Ньютоновская жидкость

Тип жидкости

Ньютоновская жидкость — это жидкость , в которой вязкие напряжения , возникающие при ее течении , в каждой точке линейно коррелируют с локальной скоростью деформации — скоростью изменения ее деформации с течением времени. ^{[1] [2] [3] [4] Напряжения пропорциональны скорости изменения} вектора скорости жидкости .

Жидкость является ньютоновской только в том случае, если тензоры , описывающие вязкое напряжение и скорость деформации, связаны постоянным тензором вязкости , который не зависит от напряженного состояния и скорости течения. Если жидкость также изотропна (т. е. ее механические свойства одинаковы вдоль любого направления), тензор вязкости сводится к двум действительным коэффициентам, описывающим сопротивление жидкости непрерывной сдвиговой деформации и непрерывному сжатию или расширению соответственно.

Ньютоновские жидкости являются самыми простыми математическими моделями жидкостей, учитывающими вязкость. Хотя ни одна реальная жидкость не соответствует определению идеально, многие обычные жидкости и газы, такие как вода и воздух, можно считать ньютоновскими для практических расчетов в обычных условиях. Однако неньютоновские жидкости относительно распространены и включают в себя ооблек (который становится жестче при сильном сдвиге) и некапающую краску (которая становится тоньше при сдвиге ). Другие примеры включают в себя многие полимерные растворы (которые демонстрируют эффект Вайссенберга ), расплавленные полимеры, многие твердые суспензии, кровь и большинство высоковязких жидкостей.

Ньютоновские жидкости названы в честь Исаака Ньютона , который впервые использовал дифференциальное уравнение , чтобы постулировать связь между скоростью деформации сдвига и напряжением сдвига для таких жидкостей.

Определение

Элемент текущей жидкости или газа будет выдерживать силы от окружающей жидкости, включая силы вязкого напряжения , которые заставляют его постепенно деформироваться с течением времени. Эти силы могут быть математически аппроксимированы первым порядком тензором вязкого напряжения , обычно обозначаемым как . ${\displaystyle \tau }$

Деформация элемента жидкости относительно некоторого предыдущего состояния может быть аппроксимирована первым порядком тензора деформации , который изменяется со временем. Производная по времени этого тензора — это тензор скорости деформации , который выражает, как деформация элемента изменяется со временем; а также градиент векторного поля скорости в этой точке, часто обозначаемый . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla v}$

Тензоры и могут быть выражены матрицами 3×3 относительно любой выбранной системы координат . Жидкость называется ньютоновской, если эти матрицы связаны уравнением , где — фиксированный тензор четвертого порядка 3×3×3×3, который не зависит от скорости или напряженного состояния жидкости. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nabla v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}(\nabla v)}$ ${\displaystyle \mu }$

Несжимаемый изотропный случай

Для несжимаемой и изотропной ньютоновской жидкости, текущей ламинарно только в направлении x (т.е. когда вязкость изотропна в жидкости), напряжение сдвига связано со скоростью деформации простым уравнением состояния , где $${\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}$$

• ${\displaystyle \tau }$- это касательное напряжение (« сопротивление кожи ») в жидкости,
• ${\displaystyle \mu }$скалярная константа пропорциональности, динамическая вязкость жидкости
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$— производная в направлении y, перпендикулярном x, составляющей скорости потока u, ориентированной вдоль направления x.

В случае общего двумерного несжимаемого течения в плоскости x, y уравнение состояния Ньютона принимает вид:

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}$$где:

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$- это касательное напряжение (« сопротивление кожи ») в жидкости,
• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$представляет собой частную производную по направлению y составляющей скорости потока u, ориентированной вдоль направления x.
• ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}}$представляет собой частную производную по направлению x составляющей скорости потока v, ориентированной вдоль направления y.

Теперь мы можем обобщить это на случай несжимаемого потока с общим направлением в трехмерном пространстве, при этом приведенное выше уравнение состояния принимает вид , где $${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

• ${\displaystyle x_{j}}$-я пространственная координата ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle v_{i}}$это скорость жидкости в направлении оси ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$-я составляющая напряжения, действующего на грани элемента жидкости, перпендикулярные оси . Это ij-я составляющая тензора касательных напряжений ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

или записанный в более компактной тензорной записи, где — градиент скорости потока. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

Альтернативный способ сформулировать это конститутивное уравнение:

Уравнение Стокса для определения напряжений (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

где - тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение можно сделать явным как: ^[5] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

Уравнение Стокса для определения напряжений (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Это уравнение состояния также называется законом вязкости Ньютона .

Полный тензор напряжений всегда можно разложить в виде суммы изотропного тензора напряжений и девиаторного тензора напряжений ( ): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'}$

В несжимаемом случае изотропное напряжение просто пропорционально термодинамическому давлению : ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}}$$

и девиаторное напряжение совпадает с тензором касательного напряжения : ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$

Тогда уравнение состояния напряжения принимает вид или записывается в более компактной тензорной записи, где — единичный тензор. $${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Общий сжимаемый корпус

Основной закон Ньютона для сжимаемого потока вытекает из следующих предположений относительно тензора напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это градиент тензора , или, проще говоря, тензор скорости деформации : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• девиаторное напряжение линейно по этой переменной: , где не зависит от тензора скорости деформации, — тензор четвертого порядка, представляющий собой константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или упругости , а: — произведение двух точек . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, является изотропным тензором; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений симметричен, с помощью разложения Гельмгольца его можно выразить через два скалярных параметра Ламе , вторую вязкость и динамическую вязкость , как это обычно бывает в линейной упругости : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Уравнение линейного напряжения (выражение, аналогичное выражению для упругого твердого тела)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  где — тензор тождественности , а — след тензора скорости деформации. Таким образом, это разложение можно явно определить как: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях представляет собой дивергенцию ( т.е. скорость расширения) потока: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Учитывая это соотношение и то, что след тензора тождества в трех измерениях равен трем: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

след тензора напряжений в трех измерениях становится: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Таким образом, поочередно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как это обычно делается в гидродинамике: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p+\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Вводя объемную вязкость , ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

приходим к линейному основному уравнению в форме, обычно используемой в термогидравлике : ^[5]

Уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

который также может быть организован в другой обычной форме: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Обратите внимание, что в сжимаемом случае давление больше не пропорционально члену изотропного напряжения , поскольку имеется дополнительный член объемной вязкости: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

и тензор девиаторных напряжений по-прежнему совпадает с тензором сдвиговых напряжений (т.е. девиаторное напряжение в ньютоновской жидкости не имеет нормальных компонент напряжения), и в дополнение к несжимаемому случаю у него есть член сжимаемости, который пропорционален сдвиговой вязкости: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Обратите внимание, что случай несжимаемой жидкости соответствует предположению, что давление ограничивает поток таким образом, что объем жидких элементов остается постоянным: изохорный поток, приводящий к соленоидальному полю скорости с . ^[8] Таким образом, возвращаемся к выражениям для давления и девиаторного напряжения, рассмотренным в предыдущем абзаце. ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Как объемная вязкость , так и динамическая вязкость не обязательно должны быть постоянными – в общем случае они зависят от двух термодинамических переменных, если жидкость содержит один химический вид, например, давления и температуры. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния . ^[9] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

Помимо зависимости от давления и температуры, второй коэффициент вязкости также зависит от процесса, то есть второй коэффициент вязкости является не просто свойством материала. Пример: в случае звуковой волны с определенной частотой, которая попеременно сжимает и расширяет элемент жидкости, второй коэффициент вязкости зависит от частоты волны. Эта зависимость называется дисперсией . В некоторых случаях вторую вязкость можно считать постоянной, и в этом случае эффект объемной вязкости заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : ^[10], как показано ниже. Однако этой разницей обычно пренебрегают большую часть времени (то есть всякий раз, когда мы не имеем дело с такими процессами, как поглощение звука и затухание ударных волн, ^[11] , где второй коэффициент вязкости становится важным), явно предполагая . Предположение об установке называется гипотезой Стокса . ^[12] Справедливость гипотезы Стокса может быть продемонстрирована для одноатомного газа как экспериментально, так и с помощью кинетической теории; ^[13] Для других газов и жидкостей гипотеза Стокса, как правило, неверна. ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Наконец, отметим, что гипотеза Стокса менее ограничительна, чем гипотеза несжимаемого потока. Фактически, в несжимаемом потоке как член объемной вязкости, так и член сдвиговой вязкости в дивергенции члена скорости потока исчезают, в то время как в гипотезе Стокса первый член также исчезает, но второй все еще остается.

Для анизотропных жидкостей

В более общем случае в неизотропной ньютоновской жидкости коэффициент, связывающий внутренние напряжения трения с пространственными производными поля скорости, заменяется девятиэлементным тензором вязких напряжений . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Существует общая формула для силы трения в жидкости: Векторный дифференциал силы трения равен тензору вязкости, умноженному на векторный дифференциал произведения вектора площади соприкасающихся слоев жидкости и ротора скорости: где - тензор вязкости . Диагональные компоненты тензора вязкости - это молекулярная вязкость жидкости, а не диагональные компоненты - турбулентная вихревая вязкость. ^[14] $${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }$$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Ньютоновский закон вязкости

Следующее уравнение иллюстрирует связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига для жидкости с ламинарным течением только в направлении x : где: $${\displaystyle \tau _{xy}=\mu {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}},}$$

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$это касательное напряжение в компонентах x и y, т.е. составляющая силы в направлении x на единицу поверхности, которая нормальна направлению y (то есть параллельна направлению x)
• ${\displaystyle \mu }$это вязкость, и
• ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}}}$— градиент скорости потока вдоль направления y, то есть перпендикулярного скорости потока . ${\displaystyle v_{x}}$

Если вязкость постоянна, жидкость является ньютоновской.

Модель степенного закона

Синим цветом показана ньютоновская жидкость по сравнению с дилатантной и псевдопластичной, угол зависит от вязкости.

Модель степенного закона используется для отображения поведения ньютоновских и неньютоновских жидкостей и измерения напряжения сдвига как функции скорости деформации.

Соотношение между напряжением сдвига, скоростью деформации и градиентом скорости для модели степенного закона имеет вид: где $${\displaystyle \tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$— абсолютное значение скорости деформации в степени ( n −1);
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$— градиент скорости;
• n — индекс степенного закона.

Если

• n < 1, то жидкость является псевдопластичной.
• n = 1, то жидкость является ньютоновской.
• n > 1, то жидкость является дилатантом.

Модель жидкости

Соотношение между напряжением сдвига и скоростью сдвига в модели жидкости Кассона определяется следующим образом: где τ ₀ — предел текучести, а α зависит от состава белка, а H — гематокритное число. $${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$ $${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$

Примеры

Вода , воздух , спирт , глицерин и жидкое моторное масло — все это примеры ньютоновских жидкостей в диапазоне касательных напряжений и скоростей сдвига, встречающихся в повседневной жизни. Однофазные жидкости, состоящие из малых молекул, как правило (хотя и не исключительно) являются ньютоновскими.

Смотрите также

• Механика жидкости
• Неньютоновская жидкость
• Тензор скорости деформации
• Вязкость
• Тензор вязких напряжений

Ссылки

1. Пантон, Рональд Л. (2013). Несжимаемый поток (Четвертое изд.). Хобокен: John Wiley & Sons. стр. 114. ISBN 978-1-118-01343-4.
2. Batchelor, GK (2000) [1967]. Введение в динамику жидкости. Серия Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
3. Кунду, П.; Коэн, И. Механика жидкости . стр. (необходима страница).
4. Кирби, Б. Дж. (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрожидкостных устройствах. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0– через kirbyresearch.com.
5. Batchelor (1967) стр. 137 и 142.
6. Chorin, Alexandre E.; Marsden, Jerrold E. (1993). Математическое введение в механику жидкости . стр. 33.
7. Берд, Стюарт, Лайтфут, Явления переноса, 1-е изд., 1960, уравнение (3.2-11a)
8. Бэтчелор (1967) стр. 75.
9. Бэтчелор (1967) стр. 165.
10. Ландау и Лифшиц (1987) стр. 44–45, 196
11. Уайт (2006) стр. 67.
12. Стокс, Г. Г. (2007). О теориях внутреннего трения движущихся жидкостей и равновесия и движения упругих твердых тел.
13. Винченти, WG, Кругер-младший, CH (1975). Введение в физическую газовую динамику. Введение в физическую газовую динамику/Хантингтон.
14. Волобуев, А. Н. (2012). Основы несимметричной гидромеханики . Нью-Йорк: Nova Science Publishers, Inc. ISBN  978-1-61942-696-2.