пространствах . Та же формула верна, что и раньше. ^[8] Этот случай и предыдущий допускают одновременное обобщение на банаховы многообразия .

В дифференциальной алгебре производная интерпретируется как морфизм модулей кэлеровых дифференциалов . Кольцевой гомоморфизм коммутативных колец f  : R → S определяет морфизм кэлеровых дифференциалов Df  : Ω _R → Ω _S , который переводит элемент dr в d ( f ( r )) , внешний дифференциал f ( r ) . Формула D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg верна и в этом контексте.

Общей чертой этих примеров является то, что они являются выражениями идеи о том, что производная является частью функтора . Функтор — это операция над пространствами и функциями между ними. Он сопоставляет каждому пространству новое пространство, а каждой функции между двумя пространствами — новую функцию между соответствующими новыми пространствами. В каждом из вышеприведенных случаев функтор отправляет каждое пространство в его касательное расслоение , а каждую функцию — в ее производную. Например, в случае многообразия производная отправляет C ^r -многообразие в C ^{r −1} -многообразие (его касательное расслоение), а C ^r -функцию — в ее полную производную. Существует одно требование для того, чтобы это было функтором, а именно, что производная композита должна быть композитом производных. Это в точности формула D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg .

В стохастическом исчислении также существуют цепные правила . Одно из них, лемма Ито , выражает композицию процесса Ито (или, в более общем смысле, семимартингала ) dX _t с дважды дифференцируемой функцией f . В лемме Ито производная составной функции зависит не только от dX _t и производной f , но также и от второй производной f . Зависимость от второй производной является следствием ненулевой квадратичной вариации стохастического процесса, что, говоря в общем, означает, что процесс может двигаться вверх и вниз очень грубым образом. Этот вариант цепного правила не является примером функтора, поскольку две составляемые функции имеют разные типы.

Смотрите также

• Автоматическое дифференцирование  – численные вычисления с использованием производных – вычислительный метод, который широко использует цепное правило для вычисления точных числовых производных.
• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Интеграция путем подстановки  – Методика интегральной оценки
• Интегральное правило Лейбница  – Формула дифференцирования под знаком интеграла
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Правило частного  – Формула производной отношения функций
• Правило тройного произведения  – соотношение между относительными производными трех переменных

Ссылки

1. Джордж Ф. Симмонс , Исчисление с аналитической геометрией (1985), стр. 93.
2. Child, JM (1917). «РУКОПИСИ ЛЕЙБНИЦА О ЕГО ОТКРЫТИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ЧАСТЬ II (Продолжение)». The Monist . 27 (3): 411–454. ISSN  0026-9662. JSTOR  27900650.
3. Родригес, Омар Эрнандес; Лопес Фернандес, Хорхе М. (2010). «Семиотическое размышление о дидактике правила цепочки». Любитель математики . 7 (2): 321–332. дои : 10.54870/1551-3440.1191 . S2CID  29739148 . Проверено 4 августа 2019 г.
4. Апостол, Том (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон Уэсли. Теорема 5.5.
5. Гудфеллоу, Ян ; Бенджио, Йошуа ; Курвилль, Аарон (2016), Глубокое обучение , Массачусетский технологический институт, стр=197–217.
6. Кун, Стивен (1991). «Производная по Каратеодори». The American Mathematical Monthly . 98 (1): 40–44. doi :10.2307/2324035. JSTOR  2324035.
7. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях . Бостон: Addison-Wesley. С. 19–20. ISBN 0-8053-9021-9.
8. Чейни, Уорд (2001). «Цепное правило и теоремы о среднем значении». Анализ для прикладной математики . Нью-Йорк: Springer. С. 121–125. ISBN 0-387-95279-9.

Внешние ссылки

• «Правило Лейбница», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Цепное правило». MathWorld .