Вычислительная гидродинамика

Анализ и решение задач, связанных с потоками жидкости

Вычислительная гидродинамика ( CFD ) — это раздел гидромеханики , который использует численный анализ и структуры данных для анализа и решения задач, связанных с потоками жидкости . Компьютеры используются для выполнения расчетов, необходимых для моделирования набегающего потока жидкости и взаимодействия жидкости ( жидкостей и газов ) с поверхностями, определяемыми граничными условиями . С помощью высокоскоростных суперкомпьютеров можно достичь лучших решений, которые часто требуются для решения самых больших и сложных проблем. Продолжающиеся исследования создают программное обеспечение, которое повышает точность и скорость сложных сценариев моделирования, таких как трансзвуковые или турбулентные потоки. Первоначальная проверка такого программного обеспечения обычно выполняется с использованием экспериментального оборудования, такого как аэродинамические трубы . Кроме того, для сравнения может быть использован ранее проведенный аналитический или эмпирический анализ конкретной проблемы. Окончательная проверка часто выполняется с использованием полномасштабных испытаний, например летных испытаний .

CFD применяется для решения широкого спектра исследовательских и инженерных задач во многих областях исследований и отраслей, включая аэродинамику и аэрокосмический анализ, гиперзвук , моделирование погоды , естественные науки и экологическую инженерию , проектирование и анализ промышленных систем, биологическую инженерию , потоки жидкости и тепло. передача , анализ двигателя и сгорания , а также визуальные эффекты для фильмов и игр.

Предыстория и история

Компьютерное моделирование высокоскоростного потока воздуха вокруг космического корабля "Шаттл" во время входа в атмосферу.

Моделирование ГПВРД Hyper-X в работе на скорости -7 Маха.

Фундаментальной основой почти всех задач CFD являются уравнения Навье-Стокса , которые определяют многие однофазные (газ или жидкость, но не то и другое) потоки жидкости. Эти уравнения можно упростить, удалив члены, описывающие вязкие действия, и получить уравнения Эйлера . Дальнейшее упрощение за счет удаления членов, описывающих завихренность, дает полные потенциальные уравнения . Наконец, для небольших возмущений в дозвуковых и сверхзвуковых потоках (не трансзвуковых или гиперзвуковых ) эти уравнения можно линеаризовать , чтобы получить линеаризованные потенциальные уравнения.

Исторически методы были впервые разработаны для решения линеаризованных потенциальных уравнений. Двумерные (2D) методы, использующие конформные преобразования обтекания цилиндра в обтекание профиля, были разработаны в 1930-х годах. ^{[1] [2]}

Одним из самых ранних типов вычислений, напоминающих современные CFD, являются расчеты Льюиса Фрая Ричардсона в том смысле, что в этих расчетах использовались конечные разности и делилось физическое пространство на ячейки. Хотя они потерпели полную неудачу, эти расчеты вместе с книгой Ричардсона « Прогнозирование погоды с помощью численного процесса » ^[3] заложили основу для современной CFD и численной метеорологии. Фактически, в первых расчетах CFD в 1940-х годах с использованием ENIAC использовались методы, близкие к тем, которые были использованы в книге Ричардсона 1922 года. ^[4]

Доступные компьютерные мощности способствовали развитию трехмерных методов. Вероятно, первая работа с использованием компьютеров для моделирования потока жидкости, определяемого уравнениями Навье-Стокса, была выполнена в Национальной лаборатории Лос-Аламоса в группе Т3. ^{[5] [6]} Эту группу возглавлял Фрэнсис Х. Харлоу , которого многие считают одним из пионеров CFD. С 1957 по конец 1960-х годов эта группа разработала множество численных методов для моделирования нестационарных двумерных потоков жидкости, таких как метод частиц в ячейках , ^[7] метод жидкости в ячейке, ^[8] метод функции потока завихренности, ^[9] и маркерно-клеточный метод . ^[10] Метод функции потока завихренности Фромма для двумерного нестационарного несжимаемого потока был первым в мире подходом к сильно искажающим потокам несжимаемой жидкости.

Первая статья с трехмерной моделью была опубликована Джоном Хессом и АМО Смитом из Douglas Aircraft в 1967 году ^{. [11]} Этот метод дискретизировал поверхность геометрии с помощью панелей, что привело к появлению этого класса программ, получившего название «Панельные методы». Сам их метод был упрощен, поскольку не включал подъемные потоки и поэтому применялся в основном к корпусам кораблей и фюзеляжам самолетов. Первый код подъемной панели (A230) был описан в статье, написанной Полом Раббертом и Гэри Саарисом из Boeing Aircraft в 1968 году. ^{[12] Со временем в} компании Boeing были разработаны более совершенные трехмерные коды панели (PANAIR, A502), ^{[12] . 13]} Lockheed (Quadpan), ^[14] Douglas (HESS), ^[15] McDonnell Aircraft (MACAERO), ^[16] NASA (PMARC) ^[17] и Analytical Methods (WBAERO, ^[18] USAERO ^[19] и VSAERO ^{[ 20] [21]} ). Некоторые (PANAIR, HESS и MACAERO) представляли собой коды более высокого порядка, в которых использовались распределения особенностей поверхности более высокого порядка, тогда как другие (Quadpan, PMARC, USAERO и VSAERO) использовали отдельные особенности на каждой панели поверхности. Преимущество кодов низшего порядка заключалось в том, что на компьютерах того времени они работали намного быстрее. Сегодня VSAERO превратилась в многопорядковый код и является наиболее широко используемой программой этого класса. Он использовался при разработке многих подводных лодок , надводных кораблей , автомобилей , вертолетов , самолетов , а в последнее время и ветряных турбин . Его родственный код, USAERO, представляет собой нестационарный панельный метод, который также использовался для моделирования таких объектов, как высокоскоростные поезда и гоночные яхты . Код НАСА PMARC из ранней версии VSAERO и производной от PMARC, названной CMARC, ^[22] также коммерчески доступен.

В двумерной области был разработан ряд панельных кодов для анализа и проектирования профиля крыла. Коды обычно включают анализ пограничного слоя , что позволяет моделировать вязкие эффекты. Ричард Эпплер  [ де ] разработал код PROFILE, частично при финансовой поддержке НАСА, который стал доступен в начале 1980-х годов. ^[23] Вскоре за этим последовал код XFOIL Марка Дрела . ^[24] И PROFILE, и XFOIL включают двумерные панельные коды со связанными кодами пограничного слоя для анализа профиля профиля. PROFILE использует метод конформного преобразования для проектирования обратного профиля, тогда как XFOIL имеет как конформное преобразование, так и метод обратной панели для проектирования профиля.

Промежуточным этапом между панельными кодами и кодами полного потенциала были коды, в которых использовались уравнения трансзвуковых малых возмущений. В частности, широкое распространение получил трехмерный код WIBCO ^[25] , разработанный Чарли Боппе из Grumman Aircraft в начале 1980-х годов.

Моделирование космического корабля SpaceX во время входа в атмосферу

Разработчики обратились к кодам Full Potential, поскольку панельные методы не могли рассчитать нелинейный поток, присутствующий на околозвуковых скоростях. Первое описание способа использования уравнений полного потенциала было опубликовано Эрлом Мурманом и Джулианом Коулом из Boeing в 1970 году. ^[26] Фрэнсис Бауэр, Пол Гарабедиан и Дэвид Корн из Института Куранта при Нью-Йоркском университете (NYU) написали серию статей двухмерных кодов профиля профиля Full Potential, которые широко использовались, наиболее важный из которых назывался «Программа H». ^[27] Дальнейшее развитие программы H было разработано Бобом Мельником и его группой в Grumman Aerospace под названием Grumfoil. ^[28] Энтони Джеймсон , первоначально работавший в Grumman Aircraft и Институте Куранта Нью-Йоркского университета, работал с Дэвидом Коги над разработкой важного трехмерного кода полного потенциала FLO22 ^[29] в 1975 году. После этого появилось множество кодов полного потенциала, кульминацией которых стал код Tranair компании Boeing. (A633), ^[30] , который до сих пор широко используется.

Следующим шагом стали уравнения Эйлера, которые обещали дать более точные решения трансзвуковых течений. Методология, использованная Джеймсоном в его трехмерном коде FLO57 ^[31] (1981), использовалась другими для создания таких программ, как программа TEAM компании Lockheed ^[32] и программа MGAERO компании IAI/Analytical Methods. ^[33] MGAERO уникален тем, что представляет собой структурированный код декартовой сетки, в то время как в большинстве других таких кодов используются структурированные сетки, подогнанные к телу (за исключением очень успешного кода НАСА CART3D, ^[34] кода Lockheed SPLITFLOW ^[35] и кода Georgia Tech НАСКАРТ-GT). ^[36] Энтони Джеймсон также разработал трехмерный код AIRPLANE ^[37] , в котором использовались неструктурированные тетраэдральные сетки.

В двумерной области Марк Дрела и Майкл Джайлс, тогда аспиранты Массачусетского технологического института, разработали программу ISES Euler ^[38] (на самом деле набор программ) для проектирования и анализа аэродинамических профилей. Этот код впервые стал доступен в 1986 году и получил дальнейшее развитие для проектирования, анализа и оптимизации одно- или многоэлементных профилей в виде программы MSES. ^[39] MSES широко используется во всем мире. Производной MSES для проектирования и анализа каскадных аэродинамических профилей является MISES ^[40] , разработанная Гарольдом Янгреном, когда он был аспирантом Массачусетского технологического института.

Уравнения Навье – Стокса были конечной целью разработки. Впервые появились двумерные коды, такие как код ARC2D НАСА Эймса. Был разработан ряд трехмерных кодов (ARC3D, OVERFLOW , CFL3D — три успешных проекта НАСА), что привело к появлению многочисленных коммерческих пакетов.

Иерархия уравнений движения жидкости

CFD можно рассматривать как группу вычислительных методологий (обсуждаемых ниже), используемых для решения уравнений, управляющих потоком жидкости. При применении CFD критическим шагом является решение, какой набор физических предположений и связанных с ними уравнений необходимо использовать для решения рассматриваемой проблемы. ^[41] Чтобы проиллюстрировать этот шаг, ниже суммированы физические предположения/упрощения, принятые в уравнениях потока, который является однофазным (см. многофазный поток и двухфазный поток ), однокомпонентным (т. е. он состоит из одного химического вида). ), нереагирующий и (если не указано иное) сжимаемый. Тепловым излучением пренебрегаем и учитываем объемные силы гравитации (если не указано иное). Кроме того, для этого типа потока следующее обсуждение подчеркивает иерархию уравнений потока, решаемых с помощью CFD. Обратите внимание, что некоторые из следующих уравнений можно вывести более чем одним способом.

• Законы сохранения (CL). Это наиболее фундаментальные уравнения, рассматриваемые с помощью CFD, в том смысле, что, например, из них можно вывести все следующие уравнения. Для однофазного одновидового сжимаемого потока учитываются сохранение массы , сохранение погонного момента и сохранение энергии .
• Законы сохранения континуума (CCL): начните с CL. Предположим, что масса, импульс и энергия локально сохраняются: эти величины сохраняются и не могут «телепортироваться» из одного места в другое, а могут перемещаться только непрерывным потоком (см. уравнение неразрывности ). Другая интерпретация состоит в том, что каждый начинает с CL и предполагает наличие сплошной среды (см. Механику сплошной среды ). Полученная система уравнений является незамкнутой, так как для ее решения необходимы дополнительные соотношения/уравнения: а) определяющие соотношения для тензора вязких напряжений ; (б) определяющие соотношения для диффузионного теплового потока ; (c) уравнение состояния (EOS), такое как закон идеального газа ; и (d) уравнение состояния калорий, связывающее температуру с такими величинами, как энтальпия или внутренняя энергия .
• Сжимаемые уравнения Навье-Стокса (C-NS): начните с CCL. Предположим, что существует ньютоновский тензор вязких напряжений (см. Ньютоновская жидкость ) и тепловой поток Фурье (см. Тепловой поток ). ^{[42] [43]} C-NS необходимо дополнить EOS и калорическим EOS, чтобы иметь замкнутую систему уравнений.
• Несжимаемые уравнения Навье-Стокса (I-NS): начните с C-NS. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна. ^[44] Другой способ получить I-NS — предположить, что число Маха очень мало ^{[44] [43]} и что разница температур в жидкости также очень мала. ^[43] В результате уравнения сохранения массы и сохранения импульса отделяются от уравнения сохранения энергии, поэтому нужно решить только первые два уравнения. ^[43]
• Сжимаемые уравнения Эйлера (EE): начните с C-NS. Предположим, что существует течение без трения и без диффузионного теплового потока. ^[45]
• Слабо сжимаемые уравнения Навье-Стокса (WC-NS): начните с C-NS. Предположим, что изменения плотности зависят только от температуры, а не от давления. ^[46] Например, для идеального газа используйте , где – удобно определяемое эталонное давление, которое всегда и везде постоянно, – плотность, – удельная газовая постоянная , и – температура. В результате WC-NS не улавливает акустические волны. В WC-NS также часто пренебрегают условиями работы давления и вязкого нагрева в уравнении сохранения энергии. WC-NS также называют C-NS с приближением малого числа Маха. ${\displaystyle \rho =p_{0}/(RT)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$
• Уравнения Буссинеска: начнем с C-NS. Предположим, что изменения плотности всегда и везде незначительны, за исключением гравитационного члена уравнения сохранения импульса (где плотность умножает гравитационное ускорение). ^[47] Также предположим, что различные свойства жидкости, такие как вязкость , теплопроводность и теплоемкость , всегда и везде постоянны. Уравнения Буссинеска широко используются в микромасштабной метеорологии .
• Сжимаемые уравнения Навье-Стокса, усредненные по Рейнольдсу, и сжимаемые уравнения Навье-Стокса, усредненные по Фавре (C-RANS и C-FANS): начните с C-NS. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где – среднее по ансамблю ^[43] любой переменной потока, а – возмущение или отклонение от этого среднего значения. ^{[43] [48]} не обязательно мал. Если — классическое среднее по ансамблю (см. разложение Рейнольдса ), получаются усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса. А если – среднее по ансамблю, взвешенное по плотности, получаются уравнения Навье-Стокса, усредненные по Фавре. ^[48] ​​В результате, в зависимости от числа Рейнольдса, диапазон масштабов движения значительно сокращается, что приводит к гораздо более быстрому решению по сравнению с решением C-NS. Однако информация теряется, и полученная система уравнений требует замыкания различных незамкнутых членов, в частности напряжения Рейнольдса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=F+f''}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$
• Уравнения идеального потока или потенциального потока : начните с EE. Предположим, что вращение жидкости и частиц равно нулю (нулевая завихренность) и нулевое расширение потока (нулевая дивергенция). ^[43] Результирующее поле потока полностью определяется геометрическими границами. ^[43] Идеальные потоки могут быть полезны в современных CFD для инициализации моделирования.
• Линеаризованные сжимаемые уравнения Эйлера (LEE): ^[49] Начните с EE. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где — значение переменной потока в некотором эталонном или базовом состоянии, а — возмущение или колебание по сравнению с этим состоянием. Далее предположим, что это возмущение очень мало по сравнению с некоторым эталонным значением. Наконец, предположим, что оно удовлетворяет «своему» уравнению, такому как EE. LEE и его многочисленные вариации широко используются в вычислительной аэроакустике . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=f_{0}+f'}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f_{0}}$
• Уравнение звуковой волны или акустической волны : начните с LEE. Пренебрегаем всеми градиентами и и предположим, что число Маха в исходном или базовом состоянии очень мало. ^[46] Полученные уравнения для плотности, импульса и энергии можно преобразовать в уравнение давления, что дает известное уравнение звуковой волны. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f'}$
• Уравнения мелкой воды (SW). Рассмотрим течение вблизи стенки, где интересующий масштаб длины, параллельной стене, намного больше, чем интересующий масштаб длины, перпендикулярный стене. Начните с ЭЭ. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна, пренебрегаем составляющей скорости, перпендикулярной стенке, и считаем скорость, параллельную стенке, пространственно-постоянной.
• Уравнения пограничного слоя (BL): начните с C-NS (I-NS) для сжимаемых (несжимаемых) пограничных слоев. Предположим, что рядом со стенами есть тонкие области, где пространственные градиенты, перпендикулярные стене, намного больше, чем параллельные стене. ^[47]
• Уравнение Бернулли: начнем с ЭЭ. Предположим, что изменения плотности зависят только от изменений давления. ^[47] См. Принцип Бернулли .
• Устойчивое уравнение Бернулли. Начните с уравнения Бернулли и предположите устойчивый поток. ^[47] Или начните с EE и предположите, что поток устойчив, и проинтегрируйте полученное уравнение вдоль линии тока. ^{[45] [44]}
• Уравнения потока Стокса или ползущего потока: начните с C-NS или I-NS. Пренебрегаем инерцией потока. ^{[43] [44]} Такое предположение может быть оправдано, когда число Рейнольдса очень мало. В результате результирующая система уравнений является линейной, что значительно упрощает их решение.
• Двумерное уравнение потока в канале: рассмотрим поток между двумя бесконечными параллельными пластинами. Начните с ЦНС. Предположим, что течение стационарное, двумерное и полностью развитое (т. е. профиль скорости не меняется в продольном направлении). ^[43] Обратите внимание, что это широко используемое полностью разработанное предположение может быть неадекватным в некоторых случаях, например, в некоторых сжимаемых микроканальных течениях, и в этом случае оно может быть заменено локально полностью разработанным предположением. ^[50]
• Одномерные уравнения Эйлера или одномерные уравнения газовой динамики (1D-EE): начните с EE. Предположим, что все величины потока зависят только от одного пространственного измерения. ^[51]
• Уравнение потока Фанно : рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и адиабатическими стенками. Начните с 1D-EE. Предположим, что поток устойчивый, нет эффектов гравитации, и введите в уравнение сохранения импульса эмпирический член, чтобы восстановить эффект трения о стенки (пренебрегаемый в EE). Чтобы закрыть уравнение потока Фанно, необходима модель для этого члена трения. Такое замыкание включает в себя предположения, зависящие от проблемы. ^[52]
• Уравнение потока Рэлея . Рассмотрим течение внутри канала постоянной площади и либо с неадиабатическими стенками без объемных источников тепла, либо с адиабатическими стенками с объемными источниками тепла. Начните с 1D-EE. Предположим, что поток устойчивый, нет эффектов гравитации, и введите в уравнение сохранения энергии эмпирический член, чтобы восстановить эффект теплопередачи стенок или эффект источников тепла (пренебрегаемый в EE).

Методология

Во всех этих подходах применяется одна и та же основная процедура.

• Во время предварительной обработки
  • Геометрию и физические границы проблемы можно определить с помощью компьютерного проектирования (САПР). После этого данные можно соответствующим образом обработать (очистить) и извлечь объем жидкости (или домен жидкости).
  • Объем , занимаемый жидкостью, разбивается на дискретные ячейки (сетку). Сетка может быть однородной или неоднородной, структурированной или неструктурированной, состоящей из комбинации шестигранных, тетраэдрических, призматических, пирамидальных или многогранных элементов.
  • Определено физическое моделирование – например, уравнения движения жидкости + энтальпия + излучение + сохранение видов.
  • Граничные условия определены. Это включает в себя определение поведения и свойств жидкости на всех ограничивающих поверхностях области жидкости. Для переходных задач также определяются начальные условия.
• Запускается моделирование , и уравнения решаются итеративно как в установившемся, так и в переходном режиме .
• Наконец, постпроцессор используется для анализа и визуализации полученного решения.

Методы дискретизации

Устойчивость выбранной дискретизации обычно устанавливается численно, а не аналитически, как в случае простых линейных задач. Особое внимание необходимо также уделить тому, чтобы дискретизация корректно обрабатывала разрывные решения. Уравнения Эйлера и уравнения Навье – Стокса допускают скачки уплотнения и контактные поверхности.

Некоторые из используемых методов дискретизации:

Метод конечного объема

Метод конечных объемов (FVM) является распространенным подходом, используемым в кодах CFD, поскольку он имеет преимущество в использовании памяти и скорости решения, особенно для больших задач, турбулентных потоков с высоким числом Рейнольдса и потоков с преобладанием исходных условий (например, сгорания). ^[53]

В методе конечных объемов основные дифференциальные уравнения в частных производных (обычно уравнения Навье-Стокса, уравнения сохранения массы и энергии и уравнения турбулентности) преобразуются в консервативную форму, а затем решаются в дискретных контрольных объемах. Такая дискретизация гарантирует сохранение потоков через определенный контрольный объем. Уравнение конечного объема дает основные уравнения в форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint Q\,dV+\iint F\,d\mathbf {A} =0,}$

где – вектор сохраняющихся переменных, – вектор потоков (см. уравнения Эйлера или уравнения Навье – Стокса ), – объем элемента контрольного объема, – площадь поверхности элемента контрольного объема. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) используется при структурном анализе твердых тел, но также применим и к жидкостям. Однако формулировка FEM требует особой осторожности, чтобы обеспечить консервативное решение. Формулировка FEM была адаптирована для использования с определяющими уравнениями гидродинамики. ^{[54] [55]} Хотя FEM должен быть тщательно сформулирован, чтобы быть консервативным, он гораздо более стабилен, чем подход конечного объема. ^[56] Однако FEM может потребовать больше памяти и имеет более медленное время решения, чем FVM. ^[57]

В этом методе формируется взвешенное уравнение невязки:

${\displaystyle R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}}$

где – невязка уравнения в вершине элемента , – уравнение сохранения, выраженное на элементной основе, – весовой коэффициент, – объем элемента. ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle V^{e}}$

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) имеет историческое значение ^[55] и прост в программировании. В настоящее время он используется лишь в нескольких специализированных программах, которые обрабатывают сложную геометрию с высокой точностью и эффективностью за счет использования встроенных границ или перекрывающихся сеток (при этом решение интерполируется по каждой сетке). ^{[ нужна цитата ]}

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

где – вектор сохраняющихся переменных, , , – потоки в направлениях , , и соответственно. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Метод спектральных элементов

Метод спектральных элементов представляет собой метод типа конечных элементов. Для этого требуется, чтобы математическая задача (уравнение в частных производных) была представлена ​​в слабой формулировке. Обычно это делается путем умножения дифференциального уравнения на произвольную тестовую функцию и интегрирования по всей области. Чисто математически тестовые функции совершенно произвольны — они принадлежат бесконечномерному функциональному пространству. Очевидно, что бесконечномерное функциональное пространство не может быть представлено на сетке дискретных спектральных элементов; здесь начинается дискретизация спектрального элемента. Самым важным является выбор интерполяционных и проверочных функций. В стандартном FEM низкого порядка в 2D для четырехугольных элементов наиболее типичным выбором является билинейный тест или интерполирующая функция формы . Однако в методе спектральных элементов интерполирующие и тестовые функции выбираются в виде полиномов очень высокого порядка (обычно, например, 10-го порядка в приложениях CFD). Это гарантирует быструю сходимость метода. Кроме того, необходимо использовать очень эффективные процедуры интегрирования, поскольку количество интегрирований, выполняемых в числовых кодах, велико. Таким образом, используются квадратуры интегрирования Гаусса высокого порядка, поскольку они достигают наибольшей точности при наименьшем количестве выполняемых вычислений. В настоящее время существует несколько академических CFD-кодов, основанных на методе спектральных элементов, а еще несколько находятся в стадии разработки, поскольку в научном мире возникают новые схемы временного шага. ${\displaystyle v(x,y)=ax+by+cxy+d}$

Решетчатый метод Больцмана

Решеточный метод Больцмана (LBM) с его упрощенной кинетической картиной на решетке обеспечивает эффективное в вычислительном отношении описание гидродинамики. В отличие от традиционных методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (т.е. массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной решетчатой ​​сетке. В этом методе используется дискретная в пространстве и времени версия уравнения кинетической эволюции в форме Больцмана Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК) .

Вихревой метод

Метод вихрей, также известный как метод лагранжевых вихревых частиц, представляет собой бессеточный метод моделирования несжимаемых турбулентных потоков. В нем завихренность дискретизируется на лагранжевы частицы, причем эти вычислительные элементы называются вихрями, вихрями или вихревыми частицами. ^[58] Вихревые методы были разработаны как безсеточная методология, которая не будет ограничена фундаментальными эффектами сглаживания, связанными с сеточными методами. Однако для практической реализации вихревые методы требуют средств для быстрого вычисления скоростей на основе вихревых элементов – другими словами, они требуют решения определенной формы задачи N тел (в которой движение N объектов связано с их взаимным влиянием). ). Этот прорыв произошел в 1980-х годах с разработкой алгоритмов Барнса-Хата и метода быстрых мультиполей (FMM). Это открыло путь к практическому вычислению скоростей по вихревым элементам.

Программное обеспечение, основанное на вихревом методе, предлагает новые средства для решения сложных задач гидродинамики с минимальным вмешательством пользователя. ^{[ нужна цитата ]} Все, что требуется, — это указать геометрию задачи и задать граничные и начальные условия. Среди существенных преимуществ этой современной технологии;

• Он практически не имеет сетки, что исключает многочисленные итерации, связанные с RANS и LES.
• Все проблемы решаются одинаково. Никакие входные данные для моделирования или калибровки не требуются.
• Возможно моделирование временных рядов, которое имеет решающее значение для правильного анализа акустики.
• Мелкий и крупный масштаб точно моделируются одновременно.

Метод граничных элементов

В методе граничных элементов граница, занятая жидкостью, разбивается на поверхностную сетку.

Схемы дискретизации высокого разрешения

Схемы высокого разрешения используются там, где присутствуют потрясения или разрывы. Улавливание резких изменений решения требует использования численных схем второго или более высокого порядка, не вносящих паразитных колебаний. Обычно это требует применения ограничителей потока , чтобы гарантировать уменьшение общей вариации решения . ^{[ нужна цитата ]}

Модели турбулентности

При компьютерном моделировании турбулентных потоков одной общей целью является получение модели, которая может прогнозировать интересующие величины, такие как скорость жидкости, для использования в инженерных проектах моделируемой системы. Для турбулентных потоков диапазон масштабов длины и сложность явлений, связанных с турбулентностью, делают большинство подходов к моделированию непомерно дорогими; разрешение, необходимое для разрешения всех масштабов, связанных с турбулентностью, выходит за рамки вычислительных возможностей. Основной подход в таких случаях заключается в создании числовых моделей для аппроксимации нерешенных явлений. В этом разделе перечислены некоторые часто используемые вычислительные модели турбулентных потоков.

Модели турбулентности можно классифицировать на основе вычислительных затрат, что соответствует диапазону масштабов, которые моделируются, и масштабов, которые разрешаются (чем больше масштабов турбулентности разрешается, тем выше разрешение моделирования и, следовательно, тем выше затраты на вычисления). Если большинство или все турбулентные масштабы не моделируются, вычислительные затраты будут очень низкими, но компромисс будет заключаться в снижении точности.

В дополнение к широкому диапазону масштабов длины и времени и связанным с этим вычислительным затратам, основные уравнения гидродинамики содержат нелинейный член конвекции и нелинейный и нелокальный член градиента давления. Эти нелинейные уравнения необходимо решать численно с соответствующими граничными и начальными условиями.

Усредненный по Рейнольдсу Навье – Стокса

Внешняя аэродинамика модели DrivAer, рассчитанная с помощью URANS (вверху) и DDES (внизу).

Моделирование аэродинамического пакета Porsche Cayman (987.2)

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS) являются старейшим подходом к моделированию турбулентности. Решается ансамблевая версия основных уравнений, которая вводит новые кажущиеся напряжения , известные как напряжения Рейнольдса . Это добавляет тензор неизвестных второго порядка, для которого различные модели могут обеспечивать разные уровни замыкания. Распространенным заблуждением является то, что уравнения RANS не применимы к потокам с изменяющимся во времени средним расходом, поскольку эти уравнения «усреднены по времени». Фактически, статистически нестационарные (или нестационарные) потоки можно рассматривать в равной степени. Иногда его называют УРАНАМИ. В усреднении Рейнольдса нет ничего, что могло бы предотвратить это, но модели турбулентности, используемые для замыкания уравнений, действительны только до тех пор, пока время, в течение которого происходят эти изменения среднего значения, велико по сравнению с временными масштабами турбулентного движения, содержащего большую часть энергия.

Модели RANS можно разделить на два широких подхода:

Гипотеза Буссинеска

Этот метод предполагает использование алгебраического уравнения для напряжений Рейнольдса, которое включает определение турбулентной вязкости и, в зависимости от уровня сложности модели, решение уравнений переноса для определения турбулентной кинетической энергии и диссипации. Модели включают k-ε ( Лаундер и Сполдинг ), ^[59] Модель длины смешивания ( Прандтль ), ^[60] и Модель нулевого уравнения (Себечи и Смит ). ^[60] Модели, доступные в этом подходе, часто называют по количеству уравнений переноса, связанных с этим методом. Например, модель длины смешивания является моделью «нулевого уравнения», поскольку никакие уравнения переноса не решаются; Это модель «Двух уравнений», поскольку решаются два уравнения переноса (одно для и одно для ). ${\displaystyle k-\epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Модель стресса Рейнольдса (RSM)

Этот подход пытается фактически решить уравнения переноса для напряжений Рейнольдса. Это означает введение нескольких уравнений переноса для всех напряжений Рейнольдса и, следовательно, этот подход требует гораздо больше ресурсов ЦП. ^{[ нужна цитата ]}

Моделирование больших вихрей

Объемная визуализация вихревого пламени без предварительной смеси, смоделированная LES

Моделирование больших вихрей (LES) — это метод, при котором мельчайшие масштабы потока удаляются посредством операции фильтрации, а их эффект моделируется с использованием моделей подсеточного масштаба. Это позволяет решать самые большие и важные масштабы турбулентности, значительно снижая при этом вычислительные затраты, связанные с самыми маленькими масштабами. Этот метод требует больших вычислительных ресурсов, чем методы RANS, но намного дешевле, чем DNS.

Моделирование отдельных вихрей

Моделирование отдельных вихрей (DES) — это модификация модели RANS, в которой модель переключается на формулировку подсеточного масштаба в областях, достаточно мелких для расчетов LES. Областям вблизи твердых границ и там, где масштаб турбулентной длины меньше максимального размера сетки, назначается режим решения RANS. Поскольку масштаб турбулентной длины превышает размер сетки, регионы решаются с использованием режима LES. Следовательно, разрешение сетки для DES не так требовательно, как для чистого LES, что значительно снижает стоимость вычислений. Хотя DES изначально был сформулирован для модели Спаларта-Алмараса (Spalart et al., 1997), его можно реализовать с другими моделями RANS (Стрелец, 2001), соответствующим образом изменив масштаб длины, который явно или неявно участвует в модели RANS. . Таким образом, в то время как DES на основе модели Спаларта – Аллмараса действует как LES с моделью стены, DES на основе других моделей (например, двух моделей уравнений) ведет себя как гибридная модель RANS-LES. Генерация сетки более сложна, чем в случае простого RANS или LES, из-за переключателя RANS-LES. DES представляет собой незональный подход и обеспечивает единое гладкое поле скоростей в областях RANS и LES решений.

IDDES Моделирование BMW от Karel Motorsports. Это тип моделирования DES, выполненный в OpenFOAM. График представляет собой коэффициент давления.

Прямое численное моделирование

Прямое численное моделирование (DNS) разрешает весь диапазон турбулентных масштабов длины. Это сводит на нет эффект моделей, но обходится чрезвычайно дорого. Вычислительные затраты пропорциональны . ^[61] DNS сложно решить для потоков со сложной геометрией или конфигурациями потоков. ${\displaystyle Re^{3}}$

Когерентное моделирование вихрей

Подход моделирования когерентного вихря разлагает поле турбулентного потока на когерентную часть, состоящую из организованного вихревого движения, и некогерентную часть, которая представляет собой случайный фоновый поток. ^[62] Это разложение выполняется с использованием вейвлет- фильтрации. Этот подход имеет много общего с LES, поскольку он использует разложение и разрешает только отфильтрованную часть, но отличается тем, что не использует линейный фильтр нижних частот. Вместо этого операция фильтрации основана на вейвлетах, и фильтр можно адаптировать по мере развития поля потока. Фардж и Шнайдер протестировали метод CVS с двумя конфигурациями потока и показали, что когерентная часть потока демонстрирует энергетический спектр, демонстрируемый полным потоком, и соответствует когерентным структурам ( вихревым трубкам ), в то время как некогерентные части потока составляют однородный фон. шум, который не имел никаких организованных структур. Гольдштейн и Васильев ^[63] применили модель FDV для моделирования крупных вихрей, но не предполагали, что вейвлет-фильтр устраняет все когерентные движения из масштабов подфильтра. Используя фильтрацию LES и CVS, они показали, что в рассеянии SFS доминирует когерентная часть поля потока SFS. ${\displaystyle -{\frac {40}{39}}}$

PDF-методы

Методы функции плотности вероятности (PDF) для турбулентности, впервые предложенные Лундгреном ^[64] , основаны на отслеживании одноточечной PDF скорости, которая дает вероятность того, что скорость в точке находится между и . Этот подход аналогичен кинетической теории газов , в которой макроскопические свойства газа описываются большим количеством частиц. Методы PDF уникальны тем, что их можно применять в рамках множества различных моделей турбулентности; основные различия заключаются в форме уравнения переноса PDF. Например, в контексте моделирования больших вихрей PDF-файл становится отфильтрованным PDF-файлом. ^[65] Методы PDF также могут использоваться для описания химических реакций, ^{[66] [67]} и особенно полезны для моделирования химически реагирующих потоков, поскольку химический исходный член закрыт и не требует модели. PDF обычно отслеживается с использованием методов лагранжевых частиц; в сочетании с моделированием больших вихрей это приводит к уравнению Ланжевена для эволюции частиц подфильтра. ${\displaystyle f_{V}({\boldsymbol {v}};{\boldsymbol {x}},t)d{\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}}$

Метод ограничения завихренности

Метод ограничения завихренности (VC) — это метод Эйлера, используемый при моделировании турбулентных следов. Он использует подход, подобный уединенной волне, для получения стабильного решения без численного расширения. VC может захватывать мелкомасштабные объекты с точностью до двух ячеек сетки. В рамках этих функций решается нелинейное разностное уравнение, а не конечно- разностное уравнение . VC аналогичен методам улавливания ударных импульсов , в которых соблюдаются законы сохранения, поэтому основные интегральные величины точно вычисляются.

Линейная вихревая модель

Модель линейного вихря — это метод, используемый для моделирования конвективного перемешивания, происходящего в турбулентном потоке. ^[68] В частности, он обеспечивает математический способ описания взаимодействия скалярной переменной внутри поля векторного потока. Он в основном используется в одномерных представлениях турбулентного потока, поскольку его можно применять в широком диапазоне масштабов длин и чисел Рейнольдса. Эта модель обычно используется в качестве строительного блока для более сложных представлений потока, поскольку она обеспечивает прогнозы с высоким разрешением, которые справедливы для широкого диапазона условий потока.

Двухфазный поток

Моделирование орды пузырей с использованием метода объема жидкости

Моделирование двухфазного потока все еще находится в стадии разработки. Были предложены различные методы, в том числе метод объема жидкости , метод установки уровня и отслеживание фронта. ^{[69] [70]} Эти методы часто предполагают компромисс между сохранением четкого интерфейса или сохранением массы ^{[ по мнению кого? ]} . Это очень важно, поскольку оценка плотности, вязкости и поверхностного натяжения основана на усредненных по границе раздела значениях. ^{[ нужна цитата ]}

Алгоритмы решения

Дискретизация в пространстве дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач и алгебраических уравнений для стационарных задач. Неявные или полунеявные методы обычно используются для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с получением системы (обычно) нелинейных алгебраических уравнений. Применение итерации Ньютона или Пикара дает систему линейных уравнений, которая несимметрична при наличии адвекции и неопределенна при наличии несжимаемости. Такие системы, особенно в 3D, часто слишком велики для прямых решателей, поэтому используются итерационные методы, либо стационарные методы, такие как последовательная сверхрелаксация , либо методы подпространства Крылова . Методы Крылова, такие как GMRES , обычно используемые с предобусловливанием , работают путем минимизации невязки в последовательных подпространствах, сгенерированных предобусловливающим оператором.

Преимущество Multigrid заключается в асимптотически оптимальной производительности при решении многих задач. Традиционный ^{[ по мнению кого? ]} решатели и предобуславливатели эффективны для уменьшения высокочастотных компонентов остатка, но для уменьшения низкочастотных компонентов обычно требуется много итераций. Работая в нескольких масштабах, multigrid уменьшает все компоненты остатка на одинаковые коэффициенты, что приводит к независимому от сетки количеству итераций. ^{[ нужна цитата ]}

Для неопределенных систем предобуславливатели, такие как неполная LU-факторизация , аддитивный Шварц и многосеточный , работают плохо или полностью терпят неудачу, поэтому для эффективной предварительной обработки необходимо использовать структуру задачи. ^[71] Методы, обычно используемые в CFD, - это алгоритмы SIMPLE и Удзава , которые демонстрируют скорость сходимости, зависящую от сетки, но недавние достижения, основанные на блочной LU-факторизации в сочетании с многосеточной структурой для результирующих определенных систем, привели к созданию предобуславливателей, которые обеспечивают независимую от сетки скорость сходимости. ^[72]

Нестационарная аэродинамика

CFD совершил большой прорыв в конце 70-х годов с введением LTRAN2, двумерного кода для моделирования колеблющихся аэродинамических профилей, основанного на трансзвуковой теории малых возмущений Баллхауса и его коллег. ^[73] Он использует алгоритм переключения Мурмана-Коула для моделирования движущихся ударных волн. ^[26] Позже он был расширен до 3-D с использованием схемы вращающихся разностей от AFWAL/Boeing, что привело к созданию LTRAN3. ^{[74] [75]}

Биомедицинская инженерия

Моделирование кровотока в аорте человека

CFD-исследования используются для уточнения характеристик аортального кровотока в деталях, выходящих за рамки возможностей экспериментальных измерений. Для анализа этих состояний создаются CAD-модели сосудистой системы человека с использованием современных методов визуализации, таких как МРТ или компьютерная томография . На основе этих данных реконструируется 3D-модель, и можно рассчитать поток жидкости. Необходимо учитывать такие свойства крови, как плотность и вязкость, а также реалистичные граничные условия (например, системное давление). Таким образом, это дает возможность анализировать и оптимизировать поток в сердечно-сосудистой системе для различных применений. ^[76]

ЦП против графического процессора

Традиционно моделирование CFD выполняется на центральных процессорах. ^[77]

В последнее время моделирование также выполняется на графических процессорах. Обычно они содержат более медленные, но больше процессоров. Для алгоритмов CFD, которые имеют хорошую производительность параллелизма (т. е. хорошее ускорение за счет добавления большего количества ядер), это может значительно сократить время моделирования. Методы неявных частиц ^{[78] и решеточно-Больцмана [79]} являются типичными примерами кодов, которые хорошо масштабируются на графических процессорах.

Смотрите также

• Теория элемента лезвия
• Граничные условия в гидродинамике
• Моделирование кавитации
• Центральная разностная схема
• Вычислительная магнитогидродинамика
• Метод дискретных элементов
• Метод конечных элементов
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Плавная анимация
• Метод погруженных границ
• Решеточные методы Больцмана
• Список пакетов программного обеспечения для конечных элементов
• Бессеточные методы
• Полунеявный метод движущихся частиц
• Динамика многочастичных столкновений
• Многопрофильная оптимизация дизайна
• Численные методы в механике жидкости
• Оптимизация формы
• Гидродинамика сглаженных частиц
• Стохастический метод Эйлера Лагранжа
• Моделирование турбулентности
• Визуализация (графика)
• Аэродинамическая труба

Рекомендации

1. Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1973). Теоретическая аэродинамика . Курьерская компания. ISBN 978-0-486-61980-4.^{[ нужна страница ]}
2. Макмертри, Патрик А.; Гансог, Тодд К.; Керштейн, Алан Р.; Крюгер, Стивен К. (апрель 1993 г.). «Линейное вихревое моделирование перемешивания в однородном турбулентном потоке». Физика жидкостей A: Гидродинамика . 5 (4): 1023–1034. Бибкод : 1993PhFlA...5.1023M. дои : 10.1063/1.858667.
3. Ричардсон, LF; Чепмен, С. (1965). Прогноз погоды с помощью численного процесса . Дуврские публикации.
4. Хант, JCR (январь 1998 г.). «Льюис Фрай Ричардсон и его вклад в математику, метеорологию и модели конфликтов». Ежегодный обзор механики жидкости . 30 (1): xiii – xxxvi. Бибкод : 1998AnRFM..30D..13H. doi :10.1146/annurev.fluid.30.1.0.
5. «Наследие Группы Т-3» . Проверено 13 марта 2013 г.
6. Харлоу, Фрэнсис Х. (апрель 2004 г.). «Гидродинамика в Лос-Аламосской национальной лаборатории Группы Т-3». Журнал вычислительной физики . 195 (2): 414–433. Бибкод : 2004JCoPh.195..414H. дои : 10.1016/j.jcp.2003.09.031.
7. Харлоу, Фрэнсис Харви; Эванс, Марта; Рихтмайер, Роберт Д. (1955). Машинный метод расчета гидродинамических задач . Лос-Аламосская научная лаборатория Калифорнийского университета. hdl :2027/mdp.39015095283399. ОСЛК  1288309947.^{[ нужна страница ]}
8. Джентри, Ричард А; Мартин, Роберт Э; Дейли, Барт Дж (август 1966 г.). «Метод Эйлера для решения задач нестационарного течения сжимаемой жидкости». Журнал вычислительной физики . 1 (1): 87–118. Бибкод : 1966JCoPh...1...87G. дои : 10.1016/0021-9991(66)90014-3.
9. Фромм, Джейкоб Э.; Харлоу, Фрэнсис Х. (июль 1963 г.). «Численное решение задачи развития вихревой улицы». Физика жидкостей . 6 (7): 975–982. Бибкод : 1963PhFl....6..975F. дои : 10.1063/1.1706854.
10. Харлоу, Фрэнсис Х.; Уэлч, Дж. Эдди (декабрь 1965 г.). «Численный расчет нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью». Физика жидкостей . 8 (12): 2182–2189. Бибкод : 1965PhFl....8.2182H. дои : 10.1063/1.1761178.
11. Хесс, Дж.Л.; Смит, АМО (1967). «Расчет потенциального обтекания произвольных тел». Прогресс аэрокосмических наук . 8 : 1–138. Бибкод : 1967PrAeS...8....1H. дои : 10.1016/0376-0421(67)90003-6.
12. Резинт, П.; Саарис, Г. (1972). «Обзор и оценка трехмерного метода расчета потенциального потока подъема для произвольных конфигураций». 10-е совещание по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1972-188.
13. Кармайкл, Р.; Эриксон, Л. (1981). «PAN AIR - панельный метод более высокого порядка для прогнозирования дозвуковых или сверхзвуковых линейных потенциальных потоков вокруг произвольных конфигураций». 14-я конференция по динамике жидкости и плазмы . дои : 10.2514/6.1981-1255.
14. Янгрен, Х.; Бушар, Э.; Куперсмит, Р.; Миранда, Л. (1983). «Сравнение формулировок панельного метода и его влияние на разработку QUADPAN, усовершенствованного метода низкого порядка». Конференция по прикладной аэродинамике . дои : 10.2514/6.1983-1827.
15. Хесс, Дж.; Фридман, Д. (1983). «Анализ сложных конфигураций воздухозаборников с использованием панельного метода высшего порядка». Конференция по прикладной аэродинамике . дои : 10.2514/6.1983-1828.
16. Бристоу, Д.Р., «Разработка панельных методов для дозвукового анализа и проектирования», NASA CR-3234, 1980.
17. Эшби, Дейл Л.; Дадли, Майкл Р.; Игучи, Стив К.; Браун, Линдси и Кац, Джозеф, «Теория потенциального потока и руководство по эксплуатации для панели кода PMARC», NASA NASA-TM-102851, 1991.
18. Вудворд, Ф.А., Дворжак, Ф.А. и Геллер, Э.В., «Компьютерная программа для трехмерных несущих тел в дозвуковом невязком потоке», Технический отчет USAAMRDL, TR 74-18, Ft. Юстис, Вирджиния, апрель 1974 г.
19. Кац, Джозеф; Маскью, Брайан (апрель 1988 г.). «Нестационарная тихоходная аэродинамическая модель для полных конфигураций самолетов». Журнал самолетов . 25 (4): 302–310. дои : 10.2514/3.45564.
20. Маскью, Брайан (февраль 1982 г.). «Прогнозирование дозвуковых аэродинамических характеристик: пример панельных методов низкого порядка». Журнал самолетов . 19 (2): 157–163. дои : 10.2514/3.57369.
21. Маскью, Брайан, «Теоретический документ программы VSAERO: компьютерная программа для расчета нелинейных аэродинамических характеристик произвольных конфигураций», NASA CR-4023, 1987.
22. Пинелла, Дэвид и Гаррисон, Питер, «Цифровая аэродинамическая труба CMARC; трехмерные панельные коды низкого порядка», Aerologic, 2009.
23. Эпплер, Р.; Сомерс, Д.М., «Компьютерная программа для проектирования и анализа низкоскоростных профилей», НАСА TM-80210, 1980.
24. Дрела, Марк, «XFOIL: Система анализа и проектирования для профилей с низким числом Рейнольдса», в Springer-Verlag Lecture Notes in Engineering, № 54, 1989.
25. Боппе, К. (1977). «Расчет трансзвуковых течений крыла методом встраивания сетки». 15-е совещание по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1977-207.
26. Мурман, Эрл М.; Коул, Джулиан Д. (январь 1971 г.). «Расчет плоских стационарных трансзвуковых течений». Журнал АИАА . 9 (1): 114–121. Бибкод : 1971AIAAJ...9..114C. дои : 10.2514/3.6131.
27. Теория сверхкритических секций крыла с компьютерными программами и примерами . Конспект лекций по экономике и математическим системам. Том. 66. 1972. doi :10.1007/978-3-642-80678-0. ISBN 978-3-540-05807-6.^{[ нужна страница ]}
28. Мид, HR; Мельник, Р.Э., «GRUMFOIL: компьютерный код для вязкого трансзвукового течения над аэродинамическими профилями», NASA CR-3806, 1985.
29. Джеймсон, А.; Коги, Д. (1977). «Метод конечного объема для расчета трансзвукового потенциального потока». 3-я конференция по вычислительной гидродинамике . дои : 10.2514/6.1977-635.
30. Самант, С.; Буссолетти, Дж.; Джонсон, Ф.; Беркхарт, Р.; Эверсон, Б.; Мелвин, Р.; Янг, Д.; Эриксон, Л.; Мэдсон, М. (1987). «ТРАНАИР - Компьютерный код для трансзвукового анализа произвольных конфигураций». 25-е ​​совещание AIAA по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1987-34.
31. Джеймсон, А.; Шмидт, Вольфганг; Тюркель, ЭЛИ (1981). «Численное решение уравнений Эйлера методами конечных объемов с использованием схем Рунге Кутты с шагом по времени». 14-я конференция по динамике жидкости и плазмы . дои : 10.2514/6.1981-1259.
32. Радж, Прадип; Бреннан, Джеймс Э. (1989). «Усовершенствование аэродинамического метода Эйлера для анализа трансзвуковых потоков». Журнал самолетов . 26 :13–20. дои : 10.2514/3.45717.
33. Тидд, Д.; Страш, Д.; Эпштейн, Б.; Лунц, А.; Нахшон, А.; Рубин, Т. (1991). «Применение эффективного трехмерного многосеточного метода Эйлера (MGAERO) для составления конфигураций самолетов». 9-я конференция по прикладной аэродинамике . дои : 10.2514/6.1991-3236.
34. Мелтон, Джон; Бергер, Марша; Афтосмис, Майкл; Вонг, Майкл (1995). «3D-приложения метода Эйлера на декартовой сетке». 33-е совещание и выставка по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1995-853.
35. Карман, л, младший, Стив (1995). «SPLITFLOW — трехмерный код CFD на неструктурированную декартову/призматическую сетку для сложной геометрии». 33-е совещание и выставка по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1995-343.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
36. Маршалл, Дэвид; Раффин, Стивен (2004). «Схема встроенной граничной декартовой сетки для вязких потоков с использованием новой обработки граничных условий вязкой стенки». 42-я встреча и выставка AIAA по аэрокосмическим наукам. дои : 10.2514/6.2004-581. ISBN 978-1-62410-078-9.
37. Джеймсон, А.; Бейкер, Т.; Уэзерилл, Н. (1986). «Расчет невязкого трансзвукового обтекания всего самолета». 24-е совещание по аэрокосмическим наукам . дои : 10.2514/6.1986-103.
38. Джайлз, М.; Дрела, М.; Томпкинс-младший, В. (1985). «Ньютоновское решение прямых и обратных трансзвуковых уравнений Эйлера». 7-я конференция по вычислительной физике . дои : 10.2514/6.1985-1530.
39. Дрела, Марк (1990). «Ньютоновское решение связанных вязких/невязких многоэлементных течений профиля». 21-я конференция по гидродинамике, динамике плазмы и лазерам . дои : 10.2514/6.1990-1470.
40. Дрела М. и Янгрен Х., «Руководство пользователя по MISES 2.53», Лаборатория вычислительных наук Массачусетского технологического института, декабрь 1998 г.
41. Ферцигер, Дж. Х. и Перич, М. (2002). Вычислительные методы гидродинамики . Спрингер-Верлаг.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
42. «Уравнения Навье-Стокса» . Проверено 7 января 2020 г.
43. Panton, RL (1996). Несжимаемый поток . Джон Уайли и сыновья.
44. Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (2007). Механика жидкости . Эльзевир.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
45. Fox, RW и Макдональд, AT (1992). Введение в механику жидкости . Джон Уайли и сыновья.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
46. Пуансо, Т. и Вейнанте, Д. (2005). Теоретическое и численное горение . РТ Эдвардс.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
47. Кунду, П. (1990). Механика жидкости . Академическая пресса.
48. «Усредненные уравнения Навье-Стокса Фавра» . Проверено 7 января 2020 г.
49. Байи, К., и Дэниел Дж. (2000). «Численное решение задач распространения акустики с использованием линеаризованных уравнений Эйлера». Журнал АИАА . 38 (1): 22–29. Бибкод : 2000AIAAJ..38...22B. дои : 10.2514/2.949.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
50. Харли, Дж. К., Хуанг, Ю. и Бау, Х. Х. и Земель, Дж. Н. (1995). «Течение газа в микроканалах». Журнал механики жидкости . 284 : 257–274. Бибкод : 1995JFM...284..257H. дои : 10.1017/S0022112095000358. S2CID  122833857.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
51. «Одномерные уравнения Эйлера» . Проверено 12 января 2020 г.
52. Каваццути, М. и Кортичелли, М.А. и Караяннис, Т.Г. (2019). «Сжимаемые течения Фанно в микроканалах: улучшенная квази-2D численная модель для ламинарных течений». Тепловая наука и инженерный прогресс . 10 :10–26. дои : 10.1016/ж.цепь.2019.01.003 . hdl : 11392/2414220 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
53. Патанкар, Сухас В. (1980). Численный расчет теплопередачи и потока жидкости . Издательская корпорация Hemisphere. ISBN 978-0891165224.
54. «Подробное объяснение метода конечных элементов (МКЭ)» . www.comsol.com . Проверено 15 июля 2022 г.
55. Андерсон, Джон Дэвид (1995). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-113210-7.
56. Сурана, Калифорния; Аллу, С.; Тенпас, ПВ; Редди, JN (февраль 2007 г.). «k-версия метода конечных элементов в газовой динамике: численные решения глобальной дифференцируемости высшего порядка». Международный журнал численных методов в технике . 69 (6): 1109–1157. Бибкод : 2007IJNME..69.1109S. дои : 10.1002/nme.1801. S2CID  122551159.
57. Хюбнер, К.Х.; Торнтон, ЭА; и Байрон, Т.Д. (1995). Метод конечных элементов для инженеров (Третье изд.). Уайли Интерсайенс.
58. Котте, Жорж-Анри; Кумутсакос, Петрос Д. (2000). Вихревые методы: теория и практика . Кембридж, Великобритания: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-62186-0.
59. Лаундер, Бельгия; Д.Б. Сполдинг (1974). «Численный расчет турбулентных потоков». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 3 (2): 269–289. Бибкод : 1974CMAME...3..269L. дои : 10.1016/0045-7825(74)90029-2.
60. Уилкокс, Дэвид К. (2006). Моделирование турбулентности для CFD (3-е изд.). ISBN DCW Industries, Inc. 978-1-928729-08-2.
61. Папа, SB (2000). Турбулентные потоки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59886-6.
62. Фарж, Мари ; Шнайдер, Кай (2001). «Моделирование когерентного вихря (CVS), полудетерминированная модель турбулентности с использованием вейвлетов». Поток, турбулентность и горение . 66 (4): 393–426. дои : 10.1023/А: 1013512726409. S2CID  53464243.
63. Гольдштейн, Дэниел; Васильев, Олег (1995). «Стохастический когерентный адаптивный метод моделирования больших вихрей». Физика жидкостей А . 24 (7): 2497. Бибкод : 2004PhFl...16.2497G. CiteSeerX 10.1.1.415.6540 . дои : 10.1063/1.1736671. 
64. Лундгрен, TS (1969). «Модельное уравнение неоднородной турбулентности». Физика жидкостей А . 12 (3): 485–497. Бибкод : 1969PhFl...12..485L. дои : 10.1063/1.1692511.
65. Колуччи, П.Дж.; Джабери, ФА; Гиви, П.; Папа, С.Б. (1998). «Фильтрованная функция плотности для моделирования крупных вихрей турбулентных реагирующих потоков». Физика жидкостей А . 10 (2): 499–515. Бибкод : 1998PhFl...10..499C. дои : 10.1063/1.869537.
66. Фокс, Родни (2003). Расчетные модели турбулентных реагирующих течений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-65049-6.
67. Папа, SB (1985). «Методы PDF для турбулентных реактивных потоков». Прогресс в области энергетики и науки о горении . 11 (2): 119–192. Бибкод : 1985PrECS..11..119P. дои : 10.1016/0360-1285(85)90002-4.
68. Крюгер, Стивен К. (1993). «Линейное вихревое моделирование перемешивания в однородном турбулентном потоке». Физика жидкостей . 5 (4): 1023–1034. Бибкод : 1993PhFlA...5.1023M. дои : 10.1063/1.858667.
69. Хирт, CW; Николс, Б.Д. (январь 1981 г.). «Метод объема жидкости (ВОФ) для динамики свободных границ». Журнал вычислительной физики . 39 (1): 201–225. Бибкод : 1981JCoPh..39..201H. дои : 10.1016/0021-9991(81)90145-5.
70. Унверди, Салих Озен; Трюггвасон, Гретар (май 1992 г.). «Метод отслеживания фронта для вязких, несжимаемых, многожидкостных потоков». Журнал вычислительной физики . 100 (1): 25–37. Бибкод : 1992JCoPh.100...25U. дои : 10.1016/0021-9991(92)90307-К. hdl : 2027.42/30059 .
71. Бензи, Микеле; Голуб, Джин Х.; Лизен, Йорг (май 2005 г.). «Численное решение задач седла». Акта Нумерика . 14 : 1–137. Бибкод : 2005AcNum..14....1B. CiteSeerX 10.1.1.409.4160 . дои : 10.1017/S0962492904000212. S2CID  122717775. 
72. Элман, Ховард; Хоул, Вирджиния; Шадид, Джон; Шаттлворт, Роберт; Туминаро, Рэй (январь 2008 г.). «Таксономия и сравнение многоуровневых предобусловливателей параллельных блоков для уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости». Журнал вычислительной физики . 227 (3): 1790–1808. Бибкод : 2008JCoPh.227.1790E. дои : 10.1016/j.jcp.2007.09.026. S2CID  16365489.
73. Адамсон, MR (январь 2006 г.). «Биографии». IEEE Анналы истории вычислений . 28 (1): 99–103. дои : 10.1109/MAHC.2006.5.
74. Джеймсон, Энтони (май 1974 г.). «Итерационное решение околозвуковых обтеканий профилей и крыльев, в том числе течений на скорости 1 Маха». Сообщения по чистой и прикладной математике . 27 (3): 283–309. дои : 10.1002/cpa.3160270302.
75. Борланд, CJ, «XTRAN3S - Трансзвуковая устойчивая и нестационарная аэродинамика для аэроупругих применений», AFWAL-TR-85-3214, Авиационные лаборатории ВВС Райт, авиабаза Райт-Паттерсон, Огайо, январь 1986 г.
76. Кауфманн, Т.А.С., Грефе, Р., Хормс, М., Шмитц-Роде, Т. и Штайнзайферанд, У., «Вычислительная гидродинамика в биомедицинской инженерии», Вычислительная гидродинамика: теория, анализ и приложения, стр. 109– 136
77. Лаос, Шаньдун; Холт, Аарон; Вайдхинатан, Дипти; Ситараман, Харисваран; Хреня, Кристина М.; Хаузер, Томас (2021). «Сравнение производительности решателя CFD-DEM MFiX-Exa на графических процессорах и процессорах». arXiv : 2108.08821 [cs.DC].
78. Ву, Куй; Труонг, Нгиа; Юксель, Цем; Хетцляйн, Рама (май 2018 г.). «Быстрое моделирование жидкости с редкими объемами на графическом процессоре». Форум компьютерной графики . 37 (2): 157–167. дои : 10.1111/cgf.13350. S2CID  43945038.
79. «Поддержка приложений Intersect 360 HPC» (PDF) .

Примечания

• Андерсон, Джон Д. (1995). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями . Наука/Инженерное дело/Математика. МакГроу-Хилл Наука. ISBN 978-0-07-001685-9.
• Патанкар, Сухас (1980). Численная теплопередача и поток жидкости . Серия полушарий по вычислительным методам в механике и теплотехнике. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.

Внешние ссылки

• Курс: Вычислительная гидродинамика – Суман Чакраборти ( Индийский технологический институт Харагпур )
• Курс: методы численного PDE для ученых и инженеров, лекции в открытом доступе и коды для числовых PDE, включая современный взгляд на сжимаемую CFD