Поверхностный интеграл

Интеграция по неплоской области в трехмерном пространстве

Определение поверхностного интеграла основано на разбиении поверхности на малые поверхностные элементы.

В математике , в частности, в многомерном исчислении , поверхностный интеграл является обобщением множественных интегралов для интегрирования по поверхностям . Его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла . Если задана поверхность, можно проинтегрировать по этой поверхности скалярное поле (то есть функцию положения, которая возвращает скаляр в качестве значения) или векторное поле (то есть функцию, которая возвращает вектор в качестве значения). Если область R не является плоской, то она называется поверхностью, как показано на рисунке.

Поверхностные интегралы применяются в физике , особенно в теориях классического электромагнетизма .

Иллюстрация одного элемента поверхности. Эти элементы сделаны бесконечно малыми, с помощью предельного процесса, чтобы приблизиться к поверхности.

Поверхностные интегралы скалярных полей

Предположим, что f — скалярное, векторное или тензорное поле, определенное на поверхности S. Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла f по S , нам нужно параметризовать S , определив систему криволинейных координат на S , например, широту и долготу на сфере . Пусть такая параметризация будет r ( s , t ) , где ( s , t ) изменяется в некоторой области T на плоскости . Тогда поверхностный интеграл задается как

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где выражение между чертами с правой стороны является величиной векторного произведения частных производных r ( s , t ) и известно как элемент поверхности (который, например, дал бы меньшее значение вблизи полюсов сферы, где линии долготы сходятся более резко, а широтные координаты расположены более компактно). Поверхностный интеграл также может быть выражен в эквивалентной форме

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где g — определитель первой фундаментальной формы отображения поверхности r ( s , t ) . ^{[1] [2]}

Например, если мы хотим найти площадь поверхности графика некоторой скалярной функции, скажем, z = f ( x , y ) , мы имеем

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

где r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Так что , и . Итак, ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

что является стандартной формулой для площади поверхности, описанной таким образом. Вектор в предпоследней строке выше можно распознать как нормальный вектор к поверхности.

Из-за наличия векторного произведения приведенные выше формулы работают только для поверхностей, встроенных в трехмерное пространство.

Это можно рассматривать как интегрирование римановой формы объема на параметризованной поверхности, где метрический тензор задается первой фундаментальной формой поверхности.

Поверхностные интегралы векторных полей

Рассмотрим векторное поле v на поверхности S , то есть для каждого r = ( x , y , z ) в S , v ( r ) является вектором.

Интеграл v по S был определен в предыдущем разделе. Предположим теперь, что требуется проинтегрировать только нормальную составляющую векторного поля по поверхности, результатом чего является скаляр, обычно называемый потоком, проходящим через поверхность. Например, представьте, что у нас есть жидкость, текущая через S , так что v ( r ) определяет скорость жидкости в r . Поток определяется как количество жидкости, протекающей через S за единицу времени.

Эта иллюстрация подразумевает , что если векторное поле касается S в каждой точке, то поток равен нулю, поскольку жидкость просто течет параллельно S, а не внутрь и не наружу. Это также подразумевает, что если v не просто течет вдоль S , то есть если v имеет как тангенциальную , так и нормальную составляющую, то только нормальная составляющая вносит вклад в поток. Исходя из этого рассуждения, чтобы найти поток, нам нужно взять скалярное произведение v с единичной нормалью поверхности n к S в каждой точке, что даст нам скалярное поле, и проинтегрировать полученное поле, как указано выше. Другими словами, нам нужно проинтегрировать v относительно элемента векторной поверхности , который является вектором, нормальным к S в данной точке, величина которого равна ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$ ${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

Находим формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Векторным произведением в правой части этого выражения является (не обязательно единичная) нормаль к поверхности, определяемая параметризацией.

Эта формула определяет интеграл слева (обратите внимание на точку и векторное обозначение элемента поверхности).

Мы также можем интерпретировать это как особый случай интегрирования 2-форм, где мы отождествляем векторное поле с 1-формой, а затем интегрируем его дуальное по Ходжу по поверхности. Это эквивалентно интегрированию по погруженной поверхности, где — индуцированная объемная форма на поверхности, полученная внутренним умножением римановой метрики окружающего пространства на внешнюю нормаль поверхности. ${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$ ${\displaystyle \mathrm {d} S}$

Поверхностные интегралы дифференциальных 2-форм

Позволять

${\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}$

— дифференциальная 2-форма, определенная на поверхности S , и пусть

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

быть ориентацией сохраняющей параметризацией S с в D. Изменяя координаты с на , дифференциальные формы преобразуются как ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Так преобразуется в , где обозначает определитель якобиана функции перехода от к . Преобразование других форм аналогично . ${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Тогда поверхностный интеграл f на S определяется выражением

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

— элемент поверхности, нормальный к S.

Заметим, что поверхностный интеграл этой 2-формы совпадает с поверхностным интегралом векторного поля, имеющего в качестве компонент , и . ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f_{z}}$

Теоремы, включающие поверхностные интегралы

Различные полезные результаты для поверхностных интегралов могут быть получены с использованием дифференциальной геометрии и векторного исчисления , например, теорема о расходимости , магнитном потоке и ее обобщение — теорема Стокса .

Зависимость от параметризации

Заметим, что мы определили поверхностный интеграл, используя параметризацию поверхности S. Мы знаем, что заданная поверхность может иметь несколько параметризаций. Например, если мы перемещаем положения Северного и Южного полюсов на сфере, широта и долгота изменяются для всех точек на сфере. Тогда возникает естественный вопрос: зависит ли определение поверхностного интеграла от выбранной параметризации? Для интегралов скалярных полей ответ на этот вопрос прост: значение поверхностного интеграла будет тем же самым, независимо от того, какую параметризацию мы используем.

Для интегралов векторных полей все сложнее, поскольку задействована нормаль поверхности. Можно доказать, что при двух параметризациях одной и той же поверхности, нормали поверхности которых указывают в одном направлении, получается одно и то же значение для поверхностного интеграла с обеими параметризациями. Если же нормали для этих параметризаций указывают в противоположных направлениях, то значение поверхностного интеграла, полученное с использованием одной параметризации, будет отрицательным по сравнению с полученным с помощью другой параметризации. Из этого следует, что при наличии поверхности нам не нужно придерживаться какой-либо уникальной параметризации, но при интегрировании векторных полей нам нужно заранее решить, в каком направлении будет указывать нормаль, а затем выбрать любую параметризацию, соответствующую этому направлению.

Другая проблема заключается в том, что иногда поверхности не имеют параметризации, которая покрывает всю поверхность. Очевидным решением является разделение этой поверхности на несколько частей, вычисление интеграла поверхности для каждой части, а затем их сложение. Действительно, так все и работает, но при интегрировании векторных полей нужно снова быть осторожным в выборе вектора, указывающего нормаль для каждой части поверхности, так что когда части будут снова собраны вместе, результаты будут согласованными. Для цилиндра это означает, что если мы решим, что для боковой области нормаль будет указывать из тела, то для верхней и нижней круговых частей нормаль также должна указывать из тела.

Наконец, существуют поверхности, которые не допускают нормали поверхности в каждой точке с согласованными результатами (например, лента Мёбиуса ). Если такую ​​поверхность разбить на части, на каждой части выбрать параметризацию и соответствующую нормаль поверхности, а затем снова собрать части, мы обнаружим, что нормальные векторы, исходящие из разных частей, не могут быть согласованы. Это означает, что на некотором стыке между двумя частями мы будем иметь нормальные векторы, направленные в противоположные стороны. Такая поверхность называется неориентируемой , и на таком виде поверхности нельзя говорить об интегрировании векторных полей.

Смотрите также

• Элемент площади
• Теорема о дивергенции
• Теорема Стокса
• Интеграл линии
• Элемент линии
• Элемент объема
• Интеграл объема
• Декартова система координат
• Элементы объема и площади поверхности в сферических системах координат
• Элементы объема и площади поверхности в цилиндрических системах координат
• Метод Гольштейна-Херринга

Ссылки

1. Эдвардс, CH (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Довер. стр. 335. ISBN 0-486-68336-2.
2. Хазевинкель, Мишель (2001). Поверхностный интеграл. Спрингер. ISBN 978-1-55608-010-4. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )

Внешние ссылки

• Поверхностный интеграл — от MathWorld
• Поверхностный интеграл — Теория и упражнения