Мера продукта

В математике , зная два измеримых пространства и меры на них, можно получить произведение измеримого пространства и произведение меры в этом пространстве. Концептуально это похоже на определение декартова произведения множеств и топологии произведения двух топологических пространств, за исключением того , что может быть много естественных вариантов меры произведения.

Пусть и — два измеримых пространства , т. е. и — сигма-алгебры на и соответственно, и пусть и — меры на этих пространствах. Обозначим через сигма-алгебру на декартовом произведении , порожденном подмножествами вида , где и Эта сигма-алгебра называется σ-алгеброй тензорного произведения на пространстве произведений. ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$ ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}.}$

Мера продукта (также обозначаемая многими авторами) определяется как мера на измеримом пространстве, удовлетворяющая свойству ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

для всех

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$.

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение равным нулю, если какой-либо фактор равен нулю.)

Фактически, когда пространства -конечны , мера произведения определена однозначно, и для каждого измеримого множества E ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

где и , которые являются измеримыми множествами. ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$

Существование этой меры гарантируется теоремой Хана–Колмогорова . Единственность меры произведения гарантируется только в том случае, если оба и σ- конечны . ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$

Борелевские меры в евклидовом пространстве R ⁿ можно получить как произведение n копий борелевских мер на вещественной прямой R .

Даже если два фактора пространства продукта являются полными пространствами меры , пространство продукта может таковым не быть. Следовательно, процедура завершения необходима для расширения меры Бореля в меру Лебега или для расширения произведения двух мер Лебега для получения меры Лебега в пространстве произведений.

Конструкцией, противоположной образованию продукта двух мер, является дезинтеграция , которая в некотором смысле «разбивает» данную меру на семейство мер, которые можно интегрировать, чтобы получить исходную меру.

Примеры

• Учитывая два пространства меры, всегда существует единственная максимальная мера-произведение µ _max на их произведении со свойством, что если µ _max ( A ) конечен для некоторого измеримого множества A , то µ _max ( A ) = µ( A ) для любого мера произведения μ. В частности, его значение на любом измеримом множестве не меньше, чем значение любой другой меры продукта. Это мера, полученная по теореме Каратеодори о продолжении .
• Иногда существует также единственная мера минимального произведения µ _min , заданная выражением µ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S , µ max ( A ) конечного} µ _max ( A ), где A и S предполагаются измеримыми.
• Вот пример, когда продукт имеет более одной меры продукта. Возьмем произведение X × Y , где X — единичный интервал с мерой Лебега, а Y — единичный интервал со счетной мерой и всеми измеримыми множествами. Тогда для меры минимального произведения мера множества есть сумма мер его горизонтальных сечений, а для меры максимального произведения мера множества имеет бесконечность, если только оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида A × B , где либо A имеет меру Лебега 0, либо B — одна точка. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для минимальной меры продукта и бесконечность для меры максимального продукта.

Смотрите также

• Теорема Фубини

Рекомендации

• Лоев, Мишель (1977). «8.2. Меры произведения и повторные интегралы». Теория вероятностей, том. Я (4-е изд.). Спрингер. стр. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Халмош, Пол (1974). «35. Меры продукта». Теория меры . Спрингер. стр. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

В эту статью включены материалы из Product Measure на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .