Тангенциальная и нормальная составляющие

В математике , если задан вектор в точке кривой , этот вектор можно однозначно разложить как сумму двух векторов: один касательный к кривой, называемый тангенциальной составляющей вектора, а другой, перпендикулярный кривой, называемый нормальная составляющая вектора. Точно так же вектор в точке поверхности можно разбить таким же образом.

В более общем смысле, учитывая подмногообразие N многообразия M и вектор в касательном пространстве к M в точке N , его можно разложить на компонент, касательный к N , и компонент, нормальный к N.

Формальное определение

Поверхность

Более формально, пусть — поверхность, а — точка на поверхности. Позвольте быть вектором в . Тогда можно однозначно записать сумму $S$ $х$ $\mathbf {v}$ $х$ $\mathbf {v}$

\mathbf {v} =\mathbf {v} _ {\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }

Чтобы вычислить тангенциальные и нормальные компоненты, рассмотрим единичную нормаль к поверхности, то есть единичный вектор, перпендикулярный at . Затем, ${\hat {\mathbf {n} }}$ $S$ $х$

\mathbf {v} _ {\perp } =\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right) {\hat {\mathbf {n} }}

\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }

скалярное произведение

\cdot

\mathbf {v} _ {\parallel } = - {\hat {\mathbf {n} }} \times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v}),

где " " обозначает векторное произведение . $\times$

Эти формулы не зависят от конкретной используемой единичной нормали (к любой поверхности в данной точке существуют две единичные нормали, направленные в противоположные стороны, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой). ${\hat {\mathbf {n} }}$

Подмногообразие

В более общем смысле, учитывая подмногообразие N многообразия M и точку , мы получаем короткую точную последовательность , включающую касательные пространства : $p\in N$

T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N

пространство

T_{p}M/T_{p}N

Если M — риманово многообразие , указанная выше последовательность распадается , и касательное пространство M в точке p разлагается как прямая сумма компонента, касательного к N , и компонента, нормального к N :

T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }

касательный вектор,

v\in T_{p}M

v=v_{\parallel }+v_{\perp }

v_{\parallel }\in T_{p}N

v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }

Вычисления

Предположим, что N задано невырожденными уравнениями.

Если N задано явно, через параметрические уравнения (такие как параметрическая кривая ), то производная дает остовное множество для касательного расслоения (это базис тогда и только тогда, когда параметризация является погружением ).

Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности (или, в более общем смысле, как) гиперповерхности ) как набор уровней или пересечение поверхностей уровня для , то градиенты охватывают нормальное пространство. $g_{i}$ $g_{i}$

В обоих случаях мы снова можем выполнить вычисления, используя скалярное произведение ; Однако векторное произведение является особенным для трех измерений.

Приложения