стресс Рейнольдса

Концепция механики жидкости

В гидродинамике напряжение Рейнольдса является компонентом полного тензора напряжений в жидкости , полученного в результате операции усреднения по уравнениям Навье – Стокса для учета турбулентных флуктуаций импульса жидкости .

Определение

Поле скорости потока можно разделить на среднюю часть и пульсирующую часть с помощью разложения Рейнольдса . Мы пишем

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

где – вектор скорости потока, имеющий компоненты в направлении координат (с обозначением компонент координатного вектора ). Средние скорости определяются либо путем усреднения по времени , пространственного усреднения или усреднения по ансамблю , в зависимости от исследуемого потока. Далее обозначается пульсационная (турбулентная) часть скорости. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$

Рассмотрим однородную жидкость, плотность ρ которой считается постоянной. Для такой жидкости компоненты τ' _ij тензора напряжений Рейнольдса определяются как:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Другое, часто используемое, определение постоянной плотности компонентов напряжения Рейнольдса:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

который имеет размерность квадрата скорости, а не напряжения.

Усреднение и напряжение Рейнольдса

Для иллюстрации используется декартово векторное обозначение индекса. Для простоты рассмотрим несжимаемую жидкость :

Учитывая скорость жидкости как функцию положения и времени, запишите среднюю скорость жидкости как , а колебание скорости — . Затем . ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Традиционные ансамблевые правила усреднения заключаются в том, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Уравнения Эйлера (динамика жидкости) или уравнения Навье-Стокса разделяются на среднюю и флуктуирующую часть. Обнаружено, что при усреднении уравнений жидкости в правой части появляется напряжение вида . Это напряжение Рейнольдса, условно записанное : ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

Дивергенция этого напряжения представляет собой плотность силы, воздействующей на жидкость из-за турбулентных колебаний .

Усреднение по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса

Например, для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости уравнения неразрывности и количества движения — уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости — могут быть записаны (в неконсервативной форме) как

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

где – лагранжева производная или существенная производная , ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Если определить приведенные выше переменные потока с помощью усредненной по времени составляющей и пульсирующей составляющей, уравнения непрерывности и количества движения примут вид

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Рассматривая одно из слагаемых в левой части уравнения количества движения, видно, что

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

где последний член в правой части обращается в нуль в результате уравнения неразрывности. Соответственно, уравнение количества движения принимает вид

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Теперь уравнения неразрывности и количества движения будут усреднены. Необходимо использовать ансамблевые правила усреднения, помня о том, что среднее значение произведений изменяющихся величин, как правило, не обращается в нуль. После усреднения уравнения неразрывности и импульса примут вид

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Используя правило произведения для одного из членов левой части, выясняется, что

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

где последний член в правой части обращается в нуль в результате усреднения уравнения неразрывности. После перестановки уравнение усредненного количества движения теперь принимает вид:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

где напряжения Рейнольдса, , собраны с членами вязкого нормального напряжения и напряжения сдвига , . ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$ ${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Обсуждение

Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса было впервые представлено уравнением (1.6) в статье Чжоу Пэйюаня . ^[1] Уравнение в современной форме имеет вид

$${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$

кинематическая вязкостькинетическая энергия турбулентности ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle g}$

Тогда возникает вопрос: какова величина напряжения Рейнольдса? Это было предметом интенсивного моделирования и интереса на протяжении примерно прошлого столетия. Проблема признана проблемой замыкания , сродни проблеме замыкания в иерархии BBGKY . Уравнение переноса напряжения Рейнольдса можно найти, взяв внешнее произведение уравнений жидкости для пульсирующей скорости на самого себя.

Обнаружено, что уравнение переноса напряжения Рейнольдса включает члены с корреляциями более высокого порядка (в частности, тройную корреляцию ), а также корреляции с колебаниями давления (т.е. импульсом, переносимым звуковыми волнами). Распространенным решением является моделирование этих условий с помощью простых специальных предписаний. ${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

Теория рейнольдсовского напряжения вполне аналогична кинетической теории газов , и действительно, тензор напряжений в жидкости в определенной точке можно рассматривать как среднее по ансамблю напряжений, обусловленное тепловыми скоростями молекул в данной точке. жидкость. Таким образом, по аналогии, напряжение Рейнольдса иногда считают состоящим из изотропной части давления, называемой турбулентным давлением, и недиагональной части, которую можно рассматривать как эффективную турбулентную вязкость.

Фактически, хотя на разработку хороших моделей напряжения Рейнольдса в жидкости было затрачено много усилий, на практике при решении уравнений жидкости с использованием вычислительной гидродинамики часто самые простые модели турбулентности оказываются наиболее эффективными. Одним из классов моделей, тесно связанных с концепцией турбулентной вязкости, являются k-эпсилон-модели турбулентности , основанные на связанных уравнениях переноса для турбулентной плотности энергии (аналогично турбулентному давлению, т.е. следу напряжения Рейнольдса) и турбулентных уравнений переноса. скорость диссипации . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Обычно среднее значение формально определяется как среднее по ансамблю, как в статистической теории ансамбля . Однако с практической точки зрения среднее значение можно также рассматривать как среднее по пространству в некотором масштабе длины или среднее по времени. Заметим, что если формально связь между такими средними в равновесной статистической механике обоснована эргодической теоремой , то статистическая механика гидродинамической турбулентности в настоящее время далека от понимания. Фактически, напряжение Рейнольдса в любой данной точке турбулентной жидкости в некоторой степени подлежит интерпретации, в зависимости от того, как определить среднее значение.

Рекомендации

1. П.Я. Чоу (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентных пульсаций». Кварта. Прил. Математика . 3 : 38–54. дои : 10.1090/qam/11999 .

• Хинце, Дж. О. (1975). Турбулентность (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-029037-7.
• Теннекес, Х. ; Ламли, Дж. Л. (1972). Первый курс турбулентности . МТИ Пресс. ISBN 0-262-20019-8.
• Папа, Стивен Б. (2000). Турбулентные потоки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59886-9.