Оснащенное гильбертово пространство

Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis

В математике оснащенное гильбертово пространство ( тройка Гельфанда , вложенное гильбертово пространство , оснащенное гильбертово пространство ) — конструкция, предназначенная для связи распределения и интегрируемых с квадратом аспектов функционального анализа . Такие пространства были введены для изучения спектральной теории . Они объединяют « связанное состояние » ( собственный вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.

Используя это понятие, можно сформулировать версию спектральной теоремы для неограниченных операторов в гильбертовом пространстве. ^[1] «Оснащенные гильбертовы пространства хорошо известны как структура, которая придает правильное математическое значение формулировке Дирака квантовой механики ». ^[2]

Мотивация

Функция, такая как является собственной функцией дифференциального оператора на вещественной прямой R , но не суммируется с квадратом для обычной ( Лебега ) меры на R. Чтобы правильно рассматривать эту функцию как собственную, необходимо каким-то образом выйти за строгие рамки теории гильбертова пространства . Этому способствовал аппарат распределений , а после 1950 года была разработана обобщенная теория собственных функций . $${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Подход функционального анализа

Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из гильбертова пространства H вместе с подпространством Φ , которое несет более тонкую топологию , то есть такую, для которой естественное включение непрерывно. Нетрудно предположить, что Φ плотно в H по гильбертовой норме . Рассмотрим включение двойственных пространств H ^* в Φ ^* . Последний, двойственный Φ в своей топологии «основной функции», реализуется как пространство распределений или обобщенных функций того или иного вида, а линейные функционалы на подпространстве Φ типа для v в H точно представляются как распределения (поскольку мы предположим, что Φ плотное). $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Теперь, применив теорему о представлении Рисса, мы можем отождествить H ^* с H . Следовательно, определение оснащенного гильбертова пространства дается в виде сэндвича: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Наиболее значимыми примерами являются те, для которых Ф — ядерное пространство ; этот комментарий является абстрактным выражением идеи о том, что Φ состоит из тестовых функций, а Φ* — из соответствующих распределений . Также простой пример дают пространства Соболева : Здесь (в простейшем случае пространств Соболева на ) где . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$ ${\displaystyle s>0}$

Формальное определение (тройка Гельфанда)

Оснащенное гильбертово пространство — это пара ( H , Φ), где H — гильбертово пространство, Φ — плотное подпространство, такая, что Φ задана топологическая структура векторного пространства , для которой отображение включения i непрерывно.

Отождествляя H с его двойственным пространством H ^* , сопряженным к i является отображение $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Спаривание двойственности между Φ и Φ ^* тогда совместимо со скалярным произведением на H в том смысле, что: всякий раз, когда и . В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; оно будет комплексно-линейным по u (математическое соглашение) или v (физическое соглашение) и сопряженно-линейным (комплексное антилинейное) по другой переменной. $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

Тройку часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиля Гельфанда ). ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что Φ изоморфно Φ ^* (посредством представления Рисса ), если случается, что Φ само по себе является гильбертовым пространством, этот изоморфизм не совпадает с композицией включения i с присоединенным к нему i * $${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Рекомендации

1. Минлос, Р.А. (2001) [1994], "Rigged_Hilbert_space", Энциклопедия математики , EMS Press
2. Красноголовец, Владимир; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в квантовой физике . Издательство Nova Science. п. 79. ИСБН 978-1-59454-001-1.

• Ж.-П. Антуан, « Квантовая механика за пределами гильбертова пространства » (1996), фигурирующая в « Необратимости и причинности, полугруппах и оснащенных гильбертовых пространствах» , Арно Бом, Хайнц-Дитрих Дёбнер, Петр Келановский, ред., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Предоставляет обзор опроса.) 
• Ж. Дьедонне , «Элементы анализа VII» (1978). (См. пункты 23.8 и 23.32)
• И.М. Гельфанд и Н.Я. Виленкин . Обобщенные функции, вып. 4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1964.
• К. Маурин, Обобщенные разложения по собственным функциям и унитарные представления топологических групп , Польское научное издательство, Варшава, 1968.
• Р. де ла Мадрид, «Квантовая механика в оснащенном языке гильбертового пространства», докторская диссертация (2001).
• Р. де ла Мадрид, «Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике», Eur. Дж. Физ. 26, 287 (2005); квант-ф/0502053.