Тензор вязких напряжений

Тензор вязких напряжений — это тензор, используемый в механике сплошной среды для моделирования части напряжения в точке внутри некоторого материала, которую можно отнести к скорости деформации , то есть скорости , с которой он деформируется вокруг этой точки.

Тензор вязких напряжений формально аналогичен тензору упругих напряжений (тензору Коши) , который описывает внутренние силы в упругом материале, возникающие из-за его деформации. Оба тензора отображают нормальный вектор элемента поверхности в плотность и направление напряжения, действующего на этот элемент поверхности. Однако упругое напряжение обусловлено величиной деформации ( деформацией ), в то время как вязкое напряжение обусловлено скоростью изменения деформации с течением времени (скоростью деформации). В вязкоупругих материалах, поведение которых является промежуточным между поведением жидкостей и твердых тел, полный тензор напряжений включает как вязкую, так и упругую («статическую») компоненты. Для полностью жидкого материала упругий член сводится к гидростатическому давлению .

В произвольной системе координат вязкое напряжение $ε$ и скорость деформации $E$ в определенной точке и времени могут быть представлены матрицами 3 × 3 действительных чисел. Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть тензор вязкости четвертого порядка $μ$ такой, что $ε = μE$ . Тензор $μ$ имеет четыре индекса и состоит из 3 × 3 × 3 × 3 действительных чисел (из которых только 21 являются независимыми). В ньютоновской жидкости , по определению, связь между $ε$ и $E$ является идеально линейной, а тензор вязкости $μ$ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является как изотропной, так и ньютоновской, тензор вязкости $μ$ будет иметь только три независимых действительных параметра: коэффициент объемной вязкости , который определяет сопротивление среды постепенному равномерному сжатию; коэффициент динамической вязкости , который выражает ее сопротивление постепенному сдвигу, и коэффициент вращательной вязкости , который является результатом связи между потоком жидкости и вращением отдельных частиц. ^[1]^{: 304} При отсутствии такой связи тензор вязкого напряжения будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. В неньютоновских жидкостях , с другой стороны, связь между $ε$ и $E$ может быть крайне нелинейной, и $ε$ может даже зависеть от других характеристик потока помимо $E$ .

Определение

Вязкое и упругое напряжение

Внутренние механические напряжения в сплошной среде обычно связаны с деформацией материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают упругую («статическую») составляющую напряжения, которая связана с текущей величиной деформации и действует для восстановления материала в его состояние покоя; и вязкую составляющую напряжения , которая зависит от скорости изменения деформации со временем и противодействует этому изменению.

Тензор вязких напряжений

Подобно общим и упругим напряжениям, вязкое напряжение вокруг определенной точки материала в любой момент времени можно смоделировать с помощью тензора напряжений — линейной зависимости между вектором нормального направления идеальной плоскости, проходящей через точку, и локальной плотностью напряжений на этой плоскости в этой точке.

В любой выбранной системе координат с осями, пронумерованными 1, 2, 3, этот тензор вязких напряжений можно представить в виде матрицы действительных чисел размером 3 × 3:

\varepsilon (p,t)={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11} &\varepsilon _{12} &\varepsilon _{13} \\\varepsilon _{21} &\varepsilon _{ 22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,.

Обратите внимание, что эти числа обычно изменяются в зависимости от точки $p$ и времени $t$ .

Рассмотрим бесконечно малый плоский элемент поверхности с центром в точке $p$ , представленный вектором $dA$ , длина которого равна площади элемента, а направление перпендикулярно ему. Пусть $dF$ будет бесконечно малой силой, вызванной вязким напряжением, которое приложено через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной $dA$ . Компоненты $dF$ вдоль каждой оси координат тогда задаются как

dF_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}\,dA_{j}\,.

В любом материале полный тензор напряжений $σ$ является суммой этого тензора вязких напряжений $ε$ , тензора упругих напряжений $τ$ и гидростатического давления $p$ . В идеально жидком материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:

\sigma _{ij} = -p\delta _{ij}+\varepsilon _{ij}\,,

где $δ ij$ — единичный тензор , такой, что $δ ij$ равен 1, если $i = j$ , и 0, если $i \neq j$ .

В то время как вязкие напряжения генерируются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений $ε$ является лишь описанием локальных моментных сил между соседними участками материала, а не свойством материала.

Симметрия

Игнорируя крутящий момент на элементе, обусловленный потоком («внешний» крутящий момент), вязкий «собственный» крутящий момент на единицу объема на элементе жидкости записывается (как антисимметричный тензор) как

\tau _{ij} =\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ji}

и представляет собой скорость изменения собственной плотности углового момента со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет подразумевать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен столкновениями, возможно, что этот собственный угловой момент может изменяться со временем, приводя к собственному крутящему моменту, который не равен нулю, что будет подразумевать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричный компонент с соответствующим коэффициентом вращательной вязкости . ^[1] Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент не связан заметно с внешним угловым моментом, или если время уравновешивания между внешними и внутренними степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю, а тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричному компоненту тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости , которые могут испытывать крутящий момент от внешних магнитных полей ).

Физические причины вязкого напряжения

В твердом материале упругая составляющая напряжения может быть приписана деформации связей между атомами и молекулами материала и может включать в себя напряжения сдвига . В жидкости упругое напряжение может быть приписано увеличению или уменьшению среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновения или взаимодействия и, следовательно, на передачу импульса через жидкость; поэтому оно связано с микроскопической тепловой случайной составляющей движения частиц и проявляется как изотропное гидростатическое напряжение давления.

Вязкая составляющая напряжения, с другой стороны, возникает из макроскопической средней скорости частиц. Она может быть отнесена к трению или диффузии частиц между соседними участками среды, имеющими разные средние скорости.

Уравнение вязкости

Тензор скорости деформации

В гладком потоке скорость изменения локальной деформации среды с течением времени (скорость деформации) может быть аппроксимирована тензором скорости деформации $E (p, t)$ , который обычно является функцией точки $p$ и времени $t$ . Относительно любой системы координат его можно выразить матрицей 3 × 3.

Тензор скорости деформации $E (p, t)$ можно определить как производную тензора деформации $e (p, t)$ по времени или, что эквивалентно, как симметричную часть градиента ( производной по пространству) вектора скорости потока $v (p, t)$ :

E={\frac {\partial e}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left((\nabla v)+(\nabla v)^{\textsf {T}}\right)\,,

где $\nabla v$ обозначает градиент скорости. В декартовых координатах $\nabla v$ — матрица Якоби ,

(\nabla v)_{ij}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}

и поэтому

E_{ij}={\frac {\partial e_{ij}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)\,.

В любом случае тензор скорости деформации $E (p, t)$ выражает скорость, с которой средняя скорость изменяется в среде по мере удаления от точки $p$ — за исключением изменений, вызванных вращением среды вокруг точки $p$ как твердого тела, которые не изменяют относительные расстояния частиц и вносят вклад во вращательную часть вязкого напряжения только посредством вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения составляют вихрь потока , который представляет собой вихрь ( вращательный) $\nabla \times v$ скорости; который также является антисимметричной частью градиента скорости $\nabla v$ .)

Общие потоки

Тензор вязких напряжений является лишь линейным приближением напряжений вокруг точки $p$ и не учитывает члены более высокого порядка его ряда Тейлора . Однако почти во всех практических ситуациях эти члены можно игнорировать, поскольку они становятся пренебрежимо малыми в масштабах размеров, где вязкое напряжение генерируется и влияет на движение среды. То же самое можно сказать о тензоре скорости деформации $E$ как представлении картины скорости вокруг $p$ .

Таким образом, линейные модели, представленные тензорами $E$ и $ε,$ почти всегда достаточны для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамики . В частности, локальная скорость деформации $E (p, t)$ является единственным свойством потока скорости, которое напрямую влияет на вязкое напряжение $ε (p, t)$ в данной точке.

С другой стороны, соотношение между $E$ и $ε$ может быть довольно сложным и сильно зависеть от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Оно также часто сильно нелинейно и может зависеть от деформаций и напряжений, ранее испытанных материалом, который теперь находится вокруг рассматриваемой точки.

Общие ньютоновские среды

Среда называется ньютоновской, если вязкое напряжение $ε (p, t)$ является линейной функцией скорости деформации $E (p, t)$ , и эта функция не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг $p$ . Ни одна реальная жидкость не является идеально ньютоновской, но многие важные жидкости, включая газы и воду, можно считать таковыми, пока напряжения течения и скорости деформации не слишком высоки.

В общем случае линейная связь между двумя тензорами второго порядка является тензором четвертого порядка. В ньютоновской среде, в частности, вязкое напряжение и скорость деформации связаны тензором вязкости $μ$ :

\varepsilon _{ij}=\sum _{kl}2{\boldsymbol {\mu }}_{ijkl}E_{kl}\,.

Коэффициент вязкости $μ$ — это свойство ньютоновского материала, которое по определению не зависит ни от $v$ , ни от $σ$ .

Тензор скорости деформации $E (p, t)$ симметричен по определению, поэтому он имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости $μ$ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязкого напряжения также симметричен, что дополнительно уменьшает число параметров вязкости до 6 × 6 = 36.

Сдвиговое и объемное вязкое напряжение

При отсутствии вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и любой симметричный тензор, тензор вязких напряжений $ε$ может быть выражен как сумма бесследового симметричного тензора $ε$ $s$ и скалярного кратного $ε$ $v$ тензора тождественности. В координатной форме ,

{\begin{aligned}\varepsilon _{ij} &=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt ]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _ {ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\, .\end{выровнено}}

Это разложение не зависит от системы координат и, следовательно, физически значимо. Постоянная часть $ε v$ тензора вязких напряжений проявляется как своего рода давление или объемное напряжение, которое действует одинаково и перпендикулярно на любую поверхность независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появляться только при изменении деформации, противодействуя изменению; и может быть отрицательным.

Изотропный ньютоновский случай

В ньютоновской среде, которая является изотропной (т.е. свойства которой одинаковы во всех направлениях), каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью тензора скорости деформации.

{\begin{align}\varepsilon ^{\text{v}}(p,t)&=2\mu ^{\text{v}}E^{\text{v}}(p,t)\,,\\\varepsilon ^{\text{s}}(p,t)&=2\mu ^{\text{s}}E^{\text{s}}(p,t)\,,\end{align}}

где $E v$ и $E s$ — скалярная изотропная и нулевая части тензора скорости деформации $E$ , а $μ v$ и $μ s$ — два действительных числа. ^[2] Таким образом, в этом случае тензор вязкости $μ$ имеет только два независимых параметра.

Нулевой след $E s$ от $E$ представляет собой симметричный тензор 3 × 3, описывающий скорость, с которой среда деформируется сдвигом, игнорируя любые изменения ее объема. Таким образом, нулевой след $ε s$ от $ε$ представляет собой знакомое вязкое напряжение сдвига , связанное с прогрессирующей деформацией сдвига . Это вязкое напряжение, которое возникает в жидкости, движущейся по трубке с равномерным поперечным сечением ( течение Пуазейля ) или между двумя параллельно движущимися пластинами ( течение Куэтта ), и сопротивляется этим движениям.

Часть $E v$ от $E$ действует как скалярный множитель (подобно $ε v$ ), средняя скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (Она представлена в любой системе координат диагональной матрицей 3 × 3 с равными значениями по диагонали.) Она численно равна ⁠1/3⁠ дивергенции скорости

\nabla \cdot v=\sum _{k}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}\,,

что в свою очередь представляет собой относительную скорость изменения объема жидкости вследствие потока.

Следовательно, скалярная часть $ε v$ от $ε$ представляет собой напряжение, которое можно наблюдать, когда материал сжимается или расширяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. Оно проявляется как дополнительное давление , которое появляется только при сжатии материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционально скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только объем перестает меняться.

Эта часть вязкого напряжения, обычно называемая объемной вязкостью или вязкостью объема, часто важна в вязкоупругих материалах и отвечает за затухание волн давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, когда материал можно считать несжимаемым (например, при моделировании течения воды в канале).

Коэффициент $μ v$ , часто обозначаемый как $η$ , называется коэффициентом объемной вязкости (или «второй вязкостью»); тогда как $μ s$ является коэффициентом общей (сдвиговой) вязкости.

Смотрите также

Ссылки

^ аб Де Гроот, SR; Мазур, П. (1984). Неравновесная термодинамика . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-64741-2.
^ Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1997). Механика жидкостей . Перевод Сайкса, Дж. Б.; Рейда, У. Х. (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2767-0.