Инъективное тензорное произведение

В математике инъективное тензорное произведение двух топологических векторных пространств (TVS) было введено Александром Гротендиком и использовалось им для определения ядерных пространств . Инъективное тензорное произведение в общем случае не обязательно является полным , поэтому его завершение называется завершенным инъективным тензорным произведением . Инъективные тензорные произведения имеют приложения за пределами ядерных пространств. В частности, как описано ниже, с точностью до TVS-изоморфизма многие TVS, которые определены для действительных или комплекснозначных функций, например, пространство Шварца или пространство непрерывно дифференцируемых функций, могут быть немедленно расширены до функций, имеющих значения в локально выпуклом TVS Хаусдорфа , без какой-либо необходимости расширять определения (такие как «дифференцируемый в точке») с действительных/комплекснозначных функций на -значные функции. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Предварительные сведения и обозначения

Пусть и — топологические векторные пространства , а — линейное отображение. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$

• ${\displaystyle L:X\to Y}$является топологическим гомоморфизмом или гомоморфизмом , если он линейный, непрерывный и является открытым отображением , где топология подпространства индуцирована ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L=L(X)}$ ${\displaystyle Y}$
  • Если является подпространством , то и фактор-отображение , и каноническая инъекция являются гомоморфизмами. В частности, любое линейное отображение может быть канонически разложено следующим образом: где определяет биекцию. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X/S}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X/\ker L\mathbin {\overset {L_{0}}{\rightarrow }} \operatorname {Im} L\to Y}$ ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$
• Множество непрерывных линейных отображений (соответственно непрерывных билинейных отображений ) будет обозначаться как (соответственно ), где если — скалярное поле, то вместо этого мы можем написать (соответственно ). ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle L(X;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• Множество отдельно непрерывных билинейных отображений (то есть непрерывных по каждой переменной, когда другая переменная фиксирована) будет обозначаться как , где если — скалярное поле, то вместо этого мы можем записать ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}$
• Обозначим непрерывное сопряженное пространство через , а алгебраическое сопряженное пространство (которое является векторным пространством всех линейных функционалов независимо от того, непрерывны они или нет) через ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
  • Для большей ясности изложения мы используем общепринятое соглашение о записи элементов со штрихом после символа (например, обозначает элемент , а не, скажем, производную, причем переменные и не обязательно должны быть связаны каким-либо образом). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$

Обозначения топологий

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$обозначает самую грубую топологию, делающую каждое отображение непрерывным, и или обозначает наделенный этой топологией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$обозначает слабую-* топологию на и или обозначает наделенный этой топологией . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Обратите внимание, что каждое индуцирует отображение, определяемое самой грубой топологией на X′, что делает все такие отображения непрерывными. ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$обозначает топологию ограниченной сходимости на ${\displaystyle X}$ и или обозначает наделенный этой топологией . ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$обозначает топологию ограниченной сходимости на ${\displaystyle X^{\prime }}$ или сильную двойственную топологию на ${\displaystyle X^{\prime }}$ и или обозначает наделенный этой топологией . ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Как обычно, если рассматривается как топологическое векторное пространство, но не ясно, какой топологией оно наделено, то топология будет предполагаться следующей: ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$
• ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}$обозначает топологию Макки на или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах и или обозначает наделенный этой топологией. является наилучшей локально выпуклой топологией TVS на , непрерывное сопряженное пространство которой равно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)}$обозначает топологию Макки на или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах и или обозначает , наделенное этой топологией. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
  • Обратите внимание, что ^[1] ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).}$
• ${\displaystyle \varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$обозначает топологию равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах ${\displaystyle X^{\prime }}$ и или обозначает наделенный этой топологией . ${\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$
  • Если — множество линейных отображений, то оно равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно в начале координат; то есть тогда и только тогда, когда для каждой окрестности начала координат в существует окрестность начала координат в такая, что для каждого ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \lambda \in H.}$
• Множество линейных отображений из в называется равностепенно непрерывным, если для любой окрестности начала координат в существует окрестность начала координат в такая, что для всех ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Определение

Пусть и будут топологическими векторными пространствами с непрерывными сопряженными пространствами и Обратите внимание, что почти все описанные результаты не зависят от того, находятся ли эти векторные пространства над или , но для упрощения изложения мы будем предполагать, что они находятся над полем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Непрерывные билинейные отображения как тензорное произведение

Несмотря на то, что тензорное произведение является чисто алгебраической конструкцией (его определение не включает в себя никаких топологий), векторное пространство непрерывных билинейных функционалов тем не менее всегда является тензорным произведением и (то есть ), когда определяется описанным сейчас способом. ^[3] ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$

Для каждого обозначим билинейную форму на , определяемую Это отображение всегда непрерывно ^[3] и поэтому присваивание, которое отправляет в билинейную форму, индуцирует каноническое отображение , образ которого содержится в Фактически, каждая непрерывная билинейная форма на принадлежит промежутку образа этого отображения (то есть ). Следующая теорема может быть использована для проверки того, что вместе с указанным выше отображением является тензорным произведением и ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y,}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle X^{\prime }\times Y^{\prime }}$ $${\displaystyle (x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).}$$ ${\displaystyle x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ $${\displaystyle \cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Теорема  —  Пусть и будут векторными пространствами, а пусть будет билинейным отображением. Тогда является тензорным произведением и тогда и только тогда, когда ^[4] образ охватывает все (то есть ), а векторные пространства и являются -линейно непересекающимися , что по определению ^[5] означает, что для всех последовательностей элементов и той же конечной длины, удовлетворяющих ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {span} T(X\times Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),}$

1. если все линейно независимы, то все и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$
2. если все линейно независимы, то все ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0.}$

Эквивалентно, ^[4] и являются -линейно непересекающимися тогда и только тогда, когда для всех линейно независимых последовательностей в и все линейно независимые последовательности в векторах линейно независимы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Топология

В дальнейшем все рассматриваемые топологические векторные пространства будут предполагаться локально выпуклыми. Если — любое локально выпуклое топологическое векторное пространство, то ^[6] и для любых равностепенно непрерывных подмножеств и и любой окрестности в определяют, где каждое множество ограничено в ^[6], что необходимо и достаточно для того, чтобы совокупность всех образовала локально выпуклую топологию TVS на ^[7]. Эта топология называется -топологией , и всякий раз, когда векторное пространство наделено -топологией , это будет обозначаться путем помещения в качестве нижнего индекса перед открывающейся скобкой. Например, наделенное -топологией будет обозначаться как Если хаусдорфово, то и -топология тоже. ^[6] ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime },}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}}$$ ${\displaystyle b(G\times H)}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

В частном случае, где — базовое скалярное поле, — тензорное произведение , и поэтому топологическое векторное пространство называется инъективным тензорным произведением и и обозначается Это TVS не обязательно является полным , поэтому его завершение , обозначаемое будет построено. Когда все пространства хаусдорфовы, то является полным тогда и только тогда, когда оба и являются полными, ^[8] в этом случае завершение является векторным подпространством Если и являются нормированными пространствами , то также является , где является банаховым пространством тогда и только тогда, когда это верно для обоих и ^[9] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y.}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Равностепенно непрерывные множества

Одной из причин сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах (всех возможных) является следующий важный факт:

Множество непрерывных линейных функционалов на TVS ^{[примечание 1]} равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно содержится в поляре некоторой окрестности начала координат в ; то есть, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }.}$

Топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат. Этот факт вместе с теоремой о биполяре означает, что посредством операции взятия поляры подмножества набор всех равностепенно непрерывных подмножеств «кодирует» всю информацию о заданной топологии . В частности, различные локально выпуклые топологии TVS на производят различные наборы равностепенно непрерывных подмножеств и наоборот, при наличии любого такого набора равностепенно непрерывных множеств исходная топология TVS может быть восстановлена ​​путем взятия поляры каждого (равностепенно непрерывных) множества в наборе. Таким образом, посредством этой идентификации равномерная сходимость на наборе равностепенно непрерывных подмножеств является по существу равномерной сходимостью на самой топологии TVS; это позволяет напрямую связать инъективную топологию с заданными топологиями и Кроме того, топология локально выпуклого хаусдорфова пространства идентична топологии равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах ^[10] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

По этой причине в статье теперь перечислены некоторые свойства равностепенно непрерывных множеств, которые имеют отношение к работе с инъективным тензорным произведением. Везде и являются любым локально выпуклым пространством и является набором линейных отображений из в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Если является равностепенно непрерывным, то топологии подпространства, которые наследуются от следующих топологий, идентичны: ^[11] ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
  1. топология предкомпактной сходимости;
  2. топология компактной сходимости;
  3. топология поточечной сходимости;
  4. топология поточечной сходимости на заданном плотном подмножестве ${\displaystyle X.}$
• Равностепенно непрерывное множество ограничено в топологии ограниченной сходимости (то есть ограничено в ). ^[11] Так, в частности, будет также ограничено в любой топологии TVS, которая грубее топологии ограниченной сходимости. ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$
• Если — бочкообразное пространство и локально выпукло, то для любого подмножества следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y),}$
  1. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным;
  2. ${\displaystyle H}$ограничен в топологии поточечной сходимости (то есть ограничен в ); ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
  3. ${\displaystyle H}$ограничено в топологии ограниченной сходимости (то есть ограничено в ). ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

В частности, чтобы показать, что множество равностепенно непрерывно, достаточно показать, что оно ограничено в топологии поточечной сходимости. ^[12] ${\displaystyle H}$

• Если — пространство Бэра, то любое подмножество , ограниченное в , обязательно равностепенно непрерывно. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
• Если является сепарабельным , метризуемым и является плотным подмножеством , то топология поточечной сходимости на делает метризуемым, так что, в частности, топология подпространства, которую наследует любое равностепенно непрерывное подмножество, является метризуемой. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Для равностепенно непрерывных подмножеств непрерывного сопряженного пространства (где теперь находится базовое скалярное поле ) справедливо следующее: ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

• Слабое замыкание равностепенно непрерывного множества линейных функционалов на является компактным подпространством ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }.}$
• Если является сепарабельным, то каждое слабо замкнутое равностепенно непрерывное подмножество является метризуемым компактным пространством, если ему задана слабая топология (то есть топология подпространства, унаследованная от ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
• Если — нормируемое пространство, то подмножество равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно сильно ограничено (то есть ограничено в ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
• Если — бочкообразное пространство , то для любого подмножества следующие условия эквивалентны: ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$
  1. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным;
  2. ${\displaystyle H}$относительно компактен в слабой двойственной топологии;
  3. ${\displaystyle H}$слабо ограничен;
  4. ${\displaystyle H}$сильно ограничен.

Отметим некоторые дополнительные важные основные свойства, относящиеся к инъективному тензорному произведению:

• Предположим, что — билинейное отображение, где — пространство Фреше , метризуемо и локально выпукло. Если — раздельно непрерывно, то оно непрерывно. ^[13] ${\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$

Каноническое отождествление раздельно непрерывных билинейных отображений с линейными отображениями

Равенство множеств всегда выполняется; то есть, если — линейное отображение, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно, где здесь имеет свою исходную топологию. ^[14] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Также существует канонический изоморфизм векторного пространства ^[14]. Чтобы определить его, для каждой отдельно непрерывной билинейной формы, определенной на и каждого пусть будет определено как Поскольку канонически векторное пространство изоморфно (через значение канонического отображения в ), будет идентифицировано как элемент которого будет обозначен как Это определяет отображение, заданное как и поэтому канонический изоморфизм, конечно, определяется как $${\displaystyle J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ $${\displaystyle B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).}$$ ${\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle J(B):={\tilde {B}}.}$

Когда задана топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах канонического отображения становится TVS-изоморфизмом ^[14] В частности, может быть канонически TVS-вложено в ; более того, образ в при каноническом отображении состоит в точности из пространства непрерывных линейных отображений , образ которых конечномерен. ^[9] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$

Включение всегда выполняется. Если нормировано, то фактически является топологическим векторным подпространством А если вдобавок является банаховым, то также является (даже если не является полным). ^[9] ${\displaystyle L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Каноническое отображение всегда непрерывно ^[15] , а ε-топология всегда грубее π-топологии , ^[16], которая в свою очередь грубее индуктивной топологии (точнейшей локально выпуклой топологии TVS, делающей раздельно непрерывным). Пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда и хаусдорфовы. ^[15] ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Если и нормированы, то является нормируемым, в этом случае для всех ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle \theta \in X\otimes Y,}$ ${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.}$

Предположим, что и — два линейных отображения между локально выпуклыми пространствами. Если оба и непрерывны, то их тензорное произведение также непрерывно ^[18]. Более того: ${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.}$

• Если и оба являются TVS-вложениями , то таковыми являются ^[19] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Если (соотв. ) является линейным подпространством (соотв. ), то канонически изоморфно линейному подпространству и канонически изоморфно линейному подпространству ^[20] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Существуют примеры и , такие, что и являются сюръективными гомоморфизмами, но не являются гомоморфизмом. ^[21] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Если все четыре пространства нормированы, то ^[17] ${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}$

Связь с проективным тензорным произведением и ядерными пространствами

Проективная топология или -топология - это наилучшая локально выпуклая топология на , которая делает непрерывным каноническое отображение, определяемое преобразованием в билинейную форму Когда наделено этой топологией, то оно будет обозначаться и называться проективным тензорным произведением и ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y.}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Следующее определение было использовано Гротендиком для определения ядерных пространств. ^[22]

Определение 0 : Пусть — локально выпуклое топологическое векторное пространство. Тогда является ядерным, если для любого локально выпуклого пространства каноническое вложение векторного пространства является вложением TVS, образ которого плотен в области значений. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Канонические идентификации билинейных и линейных отображений

В этом разделе мы описываем канонические идентификации между пространствами билинейных и линейных отображений. Эти идентификации будут использоваться для определения важных подпространств и топологий (в частности, тех, которые относятся к ядерным операторам и ядерным пространствам ).

Двойственные пространства инъективного тензорного произведения и его пополнение

Предположим, что обозначает TVS-вложение в его завершение и пусть будет его транспонированием , которое является векторным пространством-изоморфизмом. Это определяет непрерывное двойственное пространство как идентичное непрерывному двойственному пространству $${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Тождественное отображение непрерывно (по определению π-топологии ), поэтому существует единственное непрерывное линейное расширение. Если и — гильбертовы пространства, то является инъективным, а двойственное к канонически изометрически изоморфно векторному пространству ядерных операторов из в (с нормой следа). $${\displaystyle \operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$ $${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Инъективное тензорное произведение гильбертовых пространств

Существует каноническое отображение , которое ссылается на линейное отображение, определяемое с помощью , где можно показать, что определение не зависит от конкретного выбора представления Отображение непрерывно и, когда оно полно, оно имеет непрерывное расширение $${\displaystyle K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)}$$ ${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X^{\prime }\to Y}$ $${\displaystyle K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,}$$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$ $${\displaystyle K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ $${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$$

Когда и являются гильбертовыми пространствами, то есть TVS-вложение и изометрия (когда пространствам заданы их обычные нормы), областью действия которых является пространство всех компактных линейных операторов из в (которое является замкнутым векторным подпространством в Следовательно, оно идентично пространству компактных операторов из в (обратите внимание на штрих на ). Пространство компактных линейных операторов между любыми двумя банаховыми пространствами (которое включает гильбертовы пространства ) и является замкнутым подмножеством ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$

Более того, каноническое отображение инъективно, когда и являются гильбертовыми пространствами. ^[23] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Интегральные формы и операторы

Интегральные билинейные формы

Обозначим тождественное отображение через и пусть обозначим его транспонирование , которое является непрерывной инъекцией. Напомним, что канонически отождествляется с пространством непрерывных билинейных отображений на Таким образом, непрерывное сопряженное пространство может быть канонически идентифицировано как подвекторное пространство обозначенного через Элементы из называются интегральными ( билинейными ) формами на Следующая теорема оправдывает слово интегральное . $${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle J(X,Y).}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Теорема ^{[24] [25]}  —  Двойственноексостоит из тех непрерывных билинейных форм v на, которые могут быть представлены в виде отображения, гдеиявляются некоторыми замкнутыми, равностепенно непрерывными подмножествамиисоответственно, иявляется положительной мерой Радона на компактном множествес полной массой Более того, еслиявляется равностепенно непрерывным подмножеством, то элементымогут быть представлены сфиксированным ипробегающим ограниченное по норме подмножество пространства мер Радона на ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \leq 1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle v\in A}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T.}$

Интегральные линейные операторы

Для данного линейного отображения можно определить каноническую билинейную форму, называемую ассоциированной билинейной формой, с помощью Непрерывное отображение называется интегральным, если его ассоциированная билинейная форма является интегральной билинейной формой. ^[26] Интегральное отображение имеет вид для каждого и для подходящих слабо замкнутых и равностепенно непрерывных подмножеств и из и соответственно, и некоторой положительной меры Радона полной массы ${\displaystyle \Lambda :X\to Y,}$ ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X\times Y^{\prime },}$ $${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).}$$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }:}$ $${\displaystyle \left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)}$$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \leq 1.}$

Каноническая карта вЛ(Х;И)

Существует каноническое отображение , которое ссылается на линейное отображение, определяемое с помощью , где можно показать, что определение не зависит от конкретного выбора представления ${\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}$ ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$

Примеры

Пространство суммируемых семейств

В этом разделе мы фиксируем некоторое произвольное (возможно, несчетное ) множество TVS и позволяем быть направленным множеством всех конечных подмножеств направленного по включению ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq .}$

Пусть будет семейством элементов в TVS и для каждого конечного подмножества пусть Мы называем суммируемым в , если предел сети сходится в к некоторому элементу (любой такой элемент называется его суммой ). Множество всех таких суммируемых семейств является векторным подпространством , обозначаемым как ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq A,}$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.}$ ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}}$ ${\displaystyle S.}$

Теперь мы определим топологию на очень естественным образом. Эта топология оказывается инъективной топологией, взятой из и перенесенной через канонический изоморфизм векторного пространства (очевидный). Это обычное явление при изучении инъективных и проективных тензорных произведений пространств функций/последовательностей и TVS: «естественный способ», которым можно было бы определить (с нуля) топологию на таком тензорном произведении, часто эквивалентен инъективной или проективной топологии тензорного произведения . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle S}$

Пусть обозначает базу выпуклых сбалансированных окрестностей 0 в и для каждого пусть обозначает ее функционал Минковского . Для любого такого и любого пусть где определяет полунорму на Семейство полунорм порождает топологию, превращающую в локально выпуклое пространство. Вектор пространства, наделенный этой топологией, будет обозначаться как ^[27] Частный случай, когда — скалярное поле, будет обозначаться как ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle \mu _{U}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,}$ $${\displaystyle q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|}$$ ${\displaystyle q_{U}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A,X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A).}$

Существует каноническое вложение векторных пространств , определяемое линеаризацией билинейного отображения, определяемого формулой ^[27] ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle \left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.}$

Теорема : ^[27]  —  Каноническое вложение (векторных пространств)становится вложением топологических векторных пространств, когдазадана инъективная топология и, кроме того, ее область значений плотна в ее области значений. Еслиявляется пополнением, то непрерывное расширениеэтого вложенияявляется изоморфизмом TVS. Так, в частности, еслиявляется полным , токанонически изоморфно ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle l^{1}(A,E).}$

Пространство непрерывно дифференцируемых векторнозначных функций

Пусть далее будет открытым подмножеством, где — целое число, а — локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle Y}$

Определение ^[28] Предположим, что и — функция такая, что с предельной точкой Скажем, которая дифференцируема в , если существуют векторы в , называемые частными производными , такие, что где ${\displaystyle p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega }$ ${\displaystyle f:\operatorname {Dom} f\to Y}$ ${\displaystyle p^{0}\in \operatorname {Dom} f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-p_{i}^{0})e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}$$ ${\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n}).}$

Можно естественным образом расширить понятие непрерывно дифференцируемой функции до -значных функций, определенных на Для любого пусть обозначим векторное пространство всех -значных отображений, определенных на , а пусть обозначим векторное подпространство , состоящее из всех отображений в , имеющих компактный носитель. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$

Затем можно определить топологии на и таким же образом, как топологии на и определены для пространства распределений и тестовых функций (см. статью: Дифференцируемые векторнозначные функции из евклидова пространства ). Вся эта работа по расширению определения дифференцируемости и различных топологий оказывается в точности эквивалентной простому взятию завершенного инъективного тензорного произведения: ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$

Теорема ^[29]  —  Если— полное хаусдорфово локально выпуклое пространство, тооно канонически изоморфно инъективному тензорному произведению ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Пространства непрерывных отображений из компактного пространства

Если — нормированное пространство и если — компактное множество, то -норма на равна ^[29] Если и — два компактных пространства, то где это каноническое отображение является изоморфизмом банаховых пространств. ^[29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C(K)\otimes Y}$ ${\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),}$

Пространства последовательностей, сходящихся к 0

Если — нормированное пространство, то обозначим пространство всех последовательностей в , которые сходятся к началу координат, и дадим этому пространству норму Обозначим Тогда для любого банахова пространства канонически изометрически изоморфно ^[29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.}$ ${\displaystyle l_{\infty }}$ ${\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y).}$

Пространство функций Шварца

Теперь мы обобщим пространство Шварца на функции, имеющие значения в TVS. Пусть будет пространством всех таких, что для всех пар полиномов и от переменных, является ограниченным подмножеством Для обобщения топологии пространства Шварца на мы зададим топологию равномерной сходимости по функций при и варьируются по всем возможным парам полиномов от переменных. ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$

Теорема ^[29]  —  Если — полное локально выпуклое пространство, то канонически изоморфно ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Смотрите также

• Вспомогательное нормированное пространство
• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Индуктивное тензорное произведение  – бинарная операция на топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Интегральная карта  – Математическая функцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ядерный оператор  – Линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами
• Ядерное пространство  – обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое тензорное произведение  – Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств

Примечания

1. Это верно, даже если не предполагается, что он является хаусдорфовым или локально выпуклым. ${\displaystyle X}$

Ссылки

1. Тревес 2006, стр. 432–434.
2. Тревес 2006, стр. 338–345.
3. Treves 2006, стр. 431–432.
4. Trèves 2006, стр. 403–404.
5. Трев 2006, стр. 403.
6. Trèves 2006, стр. 428.
7. Тревес 2006, стр. 427–428.
8. Трев 2006, стр. 430.
9. Treves 2006, стр. 432–433.
10. Тревес 2006, стр. 368–370.
11. Treves 2006, стр. 338–343.
12. Trèves 2006, стр. 347–350.
13. Тревес 2006, стр. 351–354.
14. Trèves 2006, стр. 428–430.
15. Trèves 2006, стр. 434.
16. Трев 2006, стр. 438.
17. Trèves 2006, стр. 444.
18. Трев 2006, стр. 439.
19. Трев 2006, стр. 440.
20. Трев 2006, стр. 441.
21. Трев 2006, стр. 442.
22. Шефер и Вольф 1999, стр. 170.
23. Trèves 2006, стр. 494.
24. Шефер и Вольф 1999, стр. 168.
25. Тревес 2006, стр. 500–502.
26. Тревес 2006, стр. 502–505.
27. Шефер и Вольф 1999, стр. 179–184.
28. Тревес 2006, стр. 412–419.
29. Treves 2006, стр. 446–451.

Библиография

• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Гротендик, Гротендик (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Нленд, Х. (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co. Эксклюзивные дистрибьюторы в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC  2798822.
• Нленд, Х (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводные курсы по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co. Эксклюзивный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

Внешние ссылки

• Ядерное пространство в ncatlab