Основное однородное пространство

В математике главное однородное пространство ^[1] или торсор для группы G — это однородное пространство X для G , в котором подгруппа стабилизатора каждой точки тривиальна. Эквивалентно, главное однородное пространство для группы G — это непустое множество X , на котором G действует свободно и транзитивно (это означает, что для любых x , y в X существует единственный g в G такой, что x · g = y , где · обозначает (правое) действие группы G на X ). Аналогичное определение справедливо и для других категорий , где, например,

• G — топологическая группа , X — топологическое пространство , действие непрерывно ,
• G — группа Ли , X — гладкое многообразие , действие гладкое ,
• G — алгебраическая группа , X — алгебраическое многообразие и действие регулярно .

Определение

Если G неабелева , то следует различать левый и правый торсоры в зависимости от того, происходит ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правильные действия.

Чтобы сформулировать определение более явно, X является G -торсором или G -главным однородным пространством, если X непусто и снабжено отображением (в соответствующей категории) X × G → X таким, что

х ·1 = х

Икс ·( gh ) = ( Икс · грамм )· час

для всех x ∈ X и всех g , h ∈ G и таких, что отображение X × G → X × X, заданное формулой

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

является изоморфизмом (множеств, или топологических пространств, или..., в зависимости от обстоятельств, т.е. в рассматриваемой категории).

Обратите внимание, что это означает, что X и G изоморфны (в рассматриваемой категории, а не как группы: см. ниже). Однако — и это существенный момент — в X не существует предпочтительной точки «идентичности» . То есть X выглядит точно так же, как G , за исключением того, что было забыто, какая точка является тождественной. (Эта концепция часто используется в математике как способ перехода к более внутренней точке зрения под заголовком «отбросить начало координат».)

Поскольку X не является группой, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их «частное». То есть существует отображение X × X → G , которое переводит ( x , y ) в единственный элемент g = x \ y ∈ G такой, что y = x · g .

Однако композиция последней операции с действием правой группы дает тернарную операцию X × ( X × X ) → X , которая служит аффинным обобщением группового умножения и которой достаточно как для алгебраической характеристики главного однородного пространства, так и для характеризует группу, с которой он связан. Если обозначить результат этой тернарной операции, то следующие тождества ${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

будет достаточно для определения главного однородного пространства, а дополнительного свойства

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

идентифицирует те пространства, которые связаны с абелевыми группами. Группу можно определить как формальные факторы, подчиняющиеся отношению эквивалентности. ${\displaystyle x\backslash y}$

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$,

с групповым произведением, единицей и обратным, определяемыми соответственно формулами

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$,

${\displaystyle e=x\backslash x}$,

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

и групповое действие

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

Примеры

Каждую группу G можно рассматривать как левый или правый G -торсор под естественным действием левого или правого умножения.

Другим примером является концепция аффинного пространства : идею аффинного пространства A, лежащего в основе векторного пространства V, можно кратко выразить, сказав, что A является основным однородным пространством для V , действующим как аддитивная группа переводов.

Флаги любого правильного многогранника образуют торсор его группы симметрии .

Учитывая векторное пространство V, мы можем взять G за общую линейную группу GL( V ), а X за множество всех (упорядоченных ) баз V. Тогда G действует на X так же, как он действует на векторы из V ; и он действует транзитивно, поскольку любой базис можно преобразовать через G в любой другой. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, зафиксирует все v в V и, следовательно, станет нейтральным элементом общей линейной группы GL( V ): так что X действительно является главным однородным пространством. Один из способов проследить зависимость от базиса в аргументах линейной алгебры — отслеживать переменные x в X. Аналогично, пространство ортонормированных базисов ( многообразие Штифеля n - шкал ) является главным однородным пространством для ортогональной группы . ${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$

В теории категорий , если два объекта X и Y изоморфны, то изоморфизмы между ними Iso( X , Y ) образуют торсор для группы автоморфизмов X , Aut( X ), а также для Aut( Y ); выбор изоморфизма между объектами приводит к изоморфизму между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, придавая торсору групповую структуру (поскольку теперь он имеет базовую точку ).

Приложения

Концепция главного однородного пространства является частным случаем концепции главного расслоения : она означает главное расслоение с основанием в одной точке. Другими словами, локальная теория главных расслоений — это теория семейства главных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров базы. «Начало» может быть предоставлено частью пакета — обычно предполагается, что такие разделы существуют локально в базе — пакет локально тривиален , так что локальная структура представляет собой структуру декартова произведения . Но разделы часто не существуют глобально. Например, дифференциальное многообразие M имеет главный пучок фреймов , связанный с его касательным расслоением . Глобальная секция будет существовать (по определению) только тогда, когда M распараллеливаема , что подразумевает сильные топологические ограничения.

В теории чисел есть (на первый взгляд другая) причина рассматривать главные однородные пространства для эллиптических кривых E , определенных над полем K (и более общих абелевых многообразий ). Как только это было понято, под заголовком были собраны различные другие примеры для других алгебраических групп : квадратичные формы для ортогональных групп и многообразия Севери–Брауэра для проективных линейных групп, равных двум.

Причина интереса к диофантовым уравнениям в случае эллиптической кривой состоит в том, что K не может быть алгебраически замкнутым . Могут существовать кривые C , у которых нет точки, определенной над K , и которые становятся изоморфными в большем поле E , которое по определению имеет точку над K , которая служит единичным элементом для его закона сложения. То есть в этом случае мы должны отличать C , имеющие род 1, от эллиптических кривых E , имеющих K -точку (или, другими словами, предоставить диофантово уравнение, имеющее решение в K ). Кривые С оказываются торсорами над Е и образуют множество, несущее богатую структуру в случае, когда К — числовое поле (теория группы Сельмера ). Фактически типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет особой причины иметь рациональную точку ; стандартная модель Вейерштрасса всегда так делает, а именно точка на бесконечности, но вам нужна точка над K , чтобы привести C в эту форму над K .

Эта теория была разработана с большим вниманием к локальному анализу , что привело к определению группы Тейта-Шафаревича . В общем, подход, основанный на теории торсора, простой для алгебраически замкнутого поля , и попытке вернуться «вниз» к меньшему полю, является аспектом спуска . Это сразу приводит к вопросам когомологий Галуа , поскольку торсоры представляют классы групповых когомологий H ¹ .

Другое использование

Понятие главного однородного пространства также можно глобализировать следующим образом. Пусть X — «пространство» ( схема / многообразие / топологическое пространство и т . д.), и пусть G — группа над X , т. е. групповой объект в категории пространств над X. В этом случае (скажем, правый) G -торсор E на X — это пространство E (того же типа) над X с (правым) действием G такое, что морфизм

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

данный

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

является изоморфизмом в соответствующей категории и таким, что E локально тривиален на X , в том смысле, что E → X приобретает сечение локально на X. Классы изоморфизма торсоров в этом смысле соответствуют классам в группе когомологий H ¹ ( X , G ).

Когда мы находимся в категории гладких многообразий , тогда G -торсор (для G — группа Ли ) является в точности главным G - расслоением , как определено выше.

Пример: если G — компактная группа Ли (скажем), то является G -торсором над классифицирующим пространством . ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$

Смотрите также

• Однородное пространство
• Куча (математика)

Примечания

1. Серж Ланг и Джон Тейт (1958). «Главное однородное пространство над абелевыми многообразиями». Американский журнал математики . 80 (3): 659–684. дои : 10.2307/2372778.

дальнейшее чтение

• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3287-5. Збл  1159.12311.
• Скоробогатов, А. (2001). Торсоры и рациональные точки . Кембриджские трактаты по математике. Том. 144. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-80237-7. Збл  0972.14015.

Внешние ссылки

• Торсоры стали проще, Джон Баэз