Пучок волокон, волокна которого являются групповыми торсорами.
В математике главное расслоение [1] [2] [3] [4] — это математический объект, который формализует некоторые существенные особенности декартова произведения пространства на группу . Как и в случае с декартовым произведением, главный расслоение снабжено
Проекция на . Для пространства продукта это всего лишь проекция на первый фактор .
Если это не пространство продукта , то у основного пакета отсутствует предпочтительный выбор идентичного сечения; у него нет предпочтительного аналога . Точно так же обычно не существует проекции на обобщение проекции на второй фактор, которая существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию , которая не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если делается ряд произвольных выборов, пытаясь определить такую структуру, определяя ее на меньших частях пространства.
Типичным примером главного расслоения является расслоение фреймов векторного расслоения , которое состоит из всех упорядоченных баз векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа в данном случае — это общая линейная группа , действующая справа обычным образом : заменами базиса . Поскольку не существует естественного способа выбора упорядоченного базиса векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.
Главное -расслоение, где обозначает любую топологическую группу , представляет собой расслоение вместе с непрерывным правым действием, такое, что сохраняет слои (т.е. если тогда для всех ) и действует свободно и транзитивно (то есть каждый слой является G-торсором ) на их таким образом, что для каждого и отображение, отправляющее в , является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен самой группе. Часто требуется, чтобы базовое пространство было хаусдорфовым и, возможно, паракомпактным .
Так как действие группы сохраняет слои и действует транзитивно, то орбиты -действия являются именно этими слоями и пространство орбит гомеоморфно базовому пространству . Поскольку действие свободное и транзитивное, волокна имеют структуру G-торсоров. -торсор — это пространство, которое гомеоморфно, но не имеет групповой структуры, поскольку не существует предпочтительного выбора единичного элемента .
Эквивалентное определение главного -расслоения - как -расслоение со слоем , в котором структурная группа действует на слой путем левого умножения. Поскольку умножение справа на на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на на . Волокна затем становятся правосторонними для этого действия.
Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить главные -расслоения в категории гладких многообразий . Здесь требуется, чтобы было гладкое отображение между гладкими многообразиями, требовалось, чтобы это была группа Ли , и соответствующее действие на должно быть гладким.
Примеры
Тривиальный комплект и разделы
Над открытым шаром или с индуцированными координатами любое главное -расслоение изоморфно тривиальному расслоению.
а гладкое сечение эквивалентно задается (гладкой) функцией, поскольку
для некоторой гладкой функции. Например, если , группа Ли унитарных матриц , то сечение можно построить, рассматривая четыре вещественнозначные функции
и применяя их к параметризации
Другие примеры
Прототипическим примером гладкого главного расслоения является расслоение фреймов гладкого многообразия , часто обозначаемое или . Здесь слой над точкой представляет собой набор всех реперов (т.е. упорядоченных баз) касательного пространства . Общая линейная группа действует на этих шкалах свободно и транзитивно. Эти волокна можно склеить естественным образом так, чтобы получить главное -расслоение над .
Вариации приведенного выше примера включают расслоение ортонормированных реперов риманова многообразия . Здесь кадры должны быть ортонормированы относительно метрики . Структурная группа является ортогональной группой . Этот пример также работает для расслоений, отличных от касательного расслоения; если есть любое векторное расслоение ранга над , то расслоение фреймов является главным -расслоением, иногда обозначаемым .
Нормальное (регулярное) накрытие — это главное расслоение, в котором структурная группа
действует на слои посредством действия монодромии . В частности, универсальное накрытие является главным расслоением со структурной группой (поскольку универсальное накрытие односвязно и, следовательно, тривиально).
Пусть — группа Ли и пусть — замкнутая подгруппа (не обязательно нормальная ). Тогда — главное -расслоение над (левым) смежным классом . Здесь действие on — это как раз правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, естественно изоморфный ).
Рассмотрим проекцию, заданную . Это главное -расслоение является ассоциированным расслоением ленты Мёбиуса . Помимо тривиального расслоения, это единственное главное -расслоение над .
Здесь обозначается единичная сфера в (оснащенная евклидовой метрикой). Во всех этих примерах случаи дают так называемые расслоения Хопфа .
Основные свойства
Тривиализации и сечения
Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого расслоения, заключается в том, является ли оно тривиальным , то есть изоморфным расслоению-продукту. Для главных расслоений существует удобная характеристика тривиальности:
Предложение . Главный расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .
Этого нельзя сказать о других пучках волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, а сферические расслоения могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.
Тот же факт применим и к локальным тривиализациям главных расслоений. Пусть π : P → X — главное G -расслоение. Открытое множество U в X допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда на U существует локальное сечение . Учитывая локальную тривиализацию
можно определить связанный локальный раздел
где e — тождество в G. _ И наоборот, для данного сечения s можно определить тривиализацию Φ формулой
Простая транзитивность действия G на слоях P гарантирует, что это отображение является биекцией , а также гомеоморфизмом . Локальные тривиализации, определенные локальными сечениями, G - эквивариантны в следующем смысле. Если мы напишем
в виде
тогда карта
удовлетворяет
Таким образом, эквивариантные тривиализации сохраняют G -торсорную структуру слоев. В терминах соответствующего локального сечения s отображение φ определяется выражением
Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.
Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию ({ U i }, {Φ i }) P , у нас есть локальные сечения s i на каждом U i . При перекрытиях они должны быть связаны действием структурной группы G. Фактически связь обеспечивается функциями перехода
Склей локальные тривиализации вместе с помощью этих функций перехода, можно восстановить исходный главный расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения . Для любого x ∈ U i ∩ U j имеем
Характеристика гладких главных расслоений
Если - гладкое главное -расслоение, то действует свободно и правильно на так, что пространство орбит диффеоморфно базовому пространству . Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если — гладкое многообразие, группа Ли и гладкое, свободное и собственное правое действие, то
Учитывая подгруппу H группы G, можно рассмотреть расслоение , слои которого гомеоморфны смежному классу . Если новый пучок допускает глобальное сечение, то говорят, что сечение есть редукция структурной группы от до . Причиной этого названия является то, что (послойный) обратный образ значений этого раздела образует подпакет, который является основным -расслоением. Если есть тождество, то раздел самого себя есть приведение структурной группы к тождеству. Редукции структурной группы вообще не существует.
Многие топологические вопросы о строении многообразия или о строении расслоений над ним, связанных с главным -расслоением, можно перефразировать как вопросы о допустимости редукции структурной группы (от к ). Например:
-мерное вещественное многообразие допускает почти комплексную структуру, если расслоение реперов на многообразии, слоями которого являются , можно свести к группе .
-мерное вещественное многообразие допускает -плоское поле, если расслоение реперов можно свести к структурной группе .
Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его расслоение фреймов можно дополнительно свести к группе Spin , которая отображается как двойное накрытие.
Также обратите внимание: -мерное многообразие допускает векторные поля, линейно независимые в каждой точке, тогда и только тогда, когда его расслоение реперов допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется распараллеливаемым .
Связанные векторные расслоения и рамки
Если является главным -расслоением и является линейным представлением , то можно построить векторное расслоение со слоем как факторпроизведение × по диагональному действию . Это частный случай конструкции ассоциированного расслоения , и он называется ассоциированным векторным расслоением с . Если представление on точное , так что это подгруппа общей линейной группы GL( ), то является -расслоением и обеспечивает редукцию структурной группы расслоения фреймов от до . В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений фреймов.
Классификация основных пакетов
Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG : фактор-фактор по действию G некоторого слабо стягиваемого пространства, например топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием B изоморфно образу главного расслоения EG → BG . [5] На самом деле верно большее, поскольку набор классов изоморфизма главных расслоений G над базой B отождествляется с набором гомотопических классов отображений B → BG .
^ Сташефф, Джеймс Д. (1971), « H -пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки», Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272., Теорема 2
Источники
Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-44546-1.
Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-25907-4.