Форма объёма

В математике форма объема или форма верхнего измерения — это дифференциальная форма степени, равной размерности дифференцируемого многообразия . Таким образом, на многообразии размерности форма объема является -формой. Это элемент пространства сечений линейного расслоения , обозначаемый как . Многообразие допускает никуда не исчезающую форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, поскольку умножение формы объема на никуда не исчезающую вещественную функцию дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Форма объема предоставляет средства для определения интеграла функции на дифференцируемом многообразии. Другими словами, форма объема порождает меру , по которой функции могут быть проинтегрированы соответствующим интегралом Лебега . Абсолютным значением формы объема является элемент объема , который также известен как скрученная форма объема или форма псевдообъема . Оно также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет.

Кэлеровы многообразия , будучи комплексными многообразиями , естественно ориентированы и поэтому обладают формой объема. В более общем смысле, третья внешняя степень симплектической формы на симплектическом многообразии является формой объема. Многие классы многообразий имеют канонические формы объема: они имеют дополнительную структуру, позволяющую выбрать предпочтительную форму объема. Ориентированным псевдоримановым многообразиям соответствует каноническая форма объема. ${\displaystyle n}$

Ориентация

Далее речь пойдет только об ориентируемости дифференцируемых многообразий (это более общее понятие, определенное на любом топологическом многообразии).

Многообразие называется ориентируемым, если оно имеет координатный атлас , все функции перехода которого имеют положительные определители Якобиана . Выбор максимального такого атласа есть ориентация на Форма объёма на порождает ориентацию естественным образом, как и атлас координатных карт на которые направляют к положительному кратному евклидовой форме объёма ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Форма объема также позволяет указать предпочтительный класс кадров . Назовите базис касательных векторов правым, если ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$

$${\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}$$

На совокупность всех правых фреймов действует группа общих линейных отображений в размерностях с положительным определителем. Они образуют главный подпучок линейного пучка фреймов , и поэтому ориентация, связанная с объемной формой, приводит к каноническому сведению расслоения фреймов к подпучку со структурной группой. Другими словами, объемная форма порождает -структура на Большее сокращение очевидно возможно, рассматривая кадры, которые имеют ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$

Таким образом, объемная форма порождает также -структуру. И наоборот, учитывая -структуру , можно восстановить объемную форму, наложив ( 1 ) для специальных линейных фреймов, а затем найдя требуемую -форму , потребовав однородности ее аргументов. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно имеет никуда не исчезающую форму объема. Действительно, это ретракт деформации , поскольку положительные действительные числа встроены в виде скалярных матриц. Таким образом, каждая -структура сводима к -структуре , а -структуры совпадают с ориентациями на. Более конкретно, тривиальность детерминантного расслоения эквивалентна ориентируемости, и линейное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет никуда не исчезающее сечение. Таким образом, существование объемной формы эквивалентно ориентируемости. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Отношение к мерам

Учитывая форму объема на ориентированном многообразии, плотность представляет собой псевдоформу объема на неориентированном многообразии, полученную путем забывания ориентации. Плотности также могут быть определены в более общем смысле на неориентируемых многообразиях. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

Любая псевдоформа объема (а, следовательно, и любая форма объема) определяет меру на борелевских множествах формулой ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$$

Разница в том, что меру можно интегрировать по (борелевскому) подмножеству , а форму объема можно интегрировать только по ориентированной ячейке. В исчислении одной переменной письмо рассматривается как форма объема, а не просто мера, и указывает на «интегрирование по ячейке с противоположной ориентацией, иногда обозначаемой «. ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Кроме того, общие меры не обязательно должны быть непрерывными или гладкими: они не обязательно должны определяться формой объема, или, более формально, их производная Радона – Никодима относительно данной формы объема не обязательно должна быть абсолютно непрерывной .

Дивергенция

Учитывая форму объема, можно определить дивергенцию векторного поля как уникальную скалярную функцию, обозначаемую удовлетворением ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {div} X,}$

$${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),}$$

производную Ливнутреннее произведениесжатиеносителемс краемиз теоремы Стокса ${\displaystyle L_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,}$$

теоремы о расходимости

Соленоидальными векторными полями являются поля с Из определения производной Ли следует , что форма объема сохраняется при течении соленоидального векторного поля. Таким образом, соленоидальные векторные поля — это именно те поля, которые имеют потоки, сохраняющие объем. Этот факт хорошо известен, например, в механике жидкости , где дивергенция поля скорости измеряет сжимаемость жидкости, которая, в свою очередь, представляет собой степень сохранения объема вдоль потоков жидкости. ${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$

Особые случаи

Группы лжи

Для любой группы Ли естественная форма объема может быть определена путем перевода. То есть, если является элементом, то левоинвариантная форма может быть определена с помощью где - левый перевод. Как следствие, каждая группа Ли ориентируема. Эта форма объема уникальна с точностью до скаляра, и соответствующая мера известна как мера Хаара . ${\displaystyle \omega _{e}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,}$ ${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},}$ ${\displaystyle L_{g}}$

Симплектические многообразия

Любое симплектическое многообразие (или даже любое почти симплектическое многообразие ) имеет естественную форму объема. Если — -мерное многообразие с симплектической формой , то оно нигде не равно нулю вследствие невырожденности симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие ориентируемо (более того, ориентировано). Если многообразие одновременно является симплектическим и римановым, то две формы объема согласуются, если многообразие кэлерово . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega ^{n}}$

Риманова форма объема

Любое ориентированное псевдориманово (в том числе и риманово ) многообразие имеет естественную форму объема. В местных координатах это можно выразить как

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$$

1-формырасслоенияматричноготензора ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle |g|}$

Форма объема обозначается по-разному

$${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$$

Здесь звезда Ходжа , таким образом, последняя форма подчеркивает, что форма объема является двойственным Ходжем постоянным отображением на многообразии, которое равно тензору Леви-Чивиты. ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }(1),}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Хотя греческая буква часто используется для обозначения формы тома, это обозначение не является универсальным; символ часто имеет множество других значений в дифференциальной геометрии (например, симплектическая форма). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Инварианты объемной формы

Объемные формы не уникальны; они образуют торсор над ненулевыми функциями на многообразии следующим образом. Учитывая неисчезающую функцию и форму объема, являющуюся формой объема. И наоборот, для двух форм объема их отношение является неисчезающей функцией (положительной, если они определяют одну и ту же ориентацию, отрицательной, если они определяют противоположные ориентации). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle f\omega }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega ,\omega ',}$

В координатах они оба представляют собой просто ненулевую функцию, умноженную на меру Лебега , а их отношение представляет собой отношение функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это производная Радона–Никодима относительно На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух объемных форм можно рассматривать как геометрическую форму теоремы Радона–Никодима . ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega .}$

Нет локальной структуры

Форма объема на многообразии не имеет локальной структуры в том смысле, что на малых открытых множествах невозможно отличить данную форму объема от формы объема в евклидовом пространстве (Кобаяши 1972). То есть для каждой точки существует открытая окрестность и диффеоморфизм на открытое множество в такой , что форма объема на является возвратом вдоль ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Как следствие, если и - два многообразия, каждое из которых имеет формы объема, то для любых точек существуют открытые окрестности и и отображение такое , что форма объема на ограниченной окрестностью возвращается к форме объема на ограниченной окрестностью : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},}$ ${\displaystyle m\in M,n\in N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.}$

В одном измерении это можно доказать так: задана форма объема по определению ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$$

мера Лебега возвращается ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =f^{*}dx.}$ ${\displaystyle \omega =f'\,dx.}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},}$

Глобальная структура: объем

Форма объема на связном многообразии имеет единственный глобальный инвариант, а именно (общий) объем, обозначаемый как инвариант относительно отображений, сохраняющих форму объема; это может быть бесконечно, например, для меры Лебега на несвязном многообразии, объем каждого связного компонента является инвариантом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu (M),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

В символах if — гомеоморфизм многообразий, возвращающийся к then ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \omega _{N}}$ ${\displaystyle \omega _{M},}$

$${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$$

Формы объёма также можно подтягивать под карты покрытия , и в этом случае они умножают объём на мощность волокна (формально — путём интегрирования по волокну). В случае бесконечного листового покрытия (например , ) форма объема на многообразии конечного объема возвращается к форме объема на многообразии бесконечного объема. ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$

Смотрите также

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Мера (математика)  - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Метрика Пуанкаре обеспечивает обзор формы объема на комплексной плоскости.
• Сферическая система координат § Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Рекомендации

• Кобаяши, С. (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии , Классика математики, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Ридинг, Массачусетс: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.