Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Система квазилинейных гиперболических уравнений, описывающих адиабатическое и невязкое течение.

Обтекание крыла. Этот несжимаемый поток удовлетворяет уравнениям Эйлера.

В гидродинамике уравнения Эйлера представляют собой набор квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, управляющих адиабатическим и невязким потоком . Они названы в честь Леонарда Эйлера . В частности, им соответствуют уравнения Навье–Стокса с нулевой вязкостью и нулевой теплопроводностью . ^[1]

Уравнения Эйлера применимы к несжимаемым и сжимаемым потокам . Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости состоят из уравнений Коши для сохранения массы и баланса количества движения, а также из условия несжимаемости, согласно которому скорость потока представляет собой соленоидальное поле . Уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости состоят из уравнений сохранения массы, баланса импульса и баланса энергии, а также подходящего определяющего уравнения для удельной плотности энергии жидкости. Исторически Эйлер вывел только уравнения сохранения массы и баланса импульса. Однако в литературе по гидродинамике полный набор уравнений Эйлера для сжимаемости, включая уравнение энергии, часто называется «уравнениями Эйлера для сжимаемости». ^[2]

Математический характер уравнений Эйлера для несжимаемой и сжимаемой систем весьма различен. Для постоянной плотности жидкости уравнения несжимаемой жидкости можно записать как квазилинейное уравнение переноса для скорости жидкости вместе с эллиптическим уравнением Пуассона для давления. С другой стороны, сжимаемые уравнения Эйлера образуют квазилинейную гиперболическую систему уравнений сохранения .

Уравнения Эйлера могут быть сформулированы в «конвективной форме» (также называемой « лагранжевой формой ») или в «форме сохранения» (также называемой « эйлеровой формой »). Конвективная форма подчеркивает изменения состояния в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Форма сохранения подчеркивает математическую интерпретацию уравнений как уравнений сохранения для контрольного объема, фиксированного в пространстве (что полезно с числовой точки зрения).

История

Уравнения Эйлера впервые появились в опубликованной форме в статье Эйлера «Принципы общего движения жидкостей», опубликованной в «Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin» в 1757 году ^[3] (хотя ранее Эйлер представил свою работу Берлинской академии в 1752 году). ). ^[4] Уравнения Эйлера были одними из первых записанных уравнений в частных производных после волнового уравнения . В оригинальной работе Эйлера система уравнений состояла из уравнений импульса и неразрывности и, таким образом, была недоопределенной, за исключением случая несжимаемого потока. Дополнительное уравнение, получившее название адиабатического условия , было предложено Пьером-Симоном Лапласом в 1816 году.

Во второй половине XIX века было обнаружено, что уравнение, связанное с балансом энергии, должно всегда соблюдаться для сжимаемых течений, а условие адиабаты является следствием основных законов в случае гладких решений. С открытием специальной теории относительности понятия плотности энергии, плотности импульса и напряжения были объединены в понятие тензора энергии-импульса , а энергия и импульс аналогичным образом были объединены в единое понятие вектора энергии-импульса. . ^[4]

Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью

В конвективной форме (т.е. форме с оператором конвекции , явным в уравнении количества движения ) уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае постоянной плотности во времени и однородной в пространстве имеют вид: ^[5]

Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
( конвективная или лагранжева форма )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$— вектор скорости потока с компонентами в N -мерном пространстве , ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$, для родовой функции (или поля) обозначает ее материальную производную во времени относительно адвективного поля и ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \nabla w}$– градиент удельной (в смысле единицы массы ) термодинамической работы , внутренний исходный член и
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$– дивергенция скорости потока .
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$представляет ускорения тела (на единицу массы), действующие на континуум, например гравитацию , инерционные ускорения, ускорение электрического поля и т. д.

Первое уравнение — это уравнение количества движения Эйлера с однородной плотностью (для этого уравнения оно также не может быть постоянным во времени). Расширяя материальную производную , уравнения принимают вид:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$$

Фактически для потока с однородной плотностью справедливо следующее тождество: ${\displaystyle \rho _{0}}$

$${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p}$$

давлениенесжимаемую связьсоленоидальное поленеразрывностиуравнение неразрывностиили ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$$

Таким образом, случай постоянной и однородной плотности является единственным, который не требует уравнения неразрывности в качестве дополнительного уравнения независимо от наличия или отсутствия несжимаемой связи. Фактически, случай несжимаемых уравнений Эйлера с постоянной и однородной плотностью, обсуждаемый здесь, представляет собой игрушечную модель , включающую только два упрощенных уравнения, поэтому он идеален для дидактических целей, даже если и имеет ограниченную физическую значимость.

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют соответственно сохранение массы (1 скалярное уравнение) и импульса (1 векторное уравнение, содержащее скалярные компоненты, где – физический размер интересующего пространства). Скорость потока и давление являются так называемыми физическими переменными . ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

В системе координат, заданной векторами скорости и внешней силы и имеют компоненты и соответственно. Тогда уравнения можно выразить в индексной записи следующим образом: ${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{N})}$ ${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

Особенности ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i}\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0\end{aligned}}\right.}$

где индексы и обозначают компоненты N -мерного пространства, а – дельта Кронекера . Также часто используется нотация Эйнштейна (где сумма подразумевается повторяющимися индексами вместо сигма-нотации ). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Характеристики

Хотя Эйлер впервые представил эти уравнения в 1755 году, многие фундаментальные вопросы или концепции о них остаются без ответа.

В трех измерениях пространства в некоторых упрощенных сценариях уравнения Эйлера создают сингулярности. ^[6]

Гладкие решения свободных (в смысле отсутствия исходного члена: g=0) уравнений удовлетворяют закону сохранения удельной кинетической энергии:

$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0}$$

В одномерном случае без исходного члена (как градиента давления, так и внешней силы) уравнение количества движения становится невязким уравнением Бюргерса :

$${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0}$$

Это модельное уравнение дает много информации об уравнениях Эйлера.

Безразмерность

Чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину и характеристическую скорость . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные: ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle u_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla \end{aligned}}}$$

и единичного вектора

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}},}$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения Эйлера, определяющие число Фруда , дает (опуская * в вершине):

Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
( безразмерная форма )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}{\hat {\mathbf {g} }}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

Уравнения Эйлера в пределе Фруда (отсутствие внешнего поля) называются свободными уравнениями и являются консервативными. Таким образом, предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Форма сохранения

Форма сохранения подчеркивает математические свойства уравнений Эйлера, и особенно сжатая форма часто является наиболее удобной для вычислительного моделирования гидродинамики . С вычислительной точки зрения использование сохраняющихся переменных дает некоторые преимущества. Это порождает большой класс численных методов, называемых консервативными методами. ^[1]

Свободные уравнения Эйлера консервативны в том смысле, что они эквивалентны уравнению сохранения:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$

потока ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Демонстрация формы консервации

Во-первых, имеют место следующие тождества:

$${\displaystyle \nabla \cdot (w\mathbf {I} )=\mathbf {I} \cdot \nabla w+w\nabla \cdot \mathbf {I} =\nabla w}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$$

где обозначает внешний продукт . Те же тождества, выраженные в обозначениях Эйнштейна : ${\displaystyle \otimes }$

$${\displaystyle \partial _{i}\left(w\delta _{ij}\right)=\delta _{ij}\partial _{i}w+w\partial _{i}\delta _{ij}=\delta _{ij}\partial _{i}w=\partial _{j}w}$$

$${\displaystyle u_{j}\partial _{i}u_{i}=\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}\right)}$$

где I — единичная матрица размерности N , а δij _— ее общий элемент, дельта Кронекера.

Благодаря этим векторным тождествам несжимаемые уравнения Эйлера с постоянной и однородной плотностью и без внешнего поля могут быть приведены к так называемой сохраняющейся (или эйлеровой) дифференциальной форме с векторными обозначениями:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \right)&=\mathbf {0} \\{\partial 0 \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}\right.}$$

или с обозначением Эйнштейна:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\partial _{t}u_{j}+\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right)&=0\\\partial _{t}0+\partial _{j}u_{j}&=0,\end{aligned}}\right.}$$

Тогда несжимаемые уравнения Эйлера с однородной плотностью имеют переменные сохранения:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что во втором компоненте u сам по себе является вектором длины N, поэтому y имеет длину N+1, а F имеет размер N(N+1). Например, в 3D y имеет длину 4, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 4×3, поэтому явные формы таковы:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}u_{1}^{2}+w&u_{1}u_{2}&u_{1}u_{3}\\u_{2}u_{1}&u_{2}^{2}+w&u_{2}u_{3}\\u_{3}u_{1}&u_{3}u_{2}&u_{3}^{2}+w\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$

Наконец, уравнения Эйлера можно преобразовать в конкретное уравнение:

Несжимаемое уравнение Эйлера с постоянной и однородной плотностью
( сохранение или эйлерова форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}}$

Пространственные размеры

Для некоторых задач, особенно при анализе течения сжимаемой жидкости в воздуховоде или в случае, если поток цилиндрически или сферически симметричен, одномерные уравнения Эйлера являются полезным первым приближением. Обычно уравнения Эйлера решаются методом характеристик Римана . Это включает в себя поиск кривых на плоскости независимых переменных (т. е. и ), вдоль которых уравнения в частных производных (ЧДУ) вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Численные решения уравнений Эйлера во многом опираются на метод характеристик. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Несжимаемые уравнения Эйлера

В конвективной форме уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае переменной плотности в пространстве имеют вид: ^[5]

Несжимаемые уравнения Эйлера
( конвективная или лагранжева форма )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=0\\{D\mathbf {u} \over Dt}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

где дополнительные переменные:

• ${\displaystyle \rho }$- массовая плотность жидкости ,
• ${\displaystyle p}$это давление , . ${\displaystyle p=\rho w}$

Первое уравнение, которое является новым, представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости . Фактически общее уравнение непрерывности будет выглядеть так:

$${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

но здесь последний член тождественно равен нулю для ограничения несжимаемости.

Форма сохранения

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и соответствующим потоком соответственно:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Здесь есть длина и размер . ^[a] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle N+2}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (N+2)N}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}}$$

Переменные сохранения

Переменные для уравнений в форме сохранения еще не оптимизированы. Фактически мы могли бы определить:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}.}$$

, ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

Несжимаемые уравнения Эйлера
( сохранение или эйлерова форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

где плотность силы , переменная сохранения. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Уравнения Эйлера

В дифференциально-конвективной форме сжимаемые (и наиболее общие) уравнения Эйлера можно коротко записать с использованием обозначения материальной производной :

Уравнения Эйлера
( конвективная форма )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=-\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\[1.2ex]{De \over Dt}&=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}\right.}$

где дополнительные переменные здесь:

• ${\displaystyle e}$– удельная внутренняя энергия (внутренняя энергия единицы массы).

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют сохранение массы , импульса и энергии : уравнение энергии, выраженное в переменной внутренней энергии, позволяет понять связь с несжимаемым случаем, но это не в самой простой форме. Плотность массы, скорость потока и давление являются так называемыми конвективными переменными (или физическими переменными, или лагранжевыми переменными), тогда как плотность массы, плотность импульса и полная плотность энергии являются так называемыми сохраняющимися переменными (также называемыми эйлеровыми или математическими переменными). . ^[1]

Если расширить производную материала, приведенные выше уравнения будут следующими:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} \\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$$

Несжимаемое ограничение (еще раз)

Возвращаясь к несжимаемому случаю, теперь становится очевидным, что несжимаемая связь, типичная для первых случаев, на самом деле представляет собой особую форму, справедливую для несжимаемых потоков уравнения энергии , а не уравнения массы. В частности, несжимаемая связь соответствует следующему очень простому уравнению энергии:

$${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0}$$

Таким образом, для несжимаемой невязкой жидкости удельная внутренняя энергия постоянна вдоль линий тока , в том числе и в потоке, зависящем от времени. Давление в несжимаемом потоке действует как множитель Лагранжа , являясь множителем несжимаемой связи в уравнении энергии, и, следовательно, в несжимаемых потоках оно не имеет термодинамического смысла. Фактически термодинамика типична для сжимаемых течений и вырождается в несжимаемые течения. ^[7]

Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно представить в виде сохранения:

$${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0}$$

Сохранение энтальпии

Поскольку по определению удельная энтальпия равна:

$${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}}$$

Материальную производную удельной внутренней энергии можно выразить как:

$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right)}$$

Тогда, подставив уравнение импульса в это выражение, получим:

$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right)}$$

И подставив последнее в уравнение энергии, получим, что выражение энтальпии для уравнения энергии Эйлера:

$${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}}$$

В системе отсчета, движущейся с невязким и непроводящим потоком, изменение энтальпии напрямую соответствует изменению давления.

Термодинамика идеальных жидкостей

В термодинамике независимыми переменными являются удельный объем и удельная энтропия , а удельная энергия является функцией состояния этих двух переменных.

Вывод формы, справедливой для термодинамических систем

Учитывая первое уравнение, переменную необходимо изменить с плотности на удельный объем. По определению:

$${\displaystyle v\equiv {\frac {1}{\rho }}}$$

Таким образом, имеют место следующие тождества:

$${\displaystyle \nabla \rho =\nabla \left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}\nabla v}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}}$$

Затем подставив эти выражения в уравнение сохранения массы:

$${\displaystyle -{\frac {\mathbf {u} }{v^{2}}}\cdot \nabla v-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{v}}\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

И путем умножения:

$${\displaystyle {\partial v \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla v=v\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Это уравнение является единственным, принадлежащим к общим уравнениям сплошной среды, поэтому только это уравнение имеет такой же вид, например, и в уравнениях Навье-Стокса.

С другой стороны, давление в термодинамике противоположно частной производной удельной внутренней энергии по удельному объему:

$${\displaystyle p(v,s)=-{\partial e(v,s) \over \partial v}}$$

поскольку внутренняя энергия в термодинамике является функцией двух вышеупомянутых переменных, градиент давления, содержащийся в уравнении количества движения, должен быть выражен как:

$${\displaystyle -\nabla p(v,s)=-{\frac {\partial p}{\partial v}}\nabla v-{\frac {\partial p}{\partial s}}\nabla s={\frac {\partial ^{2}e}{\partial v^{2}}}\nabla v+{\frac {\partial ^{2}e}{\partial v\partial s}}\nabla s}$$

Для краткости удобно поменять обозначения производных второго порядка:

$${\displaystyle -\nabla p(v,s)=e_{vv}\nabla v+e_{vs}\nabla s}$$

Наконец, уравнение энергии:

$${\displaystyle {De \over Dt}=-pv\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

в конвективной форме можно еще больше упростить, изменив переменную с удельной энергии на удельную энтропию: фактически первый закон термодинамики в локальной форме можно записать:

$${\displaystyle {De \over Dt}=T{Ds \over Dt}-p{Dv \over Dt}}$$

путем замены материальной производной внутренней энергии уравнение энергии принимает вид:

$${\displaystyle T{Ds \over Dt}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\left({D\rho \over Dt}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \right)=0}$$

теперь член в скобках тождественно равен нулю в соответствии с законом сохранения массы, тогда уравнение энергии Эйлера становится простым:

$${\displaystyle {Ds \over Dt}=0}$$

Следовательно, для термодинамической жидкости уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости лучше всего записать как:

Уравнения Эйлера
( конвективная форма, для термодинамической системы )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=ve_{vv}\nabla v+ve_{vs}\nabla s+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt}&=0\end{aligned}}\right.}$

где:

• ${\displaystyle v}$это удельный объем
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$вектор скорости потока
• ${\displaystyle s}$это удельная энтропия

В общем случае, а не только в несжимаемом случае, уравнение энергии означает, что для невязкой термодинамической жидкости удельная энтропия постоянна вдоль линий тока , в том числе и в потоке, зависящем от времени. Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно представить в виде сохранения: ^[8]

$${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0}$$

С другой стороны, две частные производные удельной внутренней энергии второго порядка в уравнении количества движения требуют указания фундаментального уравнения состояния рассматриваемого материала, т.е. удельной внутренней энергии как функции двух переменных: удельного объема и удельная энтропия:

$${\displaystyle e=e(v,s)}$$

Фундаментальное уравнение состояния содержит всю термодинамическую информацию о системе (Callen, 1985), ^{[9] точно так же} , как пара теплового уравнения состояния вместе с калорическим уравнением состояния.

Форма сохранения

Уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и соответствующим потоком соответственно:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}.}$$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$— плотность импульса , переменная сохранения.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$- полная плотность энергии (полная энергия на единицу объема).

Здесь имеет длину N + 2 и размер N(N + 2). ^[b] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Уравнение(я) Эйлера
( исходное сохранение или эйлерова форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \cdot \mathbf {f} \end{pmatrix}}}$

где плотность силы , переменная сохранения. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Заметим, что уравнение Эйлера, даже если оно консервативно (отсутствие внешнего поля, предел Фруда), вообще говоря, не имеет инвариантов Римана ^{. [10]} Требуются некоторые дополнительные предположения.

Однако мы уже упоминали, что для термодинамической жидкости уравнение полной плотности энергии эквивалентно уравнению сохранения:

$${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0}$$

Тогда уравнения сохранения в случае термодинамической жидкости проще выражаются так:

Уравнение (я) Эйлера
( форма сохранения для термодинамических жидкостей )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\S\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\S{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

где – плотность энтропии, термодинамическая переменная сохранения. ${\displaystyle S=\rho s}$

Другая возможная форма уравнения энергии, особенно полезная для изобар :

$${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

энтальпии ${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

Квазилинейная форма и характеристические уравнения

Расширение потоков может быть важной частью построения численных решателей , например, путем использования ( приблизительных ) решений задачи Римана . В областях, где вектор состояния y изменяется плавно, уравнения в консервативной форме можно привести к квазилинейной форме:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$

якобианамиматрицы ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

Очевидно, что этот якобиан не существует в областях разрывов (например, контактных разрывов, ударных волн в невязких непроводящих потоках). Если якобианы потока не являются функциями вектора состояния , уравнения оказываются линейными . ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Характеристические уравнения

Сжимаемые уравнения Эйлера можно разделить на набор волновых уравнений N+2, который описывает звук в эйлеровом континууме, если они выражены в характеристических переменных вместо сохраняющихся переменных.

На самом деле тензор A всегда диагонализуем . Если все собственные значения (в случае уравнений Эйлера) действительны, система определяется как гиперболическая , а физически собственные значения представляют собой скорости распространения информации. ^[11] Если они все отмечены, система определяется строго гиперболической (будет доказано, что это случай одномерных уравнений Эйлера). Кроме того, диагонализацию уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости легче провести, когда уравнение энергии выражается в переменной энтропии (т.е. с помощью уравнений для термодинамических жидкостей), чем в других переменных энергии. Это станет ясно, если рассмотреть случай 1D.

Если — правый собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению , путем построения матрицы проекции : ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right]}$$

Наконец, можно найти характеристические переменные как:

$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} ,}$$

Поскольку A является постоянным, умножение исходного одномерного уравнения в форме потока Якобиана на P ⁻¹ дает характеристические уравнения: ^[12]

$${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}}$$

Исходные уравнения были разделены на N+2 характеристических уравнения, каждое из которых описывает простую волну, причем собственные значения представляют собой скорости волн. Переменные w _i называются характеристическими переменными и представляют собой подмножество консервативных переменных. Наконец, решение задачи начального значения в терминах характеристических переменных оказывается очень простым. В одном пространственном измерении это:

$${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)}$$

Тогда решение в терминах исходных консервативных переменных получается путем обратного преобразования:

$${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i},}$$

Теперь становится очевидным, что характеристические переменные действуют как веса в линейной комбинации собственных векторов Якобиана. Решение можно рассматривать как суперпозицию волн, каждая из которых адвектируется независимо без изменения формы. Каждая i - _я волна имеет форму w _i pi и скорость распространения λ _i . Ниже мы покажем очень простой пример этой процедуры решения.

Волны в одномерной невязкой непроводящей термодинамической жидкости

Если рассматривать уравнения Эйлера для термодинамической жидкости с двумя дополнительными предположениями об одном пространственном измерении и свободе (отсутствие внешнего поля: g  = 0):

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0\end{aligned}}\right.}$$

Если определить вектор переменных:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

Сначала необходимо найти собственные значения этой матрицы, решив характеристическое уравнение :

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0}$$

это явно:

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0}$$

Этот определитель очень прост: самые быстрые вычисления начинаются с последней строки, поскольку в ней наибольшее количество нулевых элементов.

$${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0}$$

Теперь, вычислив определитель 2×2:

$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0}$$

$${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}}}$$

$${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}}$$

Этот параметр всегда действителен согласно второму закону термодинамики . Фактически второй закон термодинамики можно выразить несколькими постулатами. Самым элементарным из них в математическом плане является утверждение о выпуклости фундаментального уравнения состояния, т.е. матрицы Гессе удельной энергии, выраженной как функция удельного объема и удельной энтропии:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

Первое условие гарантирует, что параметр a определен как действительный.

В конечном итоге характеристическое уравнение дает:

$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

Это имеет три реальных решения:

$${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s)\quad \lambda _{2}(u)=u,\quad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s)}$$

Тогда матрица имеет три действительных собственных значения, все из которых различаются: одномерные уравнения Эйлера представляют собой строго гиперболическую систему .

На этом этапе необходимо определить три собственных вектора: каждый из них получается путем подстановки одного собственного значения в уравнение собственных значений и последующего его решения. Подставив первое собственное значение λ ₁ , получим:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

На основе третьего уравнения, которое просто имеет решение s ₁ =0, система сводится к:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

Оба уравнения, как обычно, избыточны, тогда собственный вектор определяется с помощью умножающей константы. Выбираем в качестве правого собственного вектора:

$${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}}$$

Два других собственных вектора можно найти аналогичной процедурой:

$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}}$$

Тогда можно построить матрицу проекции:

$${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}}$$

Наконец, становится очевидным, что действительный параметр a, определенный ранее, представляет собой скорость распространения информационной характеристики гиперболической системы, составленной из уравнений Эйлера, т. е. это скорость волны . Осталось показать, что скорость звука соответствует частному случаю изэнтропического преобразования :

$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}}$$

Сжимаемость и скорость звука

Скорость звука определяется как скорость волны изэнтропического преобразования:

$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}}$$

$${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}$$

$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}}$$

Идеальный газ

Скорость звука в идеальном газе зависит только от его температуры:

$${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}}$$

Вывод вида, справедливый для идеальных газов

В идеальном газе изоэнтропийное превращение описывается законом Пуассона:

$${\displaystyle d\left(p\rho ^{-\gamma }\right)_{s}=0}$$

где γ — коэффициент теплоемкости , константа для материала. Выясняя дифференциалы:

$${\displaystyle \rho ^{-\gamma }(dp)_{s}+\gamma p\rho ^{-\gamma -1}(d\rho )_{s}=0}$$

и разделив на ρ ^{− γ} d ρ :

$${\displaystyle \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}=\gamma p\rho }$$

Тогда, подставив в общие определения идеального газа, изэнтропическая сжимаемость просто пропорциональна давлению:

$${\displaystyle K_{s}(p)=\gamma p}$$

и результаты скорости звука ( закон Ньютона-Лапласа ):

$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)={\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}}$$

Примечательно, что для идеального газа справедлив закон идеального газа , который в математической форме выглядит просто:

$${\displaystyle p=nT}$$

где n — плотность чисел , а T — абсолютная температура , при условии, что она измеряется в энергетических единицах (т. е. в джоулях ) путем умножения на постоянную Больцмана . Поскольку массовая плотность пропорциональна числовой плотности через среднюю молекулярную массу m материала:

$${\displaystyle \rho =mn}$$

Закон идеального газа можно записать в формулу:

$${\displaystyle {\frac {p}{\rho }}={\frac {T}{m}}}$$

Подставляя это соотношение в закон Ньютона-Лапласа, наконец достигается выражение скорости звука в идеальном газе как функции температуры.

Поскольку удельная энтальпия идеального газа пропорциональна его температуре:

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}}}$$

скорость звука в идеальном газе также можно поставить в зависимость только от его удельной энтальпии:

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}}$$

Теорема Бернулли для установившегося невязкого течения.

Теорема Бернулли является прямым следствием уравнений Эйлера.

Несжимаемый случай и форма Лэмба.

Тождество векторного исчисления векторного произведения ротора имеет место:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

где используется индекс Фейнмана , что означает, что индексный градиент работает только с коэффициентом . ${\displaystyle \nabla _{F}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.), которая до сих пор издается, использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока в вращательной форме: ^[13]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$$

уравнение количества движения Эйлера в форме Лэмба принимает вид:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

Теперь, основываясь на другом тождестве:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho }$$

уравнение количества движения Эйлера принимает форму, оптимальную для демонстрации теоремы Бернулли для установившихся потоков:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

Действительно, в случае внешнего консервативного поля , определив его потенциал φ:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

В случае установившегося течения производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает вид:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

А при проектировании уравнения количества движения на направление потока, т. е. вдоль линии тока , векторное произведение исчезает, поскольку его результат всегда перпендикулярен скорости:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$$

В устойчивом несжимаемом случае уравнение массы имеет простой вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$

закон сохранения массы для устойчивого несжимаемого потока утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0}$$

Теперь очевидно удобство определения полного напора для потока невязкой жидкости:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

что можно просто записать как:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0}$$

То есть баланс импульсов для устойчивого невязкого и несжимаемого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что общий напор вдоль линии тока постоянен .

Сжимаемый корпус

В наиболее общем стационарном (сжимаемом) случае уравнение массы в форме сохранения имеет вид:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Правая часть появляется в уравнении энергии в конвективной форме, которая в установившемся состоянии выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Таким образом, уравнение энергии принимает вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

так что внутренняя удельная энергия теперь проявляется в голове.

Поскольку потенциал внешнего поля обычно мал по сравнению с остальными членами, последние удобно сгруппировать в общую энтальпию :

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}}$$

а инвариант Бернулли для потока невязкого газа:

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

что можно записать как:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0}$$

То есть баланс энергии для стационарного невязкого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что сумма полной энтальпии и внешнего потенциала постоянна вдоль линии тока .

В обычном случае небольшого потенциального поля просто:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0}$$

Форма Фридмана и форма Крокко.

Заменяя градиент давления градиентом энтропии и энтальпии, согласно первому закону термодинамики в энтальпийной форме:

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h}$$

в конвективной форме уравнения количества движения Эйлера получаем:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h}$$

Фридман вывел это уравнение для частного случая идеального газа и опубликовал его в 1922 году. ^[14] Однако это уравнение является общим для невязкой непроводящей жидкости, и в нем нет неявного уравнения состояния.

С другой стороны, подставляя энтальпийную форму первого закона термодинамики во вращательную форму уравнения количества движения Эйлера, получаем:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} }$$

и определив удельную полную энтальпию:

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2}}$$

приходим к форме Крокко–Вазсони ^[15] (Crocco, 1937) уравнения количества движения Эйлера:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} }$$

В устойчивом случае две переменные, энтропия и полная энтальпия, особенно полезны, поскольку уравнения Эйлера можно преобразовать в форму Крокко:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0\end{aligned}}\right.}$$

Наконец, если поток также изотермический:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts)}$$

определив удельную полную свободную энергию Гиббса :

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts}$$

форму Крокко можно свести к:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0\end{aligned}}\right.}$$

Из этих соотношений можно сделать вывод, что удельная полная свободная энергия однородна в установившемся, безвихревом, изотермическом, изоэнтропическом, невязком потоке.

разрывы

Уравнения Эйлера — квазилинейные гиперболические уравнения, а их общие решения — волны . При определенных предположениях их можно упростить, приведя к уравнению Бюргерса . Подобно знакомым океанским волнам , волны, описываемые уравнениями Эйлера, «разбиваются» и образуются так называемые ударные волны ; это нелинейный эффект, который означает, что решение становится многозначным . Физически это представляет собой отказ от предположений, которые привели к формулировке дифференциальных уравнений, и для извлечения дополнительной информации из уравнений мы должны вернуться к более фундаментальной интегральной форме. Затем формулируются слабые решения путем обработки «скачков» (разрывов) величин потока – плотности, скорости, давления, энтропии – с использованием уравнений Рэнкина – Гюгонио . Физические величины редко бывают прерывистыми; в реальных течениях эти разрывы сглаживаются вязкостью и теплообменом . (См. уравнения Навье – Стокса )

Распространение ударной волны изучается, среди многих других областей, в аэродинамике и ракетном движении , где возникают достаточно быстрые потоки.

Правильно вычислить континуальные величины в разрывных зонах (например, ударных волнах или пограничных слоях) из локальных форм ^[в] (все указанные выше формы являются локальными формами, поскольку описываемые переменные типичны для одной точки рассматриваемого пространства, т.е. они являются локальными переменными ) уравнений Эйлера с помощью методов конечных разностей , как правило, для памяти компьютеров сейчас и в ближайшем будущем потребуется слишком много пространственных точек и временных шагов. В этих случаях необходимо избегать локальных форм уравнений сохранения, передавая некоторые слабые формы , такие как форма конечного объема .

Уравнения Ренкина – Гюгонио.

Начиная с простейшего случая, рассмотрим стационарное свободное уравнение сохранения в форме сохранения в пространственной области:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} }$$

где вообще F — матрица потока. Путем интегрирования этого локального уравнения по фиксированному объему V _m получим:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

Тогда, опираясь на теорему о расходимости , можно преобразовать этот интеграл в граничный интеграл от потока:

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

Эта глобальная форма просто утверждает, что не существует чистого потока сохраняющейся величины, проходящей через область в устойчивом случае и без источника. В 1D объем сводится к интервалу , его граница является его экстремумами, тогда теорема о дивергенции сводится к фундаментальной теореме исчисления :

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

это простое конечно-разностное уравнение , известное как соотношение скачка :

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

Это можно выразить явно так:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} }$$

где используются обозначения:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

Или, если выполнить неопределенный интеграл:

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

С другой стороны, переходное уравнение сохранения:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} }$$

приводит к отношению перехода:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

Для одномерных уравнений Эйлера переменными сохранения и потоком являются векторы:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

где:

• ${\displaystyle v}$это удельный объем,
• ${\displaystyle j}$это поток массы.

В одномерном случае соответствующие соотношения скачков, называемые уравнениями Рэнкина–Гюгонио , имеют вид: < ^[16]

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p)\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}\right.}$$

В устойчивом одномерном случае это выглядит просто:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}\right.}$$

Благодаря уравнению разности масс уравнение разности энергий можно упростить без каких-либо ограничений:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0\end{aligned}}\right.,}$$

где – удельная полная энтальпия. ${\displaystyle h^{t}}$

Обычно они выражаются в конвективных переменных:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}\right.}$$

где:

• ${\displaystyle u}$это скорость потока
• ${\displaystyle e}$– удельная внутренняя энергия.

Уравнение энергии представляет собой интегральную форму уравнения Бернулли в сжимаемом случае. Прежние уравнения массы и импульса путем замены приводят к уравнению Рэлея:

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

Поскольку второй член является константой, уравнение Рэлея всегда описывает простую линию в плоскости давления-объема, не зависящую ни от какого уравнения состояния, т. е. линию Рэлея. Путем подстановки в уравнения Рэнкина – Гюгонио это также можно выразить явно следующим образом:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0}\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0}\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}\right.}$$

Можно также получить кинетическое уравнение и к уравнению Гюгонио. Аналитические отрывки здесь не приводятся для краткости.

Это соответственно:

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v)\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}\right.}$$

Уравнение Гюгонио в сочетании с фундаментальным уравнением состояния материала:

$${\displaystyle e=e(v,p)}$$

описывает в общем случае в плоскости давления-объема кривую, протекающую при условиях (v ₀ , p ₀ ), т. е. кривую Гюгонио, форма которой сильно зависит от типа рассматриваемого материала.

Также принято определять функцию Гюгонио : ^[17]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0})}$$

позволяющий количественно оценить отклонения от уравнения Гюгонио, аналогично предыдущему определению гидравлического напора , что полезно для отклонений от уравнения Бернулли.

Форма конечного объема

С другой стороны, путем интегрирования общего уравнения сохранения:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$$

на фиксированном объеме V _m , а затем на основании теоремы о дивергенции получается:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

Интегрируя это уравнение также по временному интервалу:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

Теперь, определив сохраняемую величину узла:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

выводим форму конечного объема:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$

В частности, для уравнений Эйлера после определения сохраняющихся величин конвективные переменные выводятся путем обратной замены:

$${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \mathbf {u} _{m,n}={\frac {\mathbf {j} _{m,n}}{\rho _{m,n}}}\\[1.2ex]\displaystyle e_{m,n}={\frac {E_{m,n}^{t}}{\rho _{m,n}}}-{\frac {1}{2}}u_{m,n}^{2}.\end{cases}}}$$

Тогда явные выражения исходных конвективных переменных для конечного объема будут следующими: < ^[18]

Уравнения Эйлера
( форма конечного объема )

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\rho _{m,n+1}&=\rho _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\rho \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {u} _{m,n+1}&=\mathbf {u} _{m,n}-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -p\mathbf {I} )\cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {e} _{m,n+1}&=\mathbf {e} _{m,n}-{\frac {1}{2}}\left(u_{m,n+1}^{2}-u_{m,n}^{2}\right)-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\left(\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}+p\right)\mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\end{aligned}}\right..}$

Ограничения

Показано, что уравнения Эйлера не являются полной системой уравнений, но для принятия единственного решения они требуют некоторых дополнительных ограничений: это уравнение состояния рассматриваемого материала. Чтобы быть совместимыми с термодинамикой, эти уравнения состояния должны удовлетворять двум законам термодинамики. С другой стороны, неравновесные системы по определению описываются законами, лежащими вне этих законов. Ниже мы перечислим некоторые очень простые уравнения состояния и соответствующее влияние на уравнения Эйлера.

Идеальный политропный газ

Для идеального политропного газа фундаментальное уравнение состояния имеет вид: ^[19]

$${\displaystyle e(v,s)=e_{0}e^{(\gamma -1)m\left(s-s_{0}\right)}\left({v_{0} \over v}\right)^{\gamma -1}}$$

где – удельная энергия, – удельный объем, – удельная энтропия, – молекулярная масса, здесь считается постоянной ( политропный процесс ), и можно показать, что она соответствует коэффициенту теплоемкости . Можно показать, что это уравнение согласуется с обычными уравнениями состояния, используемыми в термодинамике. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$

Демонстрация соответствия термодинамике идеального газа.

По термодинамическому определению температуры:

$${\displaystyle T(e)\equiv {\partial e \over \partial s}=(\gamma -1)me}$$

Где температура измеряется в энергетических единицах. Прежде всего заметим, что, объединив эти два уравнения, можно вывести закон идеального газа :

$${\displaystyle pv=mT}$$

или в обычной форме:

$${\displaystyle p=nT}$$

где: – числовая плотность материала. С другой стороны, закон идеального газа менее строгий, чем исходное рассматриваемое фундаментальное уравнение состояния. ${\displaystyle n\equiv {\frac {m}{v}}}$

Теперь рассмотрим молярную теплоемкость, связанную с процессом x :

$${\displaystyle c_{x}=\left(mT{\partial s \over \partial T}\right)_{x}}$$

согласно первому закону термодинамики:

$${\displaystyle de(v,s)=-pdv+T\,ds}$$

это можно просто выразить так:

$${\displaystyle c_{x}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{x}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{x}}$$

Теперь, обращая уравнение для температуры T(e), мы приходим к выводу, что для идеального политропного газа изохорная теплоемкость является константой:

$${\displaystyle c_{v}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{v}=m{de \over dT}={\frac {1}{(\gamma -1)}}}$$

и аналогично для идеального политропного газа изобарная теплоемкость оказывается постоянной:

$${\displaystyle c_{p}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{p}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}=m{de \over dT}+p\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}={\frac {1}{(\gamma -1)}}+1}$$

Это приводит к двум важным соотношениям между теплоемкостями : постоянная гамма фактически представляет собой коэффициент теплоемкости в идеальном политропном газе:

$${\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}}=\gamma }$$

и мы также приходим к соотношению Мейера :

$${\displaystyle c_{p}=c_{v}+1}$$

Тогда удельная энергия, путем обращения соотношения T(e):

$${\displaystyle e(T)={\frac {mT}{\gamma -1}}=c_{v}mT}$$

Удельная энтальпия получается в результате замены последнего и закона идеального газа:

$${\displaystyle h(T)\equiv e(T)+(pv)(T)=c_{v}mT+mT=c_{p}mT}$$

Из этого уравнения можно вывести уравнение давления согласно его термодинамическому определению:

$${\displaystyle p(v,e)\equiv -{\partial e \over \partial v}=(\gamma -1){\frac {e}{v}}}$$

Инвертируя его, приходим к механическому уравнению состояния:

$${\displaystyle e(v,p)={\frac {pv}{\gamma -1}}}$$

Тогда для идеального газа уравнения Эйлера для сжимаемости можно просто выразить в механических или примитивных переменных (удельном объеме, скорости потока и давлении), взяв набор уравнений термодинамической системы и изменив уравнение энергии в уравнение давления с помощью этого механического уравнения. уравнение состояния. Наконец, в конвективной форме они приводят:

Уравнения Эйлера для идеального политропного газа
( конвективная форма ) ^[20]

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=v\nabla p+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Dp \over Dt}&=-\gamma p\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}\right.}$

и в одномерной квазилинейной форме получают:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}={\mathbf {0} }.}$$

где консервативная векторная переменная равна:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}}}$$

и соответствующая матрица Якобиана: ^{[21] [22]}

$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}.}$$

Устойчивый поток в материальных координатах

В случае стационарного течения в качестве системы координат для описания уравнения Эйлера установившегося импульса удобно выбрать систему Френе–Серре вдоль линии тока : ^[23]

$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$$

где и обозначают скорость потока , давление и плотность соответственно. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Пусть – ортонормированный базис Френе–Серре , который состоит из касательного единичного вектора, нормального единичного вектора и бинормального единичного вектора к линии тока соответственно. Поскольку линия тока представляет собой кривую, касательную к вектору скорости потока, левую часть приведенного выше уравнения, конвективную производную скорости, можно описать следующим образом: ${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b}\right\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}\\[1ex]&=u{\frac {\partial }{\partial s}}(u{\boldsymbol {e}}_{s})&({\boldsymbol {u}}=u{\boldsymbol {e}}_{s},~{\partial /\partial s}\equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla )\\[1ex]&=u{\frac {\partial u}{\partial s}}{\boldsymbol {e}}_{s}+{\frac {u^{2}}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n}&(\because ~{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}_{s}}{\partial s}}={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n}),\end{aligned}}}$$

где – радиус кривизны линии тока. ${\displaystyle R}$

Таким образом, импульсная часть уравнений Эйлера для установившегося течения имеет простой вид:

$${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial s}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}},\\\displaystyle {u^{2} \over R}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla ),\\\displaystyle 0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial b}}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla ).\end{cases}}}$$

Для баротропного потока уравнение Бернулли выводится из первого уравнения: ${\displaystyle (\rho =\rho (p))}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\right)=0.}$$

Второе уравнение выражает, что в случае, если линия тока искривлена, должен существовать градиент давления, нормальный к линии тока, поскольку центростремительное ускорение пакета жидкости создается только нормальным градиентом давления.

Третье уравнение выражает, что давление постоянно вдоль бинормальной оси.

Теорема о кривизне обтекания

«Теорема о кривизне обтекаемой линии» утверждает, что давление на верхней поверхности профиля ниже, чем давление вдали, и что давление на нижней поверхности выше, чем давление вдали; следовательно, разница давлений между верхней и нижней поверхностями аэродинамического профиля создает подъемную силу.

Пусть – расстояние от центра кривизны линии тока, тогда второе уравнение запишется следующим образом: ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {u^{2}}{r}}~(>0),}$$

где ${\displaystyle {\partial /\partial r}=-{\partial /\partial n}.}$

Это уравнение гласит:

При установившемся течении невязкой жидкости без внешних сил центр кривизны линии тока лежит в сторону уменьшения радиального давления.

Хотя эта связь между полем давления и кривизной потока очень полезна, она не имеет названия в англоязычной научной литературе. ^[24] Японские гидродинамики называют это соотношение «теоремой о кривизне потока». ^[25]

Эта «теорема» ясно объясняет, почему в центре вихрей , ^[24] состоящих из концентрических кругов линий тока, такое низкое давление . Это также способ интуитивно объяснить, почему аэродинамические профили создают подъемную силу . ^[24]

Точные решения

Все решения потенциального потока также являются решениями уравнений Эйлера, в частности уравнений Эйлера несжимаемой жидкости, когда потенциал гармоничен. ^[26]

Двумерный параллельный сдвиговый поток.

Решениями уравнений Эйлера с завихренностью являются:

• параллельные сдвиговые потоки - когда поток однонаправленный, а скорость потока изменяется только в направлениях поперечного потока, например, в декартовой системе координат поток, например, в -направлении - причем единственная ненулевая составляющая скорости зависит только от включено и не включено ^[27] ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u_{x}(y,z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x.}$
• Поток Арнольда–Бельтрами–Чилдресса – точное решение уравнений Эйлера несжимаемой жидкости.
• Два решения трехмерных уравнений Эйлера с цилиндрической симметрией были представлены Гиббоном, Муром и Стюартом в 2003 году. ^[28] Эти два решения имеют бесконечную энергию; они взрываются повсюду в пространстве за конечное время.

Смотрите также

• Теорема Бернулли
• Теорема Кельвина о циркуляции
• Уравнения Коши
• Число Фруда
• Уравнения Маделунга
• Уравнения Навье – Стокса.
• Уравнение Бюргерса
• Уравнения джинсов
• Идеальная жидкость

Рекомендации

Примечания

1. Например, в 3D длина равна 5, размер 3×3 и размер 5×3, поэтому явные формы: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$
   $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho u_{1}&\rho u_{2}&\rho u_{3}\\\rho u_{1}^{2}+p&\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{1}u_{3}\\\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{2}^{2}+p&\rho u_{2}u_{3}\\\rho u_{3}u_{1}&\rho u_{3}u_{2}&\rho u_{3}^{2}+p\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$
2. Например, в 3D y имеет длину 5, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 3×5, поэтому явные формы:
   $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}j_{1}\\j_{2}\\j_{3}\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\{\frac {j_{1}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{1}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{2}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{2}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{3}j_{1}}{\rho }}&{\frac {j_{3}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{3}^{2}}{\rho }}+p\\\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{1}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{2}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{3}}{\rho }}\end{pmatrix}}.}$$
3. Иногда локальную и глобальную формы также называют соответственно дифференциальными и недифференциальными , но это подходит не во всех случаях. Например, это подходит для уравнений Эйлера, но не для уравнений Навье-Стокса, поскольку в их глобальной форме существуют некоторые остаточные пространственные производные операторы первого порядка во всех характерных переносных членах, которые в локальной форме содержат пространственные операторы второго порядка. производные.

Цитаты

1. Торо 1999, с. 24.
2. Андерсон 1995.
3. Эйлер 1757.
4. Христодулу 2007.
5. Хантер 2006.
6. Эльгинди, Тарек М. (01 ноября 2021 г.). "Формирование особенности за конечное время для $C^{1,\alpha}$ решений несжимаемых уравнений Эйлера на $\mathbb{R}^3$". Анналы математики . 194 (3). arXiv : 1904.04795 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.2. ISSN  0003-486X.
7. Quartapelle & Auteri 2013, с. 13, гл. 9.
8. Ландау и Лифшиц 2013, с. 4, уравнения 2.6 и 2.7.
9. Хендерсон 2000, с. 152, 2.6 Термодинамические свойства материалов.
10. Хорин и Марсден 2013, с. 118, пар. 3.2 Потрясения.
11. Торо 1999, с. 44, п. 2.1 Квазилинейные уравнения.
12. Торо 1999, с. 52, п. 2.3 Линейная гиперболическая система.
13. Валорани и Насути, стр. 11–12.
14. Фридман 1934, с. 198, уравнение 91.
15. Хендерсон 2000, с. 177, пар. 2.12 Теорема Крокко.
16. Хорин и Марсден 2013, с. 122, пар. 3.2 Потрясения.
17. Хендерсон 2000, с. 167, пар. 2.96. Теорема Бете–Вейля.
18. Quartapelle & Auteri 2013, с. 161, пар. 11.10: Форма дифференциала: метод конечного объема.
19. Quartapelle & Auteri 2013, с. А-61, Приложение Е.
20. Торо 1999, с. 91, п. 3.1.2 Неконсервативные формулировки.
21. Зингале 2013.
22. Торо 1999, с. 92.
23. Фэй 1994, стр. 150–152.
24. Бабинский 2003.
25. Имаи 1973.
26. Маркиоро и Пулвиренти 1994, стр. 33.
27. Фридлендер и Серр 2003, с. 298.
28. Гиббон, Мур и Стюарт 2003.

Источники

• Андерсон, Джон (1995). Вычислительная гидродинамика. Макгроу-Хилл Образование. ISBN 978-0-07-001685-9.
• Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?» (PDF) , Физическое образование , 38 (6): 497–503, Бибкод : 2003PhyEd..38..497B, номер документа : 10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID  1657792
• Хорин, Александр Ж.; Марсден, Джеррольд Э. (2013). Математическое введение в механику жидкости. Спрингер. ISBN 978-1-4612-0883-9.
• Христодулу, Деметриос (октябрь 2007 г.). «Уравнения Эйлера потока сжимаемой жидкости» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 581–602. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01181-0 .
• Эйлер, Леонард (1757). «Principes généraux du mouvement des Fluides» [Общие принципы движения жидкостей]. Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 11 : 274–315.
• Фэй, Джеймс А. (1994). Введение в механику жидкости. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-06165-0.
• Фридлендер, С.; Серр, Д., ред. (2003). Справочник по математической гидродинамике – Том 2 . Эльзевир. ISBN 978-0-444-51287-1.
• Фридман, А. (1934) [1922]. Кочин, Николай (ред.). Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости . Петроград .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Гиббон, доктор медицинских наук; Мур, доктор медицинских наук; Стюарт, Дж. Т. (2003). «Точные решения с бесконечной энергией и разрушением трехмерных уравнений Эйлера». Нелинейность . 16 (5): 1823–1831. Бибкод : 2003Nonli..16.1823G. дои : 10.1088/0951-7715/16/5/315. S2CID  250797052.
• Хендерсон, LF (2000). «Общие законы распространения ударных волн в материи». В Бен-Доре, Габи; Игра, Озер; Эльперин, Тов (ред.). Справочник по ударным волнам, набор из трех томов . Эльзевир. ISBN 978-0-08-053372-8.
• Хантер, Джон К. (25 сентября 2006 г.), Введение в уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости (PDF) , получено 31 мая 2019 г.
• 今井功 (IMAI, Исао) (ноябрь 1973 г.). 『流体力学(前編)』 [ Гидравлическая динамика 1 ] (на японском языке).裳華房 (Сёкабу). ISBN 4-7853-2314-0.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости. Эльзевир. ISBN 978-1-4831-4050-6.
• Маркьоро, К.; Пульвиренти, М. (1994). Математическая теория несжимаемых невязких жидкостей . Прикладные математические науки. Том. 96. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94044-8.
• Квартапель, Луиджи; Аутери, Франко (2013). Fluidodinamica comprimibile [ Динамика сжимаемой жидкости ] (на итальянском языке). СЕА. ISBN 978-88-08-18558-7.
• Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики: практическое введение. Спрингер. ISBN 978-3-540-65966-2.
• Валорани, Мауро; Насути, Франческо (nd), Metodi di analisi delle Turbomacchine (PDF) , Sapienza - Universit`a di Roma, заархивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2022 г. , получено 31 мая 2019 г.
• Зингале, М. (16 апреля 2013 г.), Заметки об уравнениях Эйлера (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2015 г. , получено 31 мая 2019 г.

дальнейшее чтение

• Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....Б. дои : 10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID  125902566.
• Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
• Томпсон, Филип А. (1972). Поток сжимаемой жидкости . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-064405-5.